Arbres binaires

TD7-TP7

Arbres binaires

On consid`ere le type abstrait arbreBinaire d’objet d´efini en cours.

Exercice 7.1

Soit l’arbre binaire dont les feuilles sont ´etiquet´ees avec les nombres naturels illustr´e sur Fig.1.

1

2 3

4 5

6 7 8

9

Fig. 1 – Arbre binaire

1. Donner les mots correspondants resp. `a son parcours pr´efixe, infixe et postfixe.

2. Existe-t-il un arbre binaire `a 8 sommets dont le mot pr´efixe est 12345678 et le mot infixe est

(a) 53247681 ? (b) 43527861 ?

3. Donner le principe d’un algorithme pour reconstruire un arbre binaire `a partir de ces mots pr´efixe et infixe.

Exercice 7.2

Soit le tableau d’entiers Tab={0, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 20}

et la fonction remplirTableauArbre vue en cours (annexe B). Dessiner l’arbre binaire produit par l’appel `a remplirTableauArbre(Tab).

Exercice 7.3

Utiliser un parcours en profondeur pour ecrire les fonctions :

1. compter (val A : arbreBinaire): entier qui compte le nombre de feuilles dans A.

2. hauteur (val A : arbreBinaire): entier qui calcule la hauteur de A.

3. valeur_minimum(val A : arbreBinaire): entier qui retourne le minimum des va- leurs contenues dans A.

Exercice 7.4

1. Ecrire une fonction qui teste si un ´el´ement appartient `a un arbre binaire.

2. Ecrire une fonction qui teste l’´egalit´e de deux arbres binaires.

3. Ecrire une fonction qui teste si un arbre binaire est un sous arbre d’un autre arbre binaire.

Exercice 7.5

On appelle arbre binaire complet un arbre binaire tel que chaque sommet poss`ede 0 ou 2 fils.

1. Donner des exemples d’arbres binaires complets.

2. Ecrire une fonction qui teste si un arbre binaire est complet arbreBinaire_complet(val A:arbreBinaire ): booleen ;

Exercice 7.6

On appelle arbre binaire parfait un arbre binaire (complet) tel que chaque sommet soit p`ere de deux sous arbres de mˆeme hauteur.

1. Donner des exemples d’arbres binaires parfaits.

2. Ecrire une fonction qui teste si un arbre binaire est parfait.

arbreBinaire_parfait(val A:arbreBinaire ): booleen ;

Exercice 7.7

On appelle arbre binaire quasi-parfait un arbre binaire parfait ´eventuellement grignot´e d’un

´etage en bas `a droite.

1. Donner des exemples d’arbres binaires quasi-parfaits.

2. Ecrire une fonction qui teste si un arbre binaire est quasi-parfait arbreBinaire_quasi_parfait(val A:arbreBinaire ): booleen ;

Exercice 7.8

– Soit l’arbre de la Fig.2(a). Son impl´ementation dynamique est illustr´ee sur la Fig.2(b).

On ajoute une feuille au dernier niveau. Dessiner la nouvelle structure.

ref A: arbreBinaire

1

2 3

2

4 5

1



3

4

5

(a) (b)

Fig. 2 – Arbre binaire complet

2

– Compl´eter l’impl´ementation vue en cours par les primitives : filsDroit, pere, ajouterFilsDroit, supprimerFilsDroit

– E´ crire une fonction meme_squelette qui teste si deux arbres binaires sont semblables

`a la valeur pr`es des valeurs contenues dans les sommets.¹

Exercice 7.9

– l’indicatif (6 caract`eres) – la destination (30 caract`eres)

– l’autonomie r´esiduelle de carburant compt´ee en heures de vol (entier) – deux bool´eens indiquant s’il y a un pirate `a bord et s’il y a le feu.

1. D´efinir les structures de donn´ees n´ecessaires.

2. Ecrire la fonction Priorite´ ainsi que la gestion compl`ete de la piste.

3. Envisager le cas de suppression d’un ´el´ement quelconque de la file lorsque le pirate a mis sa menace de d´etournement `a ex´ecution.

Quelles sont les notions que vous venez de voir qui peuvent permettre d’amorcer le fil d’ariane ?

3

Annexe A : Type abstrait arbreBinaire.

Primitives.

– Acc`es fonction getValeur(val S:sommet):objet;

/* vaut NIL si le sommet n’existe pas /*

fonction filsGauche(val S:sommet):sommet;

/* vaut NIL si S n’a pas de fils gauche */

fonction filsDroit(val S:sommet):sommet;

/* vaut NIL si S n’a pas de fils droit */

fonction pere(val S:sommet):sommet; /* vaut NIL si S est la racine de l’arbre */

– Modification fonction setValeur(ref S:sommet, val x:objet):vide;

/* affecte au sommet S la valeur x */

fonction ajouterFilsGauche(ref S:sommet, val x:objet):vide;

/* filsGauche(S)==NIL doit etre verifie */

fonction ajouterFilsDroit(ref S:sommet, x:objet):vide;

/* filsDroit(S)==NIL doit etre verifie */

fonction supprimerFilsGauche(ref S:sommet):vide;

/* filsGauche(S) est une feuille */

fonction supprimerFilsDroit(ref S:sommet):vide;

/* filsDroit(S) est une feuille */

fonction detruireSommet(ref S:sommet):vide;

/* S est une feuille */

– Cr´eation fonction creerArbreBinaire(val Racine:objet):sommet;