A.P.M.E.P.
[ Brevet de technicien supérieur \
Nouvelle–Calédonie novembre 2007 - groupement A
Exercice 1 9 points
On considère la fonction numérique paire, 2π-périodique, définie sur l’intervalle [0 ;π] par :
f(t) = cos(t) si 06t<π 2
f(t) = 0 si π
2 6t6π
On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe représentative de la fonc- tion cosinus sur l’intervalle [−π; 3π].
1. Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonctionf sur l’intervalle [−π; 3π].
2. On admet que la fonction f satisfait aux conditions d’application du théo- rème de Dirichlet et, par conséquent qu’elle est décomposable en série de Fourier.
On note :
S(t)=a0+X
n>1
[ancos(nt)+bnsin(nt)]
la série de Fourier associée à la fonctionf.
a. Donner la valeur debnpour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1.
b. Calculera0. c. Calculera1.
d. Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a :
an=1 π
sinh
(n−1)π 2 i
n−1 +
sinh (n+1)π
2 i
n+1
3. On noteS1(t) la série de Fourier associée à la fonctionf tronquée au rang 1.
On a donc :S1(t)=1 π
+1 2cost.
À partir de la courbe représentative de la fonction cosinus tracer sur le docu- ment réponse la courbe représentant la fonctionS1sur l’intervalle [−π; 3π].
On laissera figurer les tracés intermédiaires.
Exercice 2 11 points
Dans cet exercice, on considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels telle que :
f′′(t)+6
5f′(t)+f(t) = 1 pour tout nombre réelt f(0) = 0
f′(0) = 0
1. Dans cette question on détermine une expression def(t).
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a. Résoudre l’équation différentielle (E)
y′′(t)+6
5y′(t)+y(t)=0 (E)
dans laquelleydésigne une fonction de la variable réellet.
b. En déduire que la fonctionf est définie pour tout nombre réeltpar :
f(t)=1−e−35t
· cos
µ4 5t
¶ +3
4sin µ4
5t
¶¸
.
2. Dans cette question on détermine la limite de la fonction f au voisinage de +∞.
a. Justifier que, pour tout nombre réelt, on a :
−e−53t6e−35tcos µ4
5t
¶ 6e−35t b. En déduire que
t→+∞lim e−35tcos µ4
5t
¶
=0 c. Déterminer la limite de la fonction f en+∞. 3. a. Calculer f′(t) pour tout nombre réelt.
b. Montrer que :f′(t)=0 équivaut àt=5kπ
4 , oùkdésigne un nombre entier relatif.
c. On note pour tout nombre entier relatifk,tk=5kπ
4 et on pose Dk=¯
¯f(tk)−1¯
¯.
Montrer que :Dk=e−34kπ.
Groupe A 2 novembre 2007
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Document-réponse à rendre avec la copie
1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
Groupe A 3 novembre 2007
