Enoncé H161 (Diophante) Trois arbres binaires
Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu’elles prolongent (k fixe inférieur à 1).
Ci-dessous, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres. Montrer qu’il existe une valeurK telle que sik < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient OA, OB, OC les trois troncs, dont les premiers embranchements sont A, B, C. Les droites OA, OB, OC sont des axes de symétrie de la figure ; les arbres empiètent les uns sur les autres si et seulement si l’arbre de troncOA empiète sur la droiteCO au-delà deO, le symétrique de cet arbre par rapport à cette droite étant l’arbreOB.
Quand elles ne sont pas parallèles à CO, les branches de l’arbre OA font avec cette droite un angle ±60°. Si d est la distance de A à cette droite, il faut pour s’en rapprocher prendre d’abord une branche parallèle àCO, puis on peut aller constamment versCO par des étapes dk2, dk3, . . .; tout autre parcours, même s’il ne s’éloigne de CO à aucun moment, ne s’en rapprochera que d’une partie des termesdkm (m≥2).
Pour que l’empiètement se produise, il faut
∞
X
2
dkm> d, soit k2 1−k >1.
Cette conditionk2>1−kéquivaut àk >(√
5−1)/2, qui est la limite K cherchée, inverse du nombre d’or.
