 nombre d’or.

(1)

H161. Trois arbres binaires *** Problème proposé par Pierre Jullien

Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu'elles prolongent (k fixe inférieur à 1).

Ci-dessus, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres.

Montrer qu'il existe une valeur K telle que si k < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.

PROPOSITION Th Eveilleau

Réponse

 - 1

^avec



nombre d’or.

Démonstration :

Prenons comme unité la longueur de la branche de départ, dite à la profondeur (ou au niveau) zéro.

Chaque branche de profondeur immédiatement supérieure voit sa longueur multipliée par k.

Ainsi niveau 1 => longueur k ; .

Et la branche de niveau n, a pour longueur k*..*k n fois SOIT

k

ⁿ.

Les branches ne doivent se recouper ni dans le sens de la hauteur ni dans le sens de la largeur.

Dans le schéma ci-dessous, nous pouvons noter que les branches - sont verticales ou bien

- font un angle de 30° en valeur absolue avec l'horizontale.

Analysons ces dernières par rapport à la largeur autorisée pour qu'elles ne se recoupent pas.

La plus grande largeur disponible est

(2)

Nous devons donc avoir :

k *

( k

³

+ k

⁴

+... k

ⁿ

)

c’est-à-dire :

k < k³ + k⁴+. . . kⁿqui s’écrit : 1 k² + k³+. . . k^n-1

Cette dernière relation traduit la somme des termes d’une progression géométrique de raison k.

Nous obtenons quand n tend vers l’infini, nous avons : 1 k² + k³+. . . + k²

*

SOIT 1 k²

*

avec k<1, nous avons



0 Il s’ensuit

1 k²

*

PUIS

^{1-k k}² et

ENFIN

k² + k – 1

Les racines de cette équation sont

et

Nous ne gardons que la valeur positive de k soit

^0.618

L’équation précédente est négative pour k à l’intérieur de l’intervalle formé par ses racines donc ici pour k <

.

OR le nombre d’or

 ^

^est

^.

Nous concluons qu’i l faut que la valeur limite pour que les branches ne se recoupent pas est :

k =  - 1

Une animation ici :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/arbres_P.htm