extrait -sujet BTS-GR A-Nvelle calédonie-transformé de FOURIER-2007-2008

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Thème : Séries de Fourier TP MATHEMATIQUES BTSGO 2008/2009.

Exercice 1 .

Soit f la fonction numérique définie sur,Rpaire, périodique de période 2 et telle que: ^{f t( ) 2 1 t} si^t

 

^0;1 . 1. Construire dans un repère orthonormé la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle ^{[ 3 ;3]} 2. On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet. Soit : ₀

 

1

( ) _ncos 2 _nsin 2

n

S t a a nt b nt





 





le développement en série de Fourier associé à f , ^nN. a. Justifier que ^b_n ^0 pour n1puis calculer ^a₀ et  .

b. Calculer ^a_n pour n1. On précisera les coefficients a2p et a2p_1.

c. Vérifier que _{2 2}

0

8 1

( ) cos(2 1)

(2 1)

p

S t p t

p





  



 ^

 et justifier que ^{S t( ) f t( )} pour tout nombre réel t.

3. Application à la recherche de la somme d'une série numérique.

Soit la série de terme général : ¹ ₂ (2 1) up

 p

 ; pN a) Montrer que cette série est convergente.

b) En utilisant la question 2.c) et en prenant t = 0, calculer la somme :

0 p p

u





 ^.

Exercice 2 :

Soit la fonction numérique f définie par : 1° Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal sur l'intervalle [ 2 ; 3 ].

2° Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

3°soit 0

 

1

( ) _ncos _nsin

n

S t a ^ a nt b nt



 



 le développement de Fourier associé à f.

a) Donner les valeurs de ^a₀ et, pour n1,^a_n.

b) Calculer bn (préciser les valeurs deb2p et de b2p_1. c) Justifier que ^{S t( ) f t( )}pour tout nombre réel t.

4° Montrer que la série de terme général

 

¹

2 1

n

un

n

 

 est convergente. En utilisant S 2

  

 , calculer

0 n n

u





 ^.

5° Soit g la fonction numérique définie surR par : ^{( ) 12 sin 1sin 3} g t    t3 t a. Montrer que g est impaire et périodique de période 2 .

b. Calculer^{g t'( )}, étudier le signe de^{g t'( )}sur l'intervalle [0, ] et donner le tableau de variations de g sur [0,].

c. Représenter graphiquement g et f dans le même repère orthonormal (unité 2 cm) sur l'intervalle [ , ].

Exercice 3

Un signal est modélisé par la fonction f définie sur R par : ^{( ) sin}



^{0; / 2}



f est paireet periodique de période f t t t pour t





  



1.a. Étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; /2].

b. Soit C1 la partie de la représentation graphique de f sur l'intervalle [0 ; /2], relativement à un repère orthonormal du plan (unité graphique 2 cm).

Tracer les tangentes à C 1 aux points d'abscisses 0 et  /2 . Tracer C 1.

c. Dans le même repère tracer la représentation graphique C de f sur l'intervalle [  ;  ] 2. On admet que f est développable en série de Fourier et que, pour tout t élément deR,

 

( ) 3 0;

(0) ( ) 0

, 2

f t pour t

f f

f est impaire est périodique de période







  

  





0

 

1

( ) _ncos 2 _nsin 2

n

f t a ^ a nt b nt



 





a. Justifier que ^b_n ^0pour tout n1. b. Calculer ^a₀.

c. Montrer que ₁ ^{/ 2}

0

2 (sin 3 sin )

a ^ t t t dt





 . En déduire que ₁ ^20.

a 9

   Dans la suite on utilisera le résultat : ²

 

^{1 1} ₂ ¹ ₂

(2 1) (2 1)

n

an

n n



 

    

 

 , pour ⁿ¹

3. On considère la fonction g définie sur R par : ^{g t( )a}₀^a₁^{cos 2t a} ₂^{cos 4t}.

On admet que la formule de PARSEVAL appliquée à g donne une valeur approchée à 10^3 près de la valeur efficace ^f_e de la fonction f. Calculer alors une valeur approchée à 10^3 près de ^f_e. Exercice 4 BTS-GO-2004

1°. On a obtenu à l'aide d'une calculatrice :

0^sin cost t dt0



^et 0

sin cos(2 ) 2 t t dt 3

  



a. Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

b. Calculer pour tout nN^*, l’intégrale :

0^sin cos( )t nt dt



2°. On considère le signal, modélisé par la fonction réelle e, de période^2,définie par : ^{( ) sin( ) [0; [} ( ) 0 [ ;2 [ e t t si t e t si t

   

    



a. Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction e pour t variant dans l'intervalle ^_^{  2 ;4 }_.

b. montrer que f est développable en série de Fourier et expliquer ce développement.

c. Calculer les coefficients de Fourier a0 , a1et a2 de la fonction e.

On admettra dans la suite de l'exercice que les coefficients b1 et b2 valent: 1 1

b 2 etb2 0. 3°.a. Calculer le carré _E²de la valeur efficace du signal e.

b. On sait par ailleurs que la formule de BESSEL-PARSEVAL donne :

2 2

2 2

0

1 2

n n

n

a b

E a ^



 



 Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.

Soit P le nombre défini par : ^{P a 021}₂



^{a12b12a22b22}



^.

4°.Calculer P, puis donner une approximation décimale à 10^3 près du rapport ^P₂ E .

La comparaison de_E² et P justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.

Exercice 5

Soit f un signal, défini sur R , périodique de période T égale à 2 . Ce signal est tel que : ^{( ) / 2}

( ) 0

f t t si t

f

 



    

 



Soit un repère orthononnal ( ; ; )O i j 

, l'unité étant le centimètre sur chaque axe.

1°. Tracer dans ce repère la représentation graphique du signal/pour I appartenant à l'intervalle^{[ 3 ;3 ]  } . 2°.Justifier pourquoi cette fonction est développable en série de Fourier.

3° a. montrer par récurrence que, pour tout nN,cos(n  ) ( 1)ⁿ. b. Montrer que Si ^n2p, ^pN, ^{sin 0}

2 n

 

 

  et si ^n2p1, ^pN, ^{sin ( 1)} 2

n p

 

  

  .

c. En utilisant les notations du formulaire, calculer les coefficients de Fourier relatifs au signal^f : a0 et, pour n entier positif non nul, an et bn .

d. En déduire que le développement en série de Fourier associé au signal ^f est :

 

¹

1

sin( )

n

n

n nt

 





 Que vaut ce développement pour ^t ?

4°.Démontrer que la série de terme général ^{( 1)}

2 1

n

un

n

 

 ,^nN est convergente.

5°. En posant t_2

dans le développement en série de Fourier de ^f ,déterminer la valeur de la somme

0

( 1)

2 1

n

n n











6° a. Calculer l'intégrale: ^{ f t dt2( )}





b. Montrer que la série de terme général⁽a²nb²n⁾ est convergente.

c. En utilisant les notations du formulaire, on rappelle que la formule de PARSEVAL est :

^{2 2}0 ^{2 2}

1

1 1

( ) ( )

2

T

n n

n

f t dt a a b

T

 

 

 







.Déduire des questions 3°a) et 3°b) la somme de la série de terme

général ¹₂ n . Exercice 6

On considère le signal électrique représenté par la fonction numérique ^de la variable réelle ^t, paire , périodique de période 2 et telle que : ( )t ²2tsi ^{t[0; / 2]} et ^{( ) 0t } si ^{t] / 2; ] } .

et dont la courbe représentée ci-dessous sur l’intervalle t [ 5 / 2;5 / 2] 

   



 



  

 



1°. Soit _nN^*. à l’aide d’une intégration par parties , calculer en fonction de n : ^I

_

₀^{/ 2(22 )cost}

 

^{nt dt.}

2°. Soit , pour tout t réel , ^{S t( )}la série de Fourier associée à ^. ₀

 

1

( ) _ncos( ) _nsin( )

n

S t a ^ a n t b n t



 



 ^.

Pour ^n1, donner la valeur de bn. a) Calculer a0.

b) Calculer anpour nN^*.

c) Montrer que, pour ^p1on a : 2 2

1 ( 1)^p a p

p

   .

d) En déduire , pour ^k0, la valeur de a4ket de a4k_2en fonction de ^k . e) Calculera2p_1 en fonction ^p.

f) Ecrire le développement en série de Fourier associée à ^, tronqué à l’harmonique de rang 2 . II. On se propose de composer le signal précédent avec un signal classique représenté par la fonction g , avec ^{g t( ) sin t} pour tout réel ^tet d’observer le résultat obtenu à l’aide d’un oscilloscope.

Pour décrire le résultat obtenu, on approche ^par la fonction ^f , somme du terme constant, du fondamental et du premier harmonique donnée par : ( ) ² 4cos 2cos(2 )

f t 4  t t pour tout réel ^t.

On considère la courbe paramétrée C définie par : ^{( )} ( ) x f t y g t

 

  pour ^{t [  ; ]}.

1°. Etudier la parité de ^f et de ^g.En déduire un élément de symétrie de la courbe C et une réduction de l’intervalle d’étude .

2°. Résoudre , sur ^{[0; ]} , l’équation 2cos( ) 1 0t   puis l’inéquation 2cos( ) 1 0t   .

3.Calculer ^{f t'( )}.En utilisant la formule sin(2 ) 2sin( )cos( )t  t t , déduire les variations de ^f sur ^{[0; ]} . 4°.Donner rapidement les variations de g sur ^{[0; ]} .

5°. Rassembler les résultats dans un tableau unique .

6°.Tracer la courbe C dans un repère orthogonal ( unités : 1cm en abscisse et 4 cm en ordonnée ).

On fera apparaître , en le justifiant , les tangentes parallèles aux axes de coordonnées . Exercice 7 :BTS GO-2008 ( 9 points )

Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par morceaux.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que : ^{( ) (3 ) 2 3 10 21}

3 2 5/ 2

E t si t

f t E t E si t

si t

   

     

  

Partie A :Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1. Préciser l’écriture de f(t) sur chacun des intervalles ^{[ 0;1[},^{[1; 2[} et [ 2 ;5 / 2 ]. 2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle ^{[ 5;10]} .

Partie B : Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeur de E n’est pas spécifiée. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f.

On note 0

1

2 2

( ) cos sin

5 5

n n

n

n n

S t a ^ a t b t



    

 



    

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est 0

2 3 5

a E

 ..

2. Déterminer ^b_n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

3. (a) Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

¹ _{2 2}

0

2 5 2 25 2

cos sin cos 1

5 2 5 4 5

n n n

t t dt

n n

  

 

 

     

    

       

       



(b) On a calculé les intégrales ₁^{2 ( )cos 2} 5 f t  n t dt

 

 



^et



₂^{5/ 2f t( )cos}_²₅^{nt dt}_

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

^{5/ 2} _{2 2}

0

2 25 2 4

( )cos (2 3)cos (3 )cos

5 4 5 5

n n n

f t t dt E E E

n

  



 

     

      

       

       



En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : _{2 2}^{5 (2 3)cos 2 (3 )cos 4}

5 5

n n n

a E E E

n

 



     

        

4. Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelle unl’harmonique de rang n.

On a alors ^{( ) cos 2 sin 2}

5 5

n n n n n

u t a   t b  t

    

    pour tout nombre réel t.

(a) Montrer qu’au rang 5, ^{u t}₅^{( )} est nul pour tout nombre réel t.

(b) On appelle E0la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que ^{u t}₃^{( )}est nul pour tout nombre réel t.

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10⁻² près, de ^E₀.

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.. Un tel signal avec^{u t}₃^{( )u t}₅^{( ) 0} permettra :

 s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple

 s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes

 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d’ordre supérieur.

Exercice 1

1.Construction de la représentation graphique.

2. a

La fonction f est paire donc f est développable en série de cosinus , Tous les coefficient bnsont nuls.

b. ^{2 2}

2 T

 

   car T 2.et ₀ ¹_{1 0}^{1 2 1}

0

1 1

(2 1) 2 (2 1) 0

a t dt 2 t dt t t

T ^  





  



     ^.

c. Soit n^, an ^{2 1}₁⁽²t ^1)cosn tdt ²₂ ^{2 (2}₀¹ t ^1)cosn tdt ^{2 (2}₀² t ^1)cos

 

n t dt

T   

 



   



 



 ^,

puisque ^t ^{f t( )cosn t} est une fonction paire . On intègre par parties, en posant : ^{u t( ) 2 t1} ; ^{u t'( ) 2} et ^{v t'( ) cos}

 

^{n t , v t( )}_n¹_ ^sin

 

^{n t .}

   

¹

   

¹

 

1 1

2 2

0 0

0 0

(2 1) 4 4 1 4

2 (2 1)cos 2 sin sin 0 cos cos( ) 1

n

a t n t dt t n t n t dt n t n

n n n n n

    

    

    

           

   

 

Par conséquent on a : Deux cas :

1. ⁿest pair, on pose ^n2p où ^nN 2 2 2

 

4 cos(2 ) 1 0

a p p

n 

    .

2. ⁿest impair, on pose ^n2p1 où ^nN

2 1 2 2

 

2 2 2 2

4 4 8

cos((2 1) ) 1 ( 1 1)

(2 1) (2 1) (2 1)

a p p

p  p p

  

        

   .

D’après ce qui précède : a00 ;

2 2

0 si 8 si

n

n est pair

a n est impair

n 



 



et bn⁰ pour tout entier^nN .

c. O r ₀

 

1

( ) _ncos 2 _nsin 2

n

S t a a nt b nt





 



 ^{, donc}

1

( ) _ncos 2

n

S t a nt









, c’est-à-dire :

2 1 2 2

1 1

( ) cos 2(2 1) 8 cos 2(2 1)

(2 1)

p

p p

S t a p t p t

 p 



 

  

    

 

 , on retrouve :

2 2

1

8 1

( ) cos 2(2 1)

(2 1)

p

S t p t

p 







  



 .

3.a On considère la série positive de terme général

 

^{2 2 2}

2

1 1

1

2 1) 4 1

2 Un

n n

n

 

 

   

 

On a :

 

2 2

2

2 4 2 4 1

2 1)

n

n n

n U  n  n n

 

 donc ^{lim 2 1}

n 4

n n U

  , par conséquent , la règle de Riemann s’appliquant aux séries à terme positifs permet d’affirmer que la série converge .

2 3

-1 -2 -3

-1

0 1

1

x y

Quand n tend vers l’infini , unest un équivalent de ¹₂

4n , on reconnaît le terme général d’une série de Riemann qui avec ^{  2 1}est une série qui converge , donc la série de terme général unconverge aussi d’après le théorème d’équivalence des séries positives .

b. D’après ce qui précède on a : 2 2 1

8 1

( ) cos2(2 1)

(2 1)

p

S t p t

p 







  



 ^{, donc 2 2}

1

8 1

(0) p (2 1)

S  p





 



 .

Or f satisfait aux conditions de Dirichlet, donc la série de Fourier converge vers ^{f t( )} lorsque f est continue en t .La fonction f est continue au voisinage de 0 donc ^{s(0) f(0)}, or ^{f(0) 1}

2 2

1

8 1

1  _n (2p 1)





  



 ^donc 2 ²

1

1 (2 1) 8

n p

 



 



^.

Exercice 2

1°) Le graphe de f est donné sur ^{[0; ]} . La fonction f est impaire donc, par symétrie de centre O, on obtient la représentation sur ^{[ ; ]} .La période est ^2 ,donc, par translation de vecteur 2i

et 2i

, on obtient la représentation sur ^{[ 3 ;3 ]  } c ' est- à- dire sur l'intervalle demandé :

  

  













 



 y

2°) La fonction f est périodique, continue et dérivable sur R sauf aux points d'abscisses k , k entier relatif.

Aux points d'abscisses ^2k , f admet une limite à droite 3, une limite à gauche -3, f ' admet une limite à droite et à gauche 0 . Aux points d'abscisses ^(2k1) , f admet une limite à droite 3, une limite à gauche 3, f ' admet une limite à droite et à gauche 0. En conséquence ( f et f ' sont continues par morceaux) f satisfait donc aux conditions de Dirichlet.

3°) Soit 0

 

1

( ) _ncos( ) _nsin( )

n

t S t a ^ a nt b nt



 





 .

a) La fonction f est impaire donc a0 0et, a_n 0 pour tout n dansN. b) La pulsation ^{2 2} 1

2 T

 

^{ }  ^ , d'où le calcul de bnselon la formule ci-dessous,

où l'intégrale peut être calculée avec une primitive sur ^{[0; ]} car la fonction ^t_ ^{f t( )sinn t} est une fonction impaire (comme produit de deux fonctions impaires) :

0

     ^{ } 

0

2 4 2 3cos 6 6

( )sin( ) 3sin( ) cos 1 1 1

2

a T n

n a

b f t n t dt nt dt nt n

T n n n

 

 

   

    









        ^pour

toutpN^*.

Si n pair alors n = 2p, ^b2n_n^_⁶

  

^{12n 1}



_n^_⁶

^

^{1 1 }

^

^{0 ,}

Sinon, si n impair alors n = 2p+ 1, ^b2p1_(2p^_⁶_1)

  

^{1 2p1 1}



_(2p^_⁶_1)

^

^{  1 1}

^

_(2p¹²_1)

On peut donc écrire

  ^{ }

1 0

6 12

( ) 1 ( 1) sin( ) sin (2 1)

(2 1)

n

n p

S t nt p t

n p 

 

 

    

 



c) Pour tout k dans ^N, pour tout réel t ;t k , ^{S t( ) f t( )}, selon le théorème de Dirichlet car f est continue.

Sinon, aux points de discontinuité, on obtient selon les cas vus en 2°) : pour ^t2k , ^{S t( )1}₂



^{f t( )  f t( )}



^1₂^{( 3 3) 0,   et f(2k) 0 ,}

pour ^{t(2k1)} , ^{( ) 1}



^{( ) ( )}



¹(3 ( 3)) 0, ((2 1) ) 0

2 2

S t  f t^  f t^     et f k   Concluons donc que pour tout t réel ^{S t( ) f t( )}.

4° 1a série est de terme général

 

¹

2 1

n

un

n

 

 . On reconnaît une série alternée, et ici le théorème spécial de convergence des séries alternées s'applique. En effet, pour tout n entier naturel on a :

1

1 1 1

2( 1) 1 2 3 2 1

n n

u u

n n n

    

    .Ainsi, la suite définie par ¹

2 1

un

 n

 est décroissante et _n^lim_^{un 0}

La question précédente fournit ³

2 2

S    f   

    . D'où par simplification :

 

0

12 sin (2 1) 3 (2 1)

p

p p 







 



 ^{sin (2} ^p1)₂^^sin^p₂^^{cosp  }

 

^{1 p}

    . Donc

   

0 0

12 1 12 1

(2 1) (2 1) 3

p p

p p   p p

 

 

 

 

 

 

Donc on a :

 

0

1 3

(2 1) 12 4

p

p p

 





   



 ^.

5°) La fonction ^g est la somme du fondamental ¹²_ ^sint et du premier harmonique ^{12 1sin(3 )}

3 t



 

 

 .

- pour tout t réel : ^{( ) 12 sin}

 

^{1sin 3}

 

^{12 sin}

 

^{1sin 3}

 

^{( )}

3 3

g t t t t t g t

 

   

          

    , donc g est impaire

par définition.

- On vérifie que ^gest 2 périodique ( c’est-à-dire que 2

Pour tout t réel on a : ^{( ) 12 sin}



²



^{1sin 3(}



^{2 )}



^{12 sin}

 

^{1sin 3}

 

^{( )}

3 3

g t t  t  t t g t

 

   

          .

Pour tout t réel on a : ^{g t'( )12}_



^cos

 

^{t cos 3}

 

^t



.Or on sait que : ^{cos cos 2cos cos}

2 2

p q p q

p q      

     

   

Donc ^{g t'( )12}_



^cos

 

^{t cos 3}

 

^t



^24_ ^{cos(2 )cost t}. Etudions le signe de ^{g t'( )} : Sur l’intervalle ^{[0; ]}

4

 , on a : ^{[0; ]} t_ 4

donc ^{2 [0; ]} t_ 2

et ^{cos(2 ) 0t } pour ^{[0; ]} t_ 4

. Sur l’intervalle ^{[ ; ]}

4 2

  , on a : ^{[ ; ]} t_  4 2

donc ^{2 [ ; ]}

t  2 et ^{cos(2 ) 0t } pour ^{[ ; ]} t_  4 2

. Sur l’intervalle ^{[ ;3 ]}

2 4

  , on a : ^{[ ;3 ]} t_  2 4

donc ^{2 [ ;3 ]}

t  2 et ^{cos(2 ) 0t } pour ^{[ ;3 ]} t_  2 4

. Sur l’intervalle ^{[3 ; ]}

4  , on a : ^{[3 ; ]}

t 4  donc ^{2 [3 ;2 ]}

t 2  et ^{cos(2 ) 0t } pour ^{[3 ;2 ]} t 2  . Sur l’intervalle ^{[0; ]}

2

 , on a : ^{cos( ) 0t } et sur ^{[ ; ]}

 2 cos( ) 0t  , d’où le tableau de variation de^g. t 0

4

 2

 ³ 4

 ^ cost 

cos(2 )t 

'( )

g t 

( ) g t

M ^{8 2}

  M ^{8 2}

  0 ^{m 8}

 0

^{12 sin 1sin 3 12 2 1 2 12 3 2 2 12 4 2 8 2}

4 4 3 4 2 3 2 6 6 6

g   

    

     

 

     

           

            

            