SUJET -BTS-GO-GR-A-MAI-2009 -FRANCE AVEC CORRECTION

Exercice 1

Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre . On s’intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d’une grande entreprise , provenant de clients dispersés sur le réseau Internet .

La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d’engendrer des problèmes de surcharge du serveur .

Partie A

Dans cette question , on s’intéresse au nombre des requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques.

On désigne par  un nombre réel strictement positif . on appelleX la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée (exprimée en secondes).La variable aléatoireX suit une loi de poisson de paramètre ^{ 500} .

1.Dans cette question , on s’intéresse au cas où  ^0,01

a) Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d’une durée  de 0,01

s

. b) En expliquant votre démarche , déterminer le plus petit entier naturel ⁿ₀tel que ^{P X}



^n₀



^0,05. 2. Dans cette question , on s’intéresse au cas où  ^{0, 2}.

On rappelle que la loi de poisson de paramètre 100peut être approchée par la loi normale de moyenne  ¹⁰⁰ et d’écart-type  10.

En utilisant cette approximation , calculer : a) la probabilité ^{P X}



^120



;

b) une valeur approchée du nombre réel positif ^a tel que ^P



^{100 a X 100a}



^0,99. Partie B

Dans cette partie , on considère :

. d’une part , que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionnements importants au cours D’une journée donnée est ^p0,01.

. d’autre part , que des dysfonctionnements importants survenant cours de journées distinctes constituent des événements aléatoires indépendants.

1. On appelle Y la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’un mois de 30 jours.

a) On admet que la variable aléatoire Ysuit une loi binomiale . Préciser les paramètre de cette loi .

b) Calculer , à ₁₀^3près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2 jours des dysfonctionnements importants pendant un mois .

2. On appelleZla variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’une année de 365 jours .

a) Donner sans justification , la loi de probabilité de la variable aléatoire Z. b) Donner l’espérance mathématique et l’écart-type de la variable aléatoire Z. Partie C

Dans cette partie , on s’intéresse à la durée séparant deux requêtes successives reçues par le serveur . On appelleTla variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimée en secondes) séparant l’arrivée de deux requêtes successives par le serveur .

1. On désigne par ^t un nombre réel positif . la probabilité queTprenne une valeur inférieure ou égale à ^t est donnée par :

 

⁵⁰⁰

0^t500 ^x P T t 



e^ dx^.

a) Calculer^{P T t}



^



en fonction de ^t .

b) En déduire la valeur de ^t pour laquelle ^{P T t}



^{ }



^0,95. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde.

2.

a) Calculer à l’aide d’une intégration par parties , l’intégrale ⁵⁰⁰ ( ) 0^t500 ^x I t 



xe^ dx^. b) Déterminer la limite ^m de ^{I t( )}quand^ttend vers .

Le nombre ^mest l’espérance mathématique de la variable aléatoire T. Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtes successives.

Commentaire :

Ce modèle ,très simple , intéresse les concepteurs de systèmes d’information ou de télécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d’un système, en particulier au sens du « scénario du pire des cas »

Exercice 2 (11 points )

Dans cet exercice , on étudie un système « entrée-sortie ».

La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité .

Les partie B et C permettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de 0,1 seconde . On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

( ) 0 0

( ) 1 0

t si t t si t

 

  

 U U

Une fonction est définie sur Rest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] ;0[. Partie A

On considère la fonction causales₁telle que , pour tout nombre réel^t : _{1 1}

0

( ) ^t ( ) ( )

s t 



s u du ^U t ^. On noteS₁la transformée de Laplace de la fonctions_1.

1. Montrer que ₁ 1

( ) 1

S p  p

 ^. 2. En déduire s t₁( )pour tout réel ^t.

La courbe représentative de la fonctions₁est donnée par la figure 1 du document réponse.

Partie B

On considère la fonction causales₂ telle que , pour tout nombre réel^t : _{2 2}

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1)

s t 



s u du^U t ^U t ^. On noteS₂la transformée de Laplace de la fonctions_2.

1. Représenter graphiquement la fonction e₂définie l’ensemble des nombres réels par : e t₂( )U ( )t U (t1) .

2.Déterminer S p₂( )_. 3.

a) En déduire s t₂( )pour tout réel ^t. b) Justifier que :

2 2 2

( ) 0 0

( ) 0 1

( ) ( 1) 1

t t

s t si t s t e si t s t e e si t





 

   

    



.

4. Etablir le sens de variation de la fonctions₂ sur l’intervalle ]1;[

5. Calculer ^s₂^{(1 ) s}₂^{(1 )} .

6. On appelle C2 la courbe représentative de la fonctions_2. a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

t 1 1,1 1,5 2 2,5

2( ) s t

Les résultats seront donnés à 10^2près.

b) Compléter le tracé de la courbeC2 sur la figure 2 du document réponse , à rendre avec la copie . Partie C

On considère la fonction causales₃ telle que , pour tout nombre réel^t : _{3 3}

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1) ( 1,1)

s t 



s u du^U t ^U t ^U t ^. 1. Soit la fonction e3 définie sur l’ensemble des nombres réels par :

e t₃( )U ( )t U (t 1) U (t1,1)

a) Montrer que e t₃( )e t₂( ), pour tout nombre réel ^t appartenant à l’intervalle ^{] ;1,1[}

b) Déterminer e t₃( ) _pour t1,1.

c) Représenter graphiquement la fonction e_3. Pour la suite , on admet que :

^{3 3} _1,1

3

( ) ( ) 1,1

( ) ^t(1 ) 1,1

s t s t si t

s t e^ e e si t

 



   

 ^.

2. Etablir le sens de variation de la fonctions3 sur l’intervalle ^]1,1;[ 3. Calculer s₃(1,1 )^ s₂(1,1 )^ .

4. On appelle C3 la courbe représentative de la fonctions3_.

a) Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

t 1 ,1 1,5 2 2,5

3( ) s t

Les résultats seront donnés à 10^2près.

b) Compléter le tracé de la courbeC3 sur la figure 3 du document réponse , à rendre avec la copie .

Document réponse à rendre avec la copie ( exercice 2)

Figure1: représentation graphique de la fonction s₁

e-1

2

0 1

1

x y

Figure 2: représentation graphique de la fonction s2

e-1

2

-1

0 1

1

x y

Figure 3: représentation graphique de la fonction s₃

e-1

2

-1

0 1

1

x y

Exercice 1

1.

a) La variable aléatoireX suit une loi de poisson de paramètre ^{ 500}      ^

Donc _{( )}

 

! e k

p X k

k

 

 

  et on a : _{( 0)} ⁵

 

^{5 0} ₅

0!

p X e e

  

   et _{( 1)} ⁵

 

⁵¹ _{5 5}

1!

p X e e

  

  

la variable aléatoire X a pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée sont deux à deux incompatibles .Donc le serveur reçoive au plus une requête au cours d’une durée  de 0,01

s

a pour probabilité :

⁵

 

5 ^{0 5}

 

5 ¹ 5

( 1) ( 0) ( 1) 6 0,0404

0! 1!

e e

p X p X p X e

 

  

         .

b) P X



n0



 1 p Y



n0



<0,05 p Y



n0



 0,95 p Y n



 0



0,95, or



0



ⁿ⁰

 

0

=

p Y n



p X k ^. Par conséquent, afin de déterminer le plus petit entier n0 à l’aide la table de la loi de Poisson, il faut ajouter

successivement les valeurs de façon à dépasser 0, 95. à l’aide de la table de la loi de poisson ( voir

formulaire ) ,

on lit : avec 5, On obtient p Y



 7 0,007 0,034 0,084 0,14 0,176 0,176 0,146 0,104 0,065 0,932 0,95



          et p Y



⁸



0,007 0,034 0,084 0,14 0,176 0,176 0,146 0,104 0,065 0,036 0,968 0,95          

On conclut que n₀ 9.

2. a la loi de poisson de paramètre 100peut être approchée par la loi normale de moyenne  ¹⁰⁰ et d’écart-type  10. On utilise le changement de variable X m

T 

  .T suit la loi normale ^N



^{0 ;1}



120 100 20

( 120) ( ) ( ) ( 2) 1 ( 2) 1 0,9772 0,0228

10 10

P X P X m P T P T P T



 

             .

2. b

On se ramène à la loi normale centrée réduite pour utiliser sa table donnée dans le formule en posant

100

10

T  X  . 100 100 100 100

100 100

10 10 10 10

a a a a

a X a   T   T

           ,

en appliquant la formule du cours ^p



^{100 a X 100a}



^{ p}^₁₀^{a  T} ₁₀^{a }^{ 2 }₁₀^{a }^1

   

2 1 0,99 2 1,99 0,995

10 10 10

a a a

     

        

      .or la table donne la valeur correspondante

à 0,995 et on a : 2,5 0,075 2,575 10

a    , donc ^a25,75.

Partie B

1a). Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’un mois de 30 jours

Le serveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’une journée est p0,01 ( succès ) : Ou bien le serveur ne connaît pas des dysfonctionnements importants au cours d’une journée( échec) avec la probabilité ^q0,99. On répète ⁿfois cette épreuve de manière indépendante

( tirage avec remise ). Donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n, p),où ^p0,01 . b) On pose n30 ; p X( k)C30^k 



0,01

 

^k 0,99



^30k ;^{0 k 30}. Quand ^k2 ;

30⁰

  

⁰



³⁰ 30¹

  

¹



²⁹ 30²

  

²



²⁸

( 2) ( 0) ( 1) ( 2)

( 2) 0, 01 0,99 0,01 0,99 0,01 0,99

( 2) 0,7397 0, 22415 0,03283 0,99668

p Y p X p X p X

p Y C C C

p Y

      

         

    

.

2.a) On pose n365 ; p X( k)C365^k 



0, 01

 

^k 0,99



^365k ;^{0 k 365}

b) E Y

 

np365 0,01 3,65  et 

 

Y  npq  365 0,01 0,99 1,90   . Partie C

1. a.

 

₀ ^{500 500 500}

500 0^t 1

t x x t

p T t 



e^ dx  e^   e^{ .}

b. ^{p T t}



^{ }



^{0,95 1 e500t 0,95e500t 0,05 500 lnt eln(0,05)}

^{500 ln ln 5 1}



^{ln100 ln 5}



0,00599 0, 006

100 500

t e   t

        .

2. ^{I t}

 

^

_

₀^{t500xe500xdx }_ ^xe500x_0^{t }

_

₀^{te500xdx te500t 0} ₅₀₀¹



^1e500t



^{I t}

 

^{ te500t }₅₀₀¹



^1e500t



, on sait que _t^lim_^{eu 0}.

On pose u 500t donc _t^lim_^u_t^{lim 500}_^{ t } et lim ^500t lim ^u 0

t e^ u e

   

^{500 500} ₅₀₀^{1 1 500}₅₀₀

500 500

t

t t

t t

te e e

 

      et en pose v500t donc ⁵⁰⁰_500t^{t u}_u e e Or lim ^u

t

e u

   (formulaire ) donc ^lim _u ⁰

t

u e

  , donc



⁵⁰⁰



500 500

1 500 1 500 1

lim lim lim lim 0

500 500 500

t

t t u

t t t u

t t u

te e e e



   

     

             .

 

^{500 1 1 500}

500 500

t t

I t  te^   e^ et enfin 1

lim ( ) 0,002

500

t I t

   .

Exercice 2 Partie A

2. on rappelle la transformée de Laplace connue suivante ( voir formulaire) Pour tout nombre^pde ^{] 0;[} ,on a : 1

( ( ))t

 p U

L . Par conséquent ,

1. _{1 1}

0

( ) ^t ( ) ( )

s t 



s u du^U t ^{, L}



^{s t1( )}

^

^{0ts u du1( )}



^L

^

^{U ( )t}

^

^L est linéaire donc

^L



^{s t1( )}



^L

 ^

^{0ts u du1( )}



^L

^

^{U ( )t}

^

^{et L}

^

^{s t1( )}

^

^{S p1( ) , L}

 ^

^{0ts u du1( )}



^{ S p1( )}_p ^{et L}

^

^{U ( )t}

^

^{ 1}_p

Donc on a :

1 1 1 1

1

( ) 1 1 1 1 1

( ) ( ) 1 ( )

( ) 1

1

S p p

S p S p S p

p p p p p p

S p p

    

        

   

 

^L



^{eatU ( )t}



^ _{p a}¹_ donc on passe à l’original et on obtient ¹ 1

at ( )

e t

p a

   

  

  U

L Ici a1 et on obtient 1



1



¹ 1

( ) ( ) ( )

1

s t S p e t t

p

    

L L    U .

Partie B

1.

t  0 1 

( )t

U 0 1 1

(t 1)

U  0 0 

2( ) ( ) ( 1)

e t U t U t 0 1 

On déduit que 2

0 0

( ) 1 0 1

0 1

si t

e t si t

si t

 

  

 



2. on rappelle les transformée de Laplace connues suivantes ( voir formulaire) Pour tout nombre^pde ^{] 0;[} , 1

( ( ))t

 p U

L alors 1

( (t )) e ^p

p

  

U  ^

L . Par conséquent ,

2 2

 

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1)

s t s u du t t

    

 





 ^{U U}

L L



2



2

   

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1)

s t   s u du t  t 





 ^{U U}

L L L L , on sait que



^{(t 1)}



^{e p}

p

  

U L

Et on a : ^{S p2( )S p2( )}_p ^{ 1}_p ^e_p^{p S p2( )} ^p_p^1^{ 1}_p



^1ep



^{S p2( )} _p¹₁



^1ep



. ^L



^{ea t()U (t)}



^{ e}_{p a}^_^{p et} L ^1

^

^{S p2( )}

^

^L ^1 _p¹₁



^1ep



^

2 ¹ 1 ^{1 ( 1)}

( ) ( ) ( 1)

1 1

p t t

s t e e t e t

p p

         

L   L    U  U 

s t₂( )e^tU ( )t e^{ ( 1)t} U (t1)

s t₂( )e^tU ( )t e^{ ( 1)t} U (t1) et enfin

 

2

( 1)

0 0

( ) [0;1[

1 [1; [

t

t t t

si t s t e si t

e e e e si t



   





 

      



4. s2( )t  e^t



e1



, s₂ est dérivable sur R et on a : s' ( )2 t e^t



e1



, on sait que _e^t _0

Pour tout réel ^t et e 1 0, on déduit que s' ( ) 02 t  et par conséquent la fonction s2est strictement Croissante sur R et en particulier sur ^]1;[.

5. s₂(1 )^ s₂(1 )^ : 2

 

^{1 1}

(1 ) lim1 ^t( 1) ( 1) 1

s ^ t _ e e^ e e^ e^

          . ^{s2(1 ) lim}_{t 1}

 

^{e t e 1}

  

  

Donc 2 2 2 2 ^{1 1}

1 1

(1 ) (1 ) lim ( ) lim ( ) 1 1

t t

s ^ s ^ _s t _s t e^ e^

 

         .

6 a.

t 1 1,1 1,5 2 2,5

2 -1

-1

0 1

1

x y

2( )

s t 0,63 0,57 0,38 0, 23 0,14

Les résultats seront donnés à 10^2près.

b. Figure 2 : représentation graphique de la fonction s₂

e-1

-1+e-1

2

0 1

1

x y

Partie C

_{3 3}

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1) ( 1,1)

s t 



s u du^U t ^U t ^U t 1.a

t  0 1 1,1 

( )t

U 0 1 1 1

(t 1)

U  0 0  

( 1,1)t

U 0 0 0 1

3( ) ( ) ( 1) ( 1,1)

e t U t U t U t 0 1  1

Donc ^{e t}₃^{( )e t}₂^{( )}sur ^{] ; 1,1[}

b) ^{e t}₃^{( ) 1} sur ^{] 1,1;[}. c)

2

0 1

1

x y

 

3 3

0

( ) ^t ( ) ( ) ( 1) ( 1,1)

s t s u du t t t

      

 





 ^{U U U}

L L .



^{ea t()U (t)}



^{ e}_{p a}^_^p

L et ^1



^{S p3( )}



^{ 1} _p¹_1



^{1ep e1,1p}



^

 

L L

1 1 1 1,1 ( 1) ( 1,1)

3

( ) 1 ( ) ( 1) ( 1,1)

1 1 1

p p

t t t

e e

s t e t e t e t

p p p

 

             

L   L   L    U  U   U  s t₃( )e^tU ( )t e^{ ( 1)t} U (t 1) e^{ ( 1,1)t} U (t1,1)

et enfin

 

 

3 ( 1)

( 1) ( 1,1) 1,1

0 0

[0;1[

( ) 1 [1;1,1[

1 [1,1; [

t

t t t

t t t t

si t e si t

s t e e e e si t

e e e e e e si t



   

     

 

 

      

       



2.^{s3( )t et}



^{1 e e1,1}



^{, s3} est dérivable sur R et on a : ^{s' ( )3 t  et}



^{1 e e1,1}



, on sait que _e^t _0 Pour tout réel ^t et



^{1 e e1,1}



^0, on déduit que ^{s t' ( ) 0}₃ ^ et par conséquent la fonction ^s₃est strictement décroissante sur R et en particulier sur ^]1,1;[.

3. ^s₃^{(1,1 ) s}₃^{(1,1 )} : ^{s3(1,1 )} _t^lim_1,1



^{e t}



^{1 e e1,1}

 

^{e 1,1}



^{1 e e1 1,}



^{e 1,1 e 0,1 1}

    

         

3 2

 

^{0,1 1,1}

(1,1 ) (1,1 ) 1,1 1

s ^ s ^ e^ e e^ e^

Donc ³(1,1 ) ³(1,1 ) lim_1,1 ³( ) lim_1,1 ³( ) ³(1,1 ) ²(1,1 ) ^{1,1 0,1} 1 ^{0,1 1,1} 1

t t

s ^ s ^ _s t _s t s ^ s ^ e^ e^ e^ e^

 

           .

4. a)

t 1 ,1 1,5 2 2,5 3

3( )

s t ^{0, 43 0, 29 0,17 0,11 0,06}

Les résultats seront donnés à 10^2près.

b)

Figure 3: représentation graphique de la fonction s₃

e-1

-1+e-1

2 3

-1

0 1

1

x y