A.P.M.E.P.
[ Brevet de technicien supérieur \
novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie
Exercice 1 12 points
On désigne parαun nombre réel positif tel que 0<α<
π 2.
On considère la fonctionf définie surR, paire, périodique de période 2π, telle que :
f(t) = 1 si 06t6α f(t) = 0 si α<t<π−α f(t) = −1 si π−α6t6π 1. Dans cette question, le nombre réelαvautπ
3.
Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonctionf sur l’in- tervalle [−2π; 2π].
2. On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf On noteS(t)=a0+
+∞X
n=1
(ancos(nt)+bnsin(nt)).
Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier Spour une valeur quelconque du nombre réelαtel que 0<α<
π 2. a. Calculera0, valeur moyenne de la fonctionf sur une période.
b. Déterminerbn,ndésignant un nombre entier naturel strictement positif.
c. Montrer que, pour tout nombre entier naturelnstrictement positif, on a : an= 2
nπ
£1−(−1)n¤
sin(nα).
3. Déterminer la valeurα0deαpour laquelle on aa3=0.
4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas oùα= π 3. Rappels :
Sihdésigne une fonction périodique de périodeT, le carré de la valeur effi- caceHde la fonctionhsur une période est :
H2= 1 T
Zr+T r
[h(t)]2dt.
rdésignant un nombre réel quelconque.
Si les coefficients de Fourier de la fonctionhsonta0,anetbnalors : 1
T Zr+T
r
[h(t)]2dt=a20+
+∞X
n=1
a2n+bn2
2 formule de Parseval a. CalculerF2, carré de la valeur efficace de la fonctionf sur une période.
b. On définit surRla fonctiongpar :
g(t)=a0+a1cos(t)+b1sint+a2cos(2t)+b2sin(2t).
Montrer queg(t)=2p 3
π cos(t) pour tout nombre réelt.
c. CalculerG2, carré de la valeur efficace de la fonctiongsur une période.
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d. Donner une valeur approchée à 10−3près du quotientG2 F2.
Ce dernier résultat montre que la fonction g constitue une assez bonne ap- proximation de la fonction f .
Exercice 2 10 points
On s’intéresse à un système entrée-sortie.
Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes.
Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.
Partie A
On considère l’équation différentielle (E1) suivante : y"(t)+4y(t)=8 (E1) oùydésigne une fonction dérivable de la variable réellet.
1. a. Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle (E1).
b. Déterminer la solution générale de l’équation (E1).
2. a. Montrer que la fonctionf, solution de l’équation différentielle (E1) et qui vérifief(0)=0 etf′(0)=0 est définie surRpar :
f(t)=2[1−cos(2t)].
b. La fonctionf est périodique. En donner une période.
Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonctionf. c. Représenter la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 2π].
Partie B
On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par :
½ U(t) = 0 si t<0 U(t) = 1 si t>0
Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[.
On considère la fonctionedéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : e(t)=8
·
U(t)−U
³ t−
π 2
´
+U(t−π)−U µ
t−3π 2
¶¸
On considère la fonction causaleg qui vérifie les conditionsg(0)=0 etg′(0)=0, ainsi que la relation (E2) suivante :
y"(t)+4y(t)=e(t) (E2)
On admet que la fonctiongpossède une transformée de Laplace notéeG.
1. a. Représenter la fonctionesur l’intervalle [0 ; 2π].
b. On appelleE la transformée de Laplace de la fonctione.
DéterminerE(p).
2. a. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa- tion (E2), montrer que :
G(p)= 8 p¡
p2+4¢
³
1−e−pπ2+e−pπ−e−p32π´ .
Nouvelle–Calédonie Groupe A 2 novembre 2008
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b. Vérifier que la fonctionhdéfinie surRparh(t)=2[1−cos(2t)]U(t) a pour transformée de Laplace la fonctionHdéfinie par
H(p)= 8 p¡
p2+4¢.
c. Donner une expression de la fonctiong, en utilisant éventuellement la fonctionh.
3. a. On donne les expressions deg(t) sur les intervalles hπ
2 ;π h
et
·3π 2 ;+∞
· :
g(t) = −4cos(2t) si t∈ hπ
2 ;π h
g(t) = −8cos(2t) si t∈
·3π 2 ;+∞
·
Donner des expressions similaires deg(t) pour les intervallesh 0 ; π
2 h
et
· π; 3π
2
· .
b. On a représenté surl’annexe, à rendre avec la copiela fonctiongsur les intervalleshπ
2;π h
et
·3π 2 ;+∞
· .
Compléter le graphique en traçant la représentation graphique deg sur les intervallesh
0 ; π 2 h
et
· π; 3π
2
· .
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Annexe à rendre avec la copie
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
π
2 π 3π
2 2π t
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