H161. Trois arbres binaires :
Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120°
les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu'elles prolongent (k fixe inférieur à 1).
Ci-dessus, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres.
Montrer qu'il existe une valeur K telle que si k < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.
Solution proposée par Nicolas Petroff
z1 z2 A
Imaginons la somme des nombres complexes ) .
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient : Z =
, avec X =
qui est une fonction croissante en k pour k .
En procédant de même à partir du point B, les deux sous arbres d’origines A et B vont se rejoindre pour une valeur de X = =
= 1 .
Une racine > 0 est K = étant le nombre d’or , K est la valeur limite de k pour que les deux arbres se touchent dans ce scénario.
Pour k > K , les deux sous arbres d’origines A et B vont se chevaucher.
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