EXERCICE1 – séries de FOURIER
f(t)=
1 si 06t6α 0 si α<t<π−α
−1 si π−α6t6π
avec 0<α<π
2 etf paire et périodique de période 2π.
1. Représentation de f sur[−2π; 2π]lorsqueα=π 3 Pourα=π
3 on af(t)=
1 si 06t6π3 0 si π3<t<2π3
−1 si 2π3 −α6t6π .
2. a. Calcul de a0
D’après le formulairea0= 1 2π
Zπ
−π
f(t)dtet commef est paire,a0=1 π
Zπ
0 f(t)dt, d’où : a0=1
π
·Zα
0 1dt+ Zπ−α
α
0dt+ Zπ
π−α
(−1)dt
¸
= 1
π[α−0−(π−(π−α))]=1
π(α−π+π−α)=0.
b. Valeur de bnpour tout entier n>1 D’après le formulairebn=1
π Zπ
−π
f(t) sin(nt)dt.
Comme f est paire,t7−→f(t) sin(nt) est impaire donc Zπ
−π
f(t) sin(nt)dt=0, d’où, pour tout entiern>1, bn=0.
c. Calcul de anpour tout entier n>1 D’après le formulairean=1
π Zπ
−π
f(t) cos(nt)dtet comme f est paire,t7−→f(t) cos(nt) est également paire doncan=2
π Zπ
0 f(t) cos(nt)dt. On a : πan
2 = Zα
0 1cos(nt)dt+ Zπ−α
α
0cos(nt)dt+ Zπ
π−α
(−1) cos(nt)dt
= h1
nsin(nt)iα 0+0−
h1
nsin(nt)iπ π−α
=1
n(sin(nα)−sin 0)−1
n(sin(nπ)−sin(nπ−nα))
=1
n(sin(nα)+sin(nπ−nα)) .
Or sin(nπ−nα)=sin(nπ) cos(nα)−cos(nπ) sin(nα)= −(−1)nsin(nα) donc, pout tout entiern>1, πan
2 =
1
n[sin(nα)−(−1)nsin(nα)), soitan= 2
nπ[1−(−1)n] sin(nα).
3. Valeurα0deαpour laquelle a3=0 a3= 2
3π
£1−(−1)3¤
sin(3α)= 4
3πsin(3α).
4. a. Calcul de F2
F2= 1 2π
Zπ
−π
f2(t)dt
= 1 π
Zπ 0
f2(t)dt carf2est paire puisquef l’est également,
= 1 π
"
Zπ
3 0 12dt+
Z2π
3
π 3
02dt+ Zπ
2π 3
(−1)2dt
#
= 1 π
"
Zπ
3 0
dt+ Zπ
2π 3
dt
#
= 1 π
·³π 3−0´
+ µ
π−2π 3
¶¸
= 1 π
³π 3+π
3
´
donc F2=2 3. b. Calcul de g(t)
g(t)=a0+a1cos(t)+b1sin(t)+a2cos(2t)+b2sin(2t) avect∈R.
Ora0=b1=b2=0,a1= 2 1×π
£1−(−1)1¤ sin³
1×π 3
´
=4 πsin³π
3
´
=2p 3 π et a2= 2
2×π
£1−(−1)2¤ sin³
2×π 3
´
=0 donc, pour toutt∈R,g(t)=2p 3 π cos(t).
c. Calcul de G2
gest périodique de période 2π, d’où : G2= 1
2π Zπ
−π
g2(t)dt
=1 π
Zπ 0
g2(t)dt carg2est paire puisquegl’est également,
=1 π
Zπ 0
Ã2p 3 π cos(t)
!2
dt
=12 π3
Zπ
0 cos2(t)dt
=12 π3
Zπ
0
1+cos(2t)
2 dt
= 6 π3
Zπ
0 [1+cos(2t)] dt
= 6 π3
h
t+sin(2t) 2
iπ 0
= 6
π3×π donc G2= 6 π2. d. Calcul deG2
F2
G2 F2=
6 π2
2 3
= 9
π2=0,912 à 10−3près.
EXERCICE2 – équations différentielles et transformation de LAPL ACE
Partie A – résolution de (E1) :y′′(t)+4y(t)=8 1. a. Solution particulière constante de(E1)
La fonctionx7−→ϕ(t)=k(aveckune constante réelle) est solution de (E1) si et seulement si, pour toutt∈R, ϕ′′(t)+4ϕ(t)=8 soit 4k=8 donck=2.
Une solution particulière constante de (E1) est la fonctiont7−→ϕ(t)=2.
b. Solution générale de(E1)
La solution générale de l’équation sans second membrey′′(t)+4y(t)=0 est la fonctiont7−→ Acos(2t)+ Bsin(2t), avecAetBdeux constantes réelles car l’équation caractéristique estr2+4=0 qui a pour solutions 2iet−2i.
La solution générale de (E1) est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de (E1), donc la solution générale de (E1) est la fonctiony définie surRpary(t)=2+ Acos(2t)+Bsin(2t),AetBétant deux constantes réelles.
2. a. Solution f de(E1)qui vérifie f(0)=0et f′(0)=0
f est solution de (E1) donc, pour toutt∈R,f(t)=2+Acos(2t)+Bsin(2t).
f(0)=0 si et seulement si 2+A=0 soitA= −2.
f est dérivable surRet, pour toutt∈R,f′(t)= −2Asin(2t)+2Bcos(2t).
f′(0)=0 si et seulement si 2B=0 soitB=0.
Donc, pour toutt∈R,f(t)=2−2cos(2t)=2[1−cos(2t)].
b. Période, minimum et maximum de f
La pulsation def estω=2 donc sa période estT=2π ω =2π
2 =π.
Pour toutt∈R,−16cos(2t)61 d’où,−16−cos(2t)61, soit 061−cos(2t)62, donc 06f(t)64. La fonctionf a donc pour minimum 0 et pour maximum 4.
Le minimum est atteint en 0 (modπ) et le maximum est atteint enπ
2 (modπ).
Partie B – résolution de (E2) :g′′(t)+4g(t)=8
·
U(t)−U³t−π 2
´
+U(t−π)−U µ
t−3π 2
¶¸
1. a. Représentation sur[0 ; 2π]de t7−→e(t)=8
·
U(t)−U³t−π 2
´
+U(t−π)−U µ
t−3π 2
¶¸
On obtient facilemente(t)=
0 si t<0 ou π
2 6t<π ou t>3π 2 8 si 06t<π
2 ou π6t<3π 2
. b. Calcul deE(p)
Pour toutp>0,L(U(t))=1
p,L¡U¡t−π
2
¢¢=1
pe−πp2 ,L(U(t−π))=1
pe−πpetL¡U¡t−π
2
¢¢=1 pe−3πp2 . D’après la linéarité de la transformation de LAPLACE,E(p)=8
p h
1−e−πp2 +e−πp−e−3πp2 i . 2. a. Calcul de G(p)
L¡g′′(t)¢=p2G(p)−p g(0)−g′(0)=p2G(p) carg(0)=g′(0)=0.
L¡g′′(t)+4g(t)¢
=p2G(p)+4G(p)=¡ p2+4¢
G(p), d’après la linéarité.
Or,g′′(t)+4g(t)=e(t) donc¡ p2+4¢
G(p)=E(p) soitG(p)= 1
p2+4E(p).
c. Expression de g Pour toutp>0 :
G(p)=H(p)× h
1−e−πp2 +e−πp−e−3πp2 i
=H(p)−H(p)e−πp2 +H(p)e−πp−H(p)e−3πp2 , donc, pour toutt∈R,g(t)=h(t)−h³
t−π 2
´
+h(t−π)−h µ
t−3π 2
¶ . 3. a. Expressions de g(t)surh
0 ; π 2 h
et sur
· π; 3π
2
·
Pour toutt∈ h
0 ; π 2 h
,h(t)=2[1−cos(2t)] eth³ t−π
2
´
=h(t−π)=h µ
t−3π 2
¶
=0.
Donc, pour toutt∈ h
0 ; π 2 h
,g(t)=2[1−cos(2t)].
Pour toutt∈
· π;3π
2
·
,h(t)=2[1−cos(2t)],h³ t−π
2
´
=2[1−cos(2t−π)]=2[1+cos(2t)],h(t−π)=2[1−cos(2t−2π)]= 2[1−cos(2t)] eth
µ t−3π
2
¶
=0.
Donc, pour toutt∈
· π; 3π
2
· :
g(t)=2[1−cos(2t)]−2[1+cos(2t)]+2[1−cos(2t)]=2−2cos(2t)−2−2cos(2t)+2−2cos(2t).
Finalement, pour toutt∈
· π; 3π
2
·
,g(t)=2−6cos(2t).
On peut donc écrire :
g(t)=
0 si t<0 2−2cos(2t) si 06t<π
2
−4cos(2t) si π 26t<π 2−8cos(2t) si π6t<3π
2
−8cos(2t) si t>3π 2
.
Représentations graphiques
EXERCICE1
Représentation def sur [−2π; 2π]
1 2
−1
−2
−2π −π 0 π 2π t
f(t)
EXERCICE2
Partie A – représentation def sur [0 ; 2π]
2 4
0 π 2π t
f(t)
Partie B – représentation deesur [0 ; 2π]
4 8
e(t)
Partie B – représentation degsur
· 0 ; 5π
2
¸
2 4 6 8
−2
−4
−6
−8
−π
−π 2
0 π
2
π 3π
2
2π 5π
2
3π t g(t)
