G276 – Multiplier pour égaliser [*** à la main]
On écrit sur 120 cartes les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à 120 : 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,....,119/120, 120/121. On partage le paquet P de 120 cartes en deux paquets de a cartes et de b cartes, a + b = 120, a ≤ b, et pour chacun d’eux on calcule les produits p₁ et p₂ des fractions correspondantes.
On s’intéresse désormais aux partages de P qui satisfont l’égalité p₁ = p₂.
Q₁ Démontrer qu’il existe au moins un partage de P qui satisfait cette égalité.
Q₂ Donner les valeurs minimale et maximale de a et décrire des partages de P correspondant à ces deux valeurs.
Q₃ Dénombrer toutes les valeurs possibles de a.
Pour les plus courageux : soit n un entier naturel > 1. Le paquet P est constitué de n² – 1 cartes sur lesquelles sont écrites les fractions de la forme k/(k+1) pour k variant de 1 à n² – 1. On cherche à répartir les cartes de P en deux paquets de a cartes et b cartes, a + b = n² – 1, a ≤ b, de sorte que les produits des fractions correspondantes p₁ et p₂ sont identiques. Démontrer qu’un partage de P est toujours possible et déterminer la valeur minimale de b – a en fonction de n.
