H153– Randonnées bourbonnaises (2ème épisode) [** et **** à la main]
La Sologne bourbonnaise comporte un réseau de k sentiers de randonnée pédestre qui relient 7 villages avec les caractéristiques suivantes :
- deux villages quelconques sont reliés entre eux par un sentier au plus, - il n’y a pas de sentier qui relie un village à lui-même (absence de boucle),
- les sentiers sont balisés avec des traits horizontaux de couleurs toutes différentes. Deux sentiers distincts peuvent se croiser en dehors des villages mais on respecte le balisage du sentier lorsque celui-ci croise un ou plusieurs autres sentiers.
- le réseau contient le plus grand nombre possible de sentiers sans qu'il y ait deux circuits disjoints (c'est à dire sans village commun à deux circuits).
Déterminer k et donner une représentation graphique possible du réseau.
Pour les plus courageux: avec n villages, déterminer le nombre maximal de sentiers d'un réseau qui ne contient pas deux circuits disjoints.
Solution proposée par Bernard Vignes
On considère dans un premier temps un réseau de n villages avec 3 ≤ n ≤ 6. Le plus petit circuit est triangulaire et contient trois sommets.Un réseau dans lequel il y a deux circuits disjoints comporte donc au moins 2*3 = 6 sommets. Pour n = 3 ou 4 ou 5, il est donc impossible d'avoir deux circuits disjoints.
Dans un second temps, on ajoute un septième village (G) pour retrouver le réseau de l'énoncé.
D'où une représentation possible du réseau:
Le premier graphe représente les C(7,2) = 21 sentiers possibles reliant les villages 2 à 2 tandis que dans le deuxième donne les 15 sentiers qui sont caractérisés par l'absence de deux circuits disjoints.
On note au passage que le plus grand nombre possible de sentiers qui satisfont les conditions de l'énoncé vaut respectivement 12 = 3*6 ‒ 6 pour n = 6 et 15 = 3*7 ‒ 6 pour n = 7.
Pour n = 6, il y a C(6,2) = 15 sentiers possibles qui relient les 6 villages pris 2 à 2. Les seuls circuits disjoints sont triangulaires. Voir ci-après le réseau n°1 qui fait apparaître dix paires de circuits disjoints : ABC-DEF, ABD-CEF, ABE-CDF, ABF-CDE, ACD-BEF, ACE-BDF etc..
Pour les faire tous disparaître, il est nécessaire de supprimer trois sentiers,par exemple DE,DF et EF.
D'où le réseau n°2 qui comporte le plus grand nombre possible de sentiers = 12 sans qu'il y ait deux circuits disjoints.
Pour n = 7 le plus grand nombre possible de sentiers sans qu'il y ait deux circuits disjoints est égal à 15.
En effet il y a 6 sentiers susceptibles de relier G aux autres villages.On
constate d'après le graphe ci-contre qu'en ajoutant les 3 sentiers,GA,GB et GC, on obtient bien un réseau sans qu'il y ait deux circuits disjoints.
Si on ajoute un quatrième sentier GD, alors ACF-BDG sont deux circuits triangulaires disjoints. Si on ajoute GE, alors ACF-BEG sont deux circuits triangulaires disjoints. Enfin si on ajoute GF, alors AFG-BCE sont encore deux circuits triangulaires disjoints.
On vérifie que quels que soient trois sentiers issus de G, il est impossible d'en ajouter un quatrième sans qu'il y ait deux circuits disjoints.
Généralisation avec n villages.
Si l'on ajoute un huitième village H au réseau précédent de sept villages il apparaît que parmi les sept sentiers partant de H,on peut à nouveau en retenir trois tels qu'il n'existe pas deux circuits disjoints dans le réseau de huit villages.
Le plus grand nombre possible de sentiers sans qu'il y ait deux circuits disjoints est alors égal à 18 = 3*8 ‒ 6.
On est amené à faire l'hypothèse que pour n quelconque ≥ 6, le nombre maximal de sentiers d'un réseau qui ne contient pas deux circuits disjoints est égal à 3n ‒ 6.
En d'autres termes, tout graphe d'ordre ≥ 6 de taille au moins égale à 3n ‒ 5 contient deux circuits disjoints.
Cette propriété est démontrée dans l'extrait ci-après de l'ouvrage "Graphs and digraphs" de Gary Chartrand, Linda Lesniak et Ping Zhang (6ème édition) -Theorem 19.4 - p.505 et 506.
Annexe
