H 161. Trois arbres binaires. ***
Problème proposé par Pierre Jullien
Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu'elles prolongent (k fixe inférieur à 1).
Ci-dessus, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres.
Montrer qu'il existe une valeur K telle que si k < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.
Solution proposée par Michel Lafond.
Posons
Examinons le chemin (O, A, B, C, D, E, F, G,..) de l’arbre ci-dessous.
La racine est O et le tronc vertical a pour longueur 1 :
Dans un repère orthonormé de centre O, on calcule facilement les coordonnées des points du chemin :
D a pour abscisse E a pour abscisse
O (0, 0) A (0, 1)
1 k
k2 k3
k4
k5
k6
k7
B C
E
F
G D
F a pour abscisse etc.
Il est clair que la valeur frontière de k cherchée est celle pour laquelle l’abscisse limite des points du chemin est nulle.
k vérifie l’équation ou
La valeur cherchée (inférieure à 1) est
Ci-dessous, un tiers de l’arbre, tracé avec k = 0,61804.
On peut vérifier que le point double situé à l’abscisse 0 a pour ordonnée dans le repère précédent
