Métropole juin 2003 + Nvelle Calédonie mars 2011
Ex 1 :
Soientaun réel strictement posi- tif et OABC un tétraèdre tel que :
•OAB, OAC et OBC sont des tri- angles rectangles en O,
•OA = OB = OC =a.
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’es- pace défini par−−→HO =−−→OD .
A
I
B C
O D
H
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’or- thocentre du triangle ABC.
3. Calcul de OH
a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.
b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH =a p3
3 . 4. Étude du tétraèdre ABCD.
L’espace est rapporté au repère orthonormal µ
O ; 1 a
−−→OA , 1 a
−−→OB , 1 a
−−→OC
¶ . a. Démontrer que le point H a pour coordonnées :³a
3, a 3, a
3
´.
b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
c. SoitΩle centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer queΩest un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
EX 2 : L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→
ı ,→−
,−→ k ´
. On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ;−1) et C(−2 ; 2 ; 2).
1. a. Calculer le produit scalaire−−→AB·−−→AC puis les longueurs AB et AC.
b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angleBAC.
c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x−y+2z+2=0.
3. SoientP1, etP2les plans d’équations respectivesx+y−3z+3=0 et x−2y+6z=0.
Montrer que les plansP1etP2sont sécants selon une droiteDdont un sys- tème d’équations paramétriques est
x = −2 y = −1+3t
z = t
,t∈R.
4. Démontrer que la droiteDet le plan (ABC) sont sécants et déterminer les co- ordonnées de leur point d’intersection.
5. SoitS la sphère de centreΩ(1 ;−3 ; 1) et de rayonr=3.
a. Donner une équation cartésienne de la sphèreS.
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incom- plète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva- luation.
b. Étudier l’intersection de la sphèreS et de la droiteD. c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphèreS.
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