H161.Trois arbres binaires
Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres.
De chaque nœud partent, à 120°, deux branches de même longueur égale à k fois la longueur de la branche qu'elles prolongent (k fixe inférieur à 1).
Ci-dessus, à gauche les arbres sont disjoints mais à droite ils empiètent les uns sur les autres.
Montrer qu'il existe une valeur K telle que si k < K les arbres sont disjoints et si k > K les arbres se chevauchent.
Solution
La structure est de type fractale ; il suffit donc de résoudre le problème sur le motif qui se reproduit pour le résoudre pour toute la structure.
Explicitons cela sur le schéma suivant :
Le segment AB a pour descendant les segments BC et BD.
On constate que l’optimum pour se rapprocher entre deux parties du motif est, en partant de B soit par le chemin de droite vers C, soit par le chemin de gauche vers D, de choisir par 3 fois la branche respectivement de gauche et de droite avant d’alterner indéfiniment. Chaque branche tend ainsi vers un point limite.
En prenant un repère d’origine B orienté comme le montre la figure, on constate une parfaite symétrie.
Les points homologues des 2 parcours ont même ordonnée et des abscisses opposées.
Pour que les motifs ne se chevauchent pas, il suffit que l’abscisse du point limite de la branche issue de BC reste positive.
Prenons la longueur de BC comme unité ; l’abscisse du point limite est :
X
lim= √3/2 - √3/2 (k
2+k
3+k
4+……)
X
lim= √3/2 - √3/2 [k
2/(1-k)]
Si
X
lim>0 , alors k
2+k-1 < 0
La valeur à retenir pour k afin de ne pas avoir de chevauchement est :
k <
√5−12
( environ = 0,618)
Ce que nous pouvons vérifier sur la page suivante avec diverses valeurs de k.
k = 0,600
k = 0,618
k = 0,650
