Problème proposé par Dominique Roux
Soit un point M à l'intérieur d'un tétraèdre. Quelle est la position de ce point qui rend maximal le produit des distances de M aux faces du tétraèdre?
Le produit d’éléments de somme constante est maximal si tous sont égaux.
Soit G est l’isobarycentre de A, B, C, D.
De même que les médianes d’un triangle, concourantes au centre de gravité le divisent en trois triangles de même aire, les volumes de GBCD, GCDA, GDAB, et GABC sont égaux, et leur somme est le volume de ABCD.
Pour tout point M intérieur au tétraèdre, la somme des volumes de MBCD, MCDA, MDAB et MABC est égale à celui de ABCD, et chacun d’eux est égal au produit de l’aire de la face par la distance de M à la face ; donc le produit des volumes est le produit de l’aire des faces, indépendant de M, par celui des distances de M aux faces.
Ce dernier est donc maximal si le produit des volumes est maximal, donc si M est situé au centre de gravité G du tétraèdre.
