H161. Trois arbres binaires H. Graphes et circuits
Problème proposé par Pierre Jullien
Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu'elles prolongent (k fixe inférieur à 1).
Ci-dessus, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres.
Montrer qu'il existe une valeur K telle que si k < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.
Solution de Paul Voyer
Supposons que les premières branches créées sont de longueur 3 2 .
Le premier point créé à 30° a pour abscisse 1. Le point 2 aussi.
Considérons les créations suivantes vers la gauche, alternativement vers le haut et vers le bas, tous sur des segments de pente ± 30°.
le point 3 a pour abscisse 1-k² le point 4 a pour abscisse 1-k²-k³ etc 1-k²-k³-k4-.. = 1-k²(1+k+k²+…) =
k k k k
k
1
² 1
1
1 ² est l'abscisse du point le plus à gauche de la moitié droite.
Il y a empiètement si cette valeur atteint 0, soit pour 1-k-k² = 0,
2 5 1
k .
Le petit nombre d'or.
K = 2
5 1
