Exercice 1 (5 points) :
Sur un rayon d’une bibliothèque, il y a 11 livres en langue étrangère : 5 en anglais, 2 en tamoul, 3 en swahili et 1 en sanskrit. Un personne prend un livre au hasard,
a) Quelle est la probabilité qu’elle tombe sur le livre en sanskrit ? La probabilité est égale à !!!
b) Quelle est la probabilité qu’elle tombe sur un livre en tamoul ? La probabilité est égale à !!"
Si une personne prend au hasard 4 de ces livres. c) Combien de choix différents peut-elle faire ?
Elle peut faire !!! #" =
!!! #!×&!=
!!×!'×(×)
!×"×*×# = 11 × 5 × 3 × 2 = 330 choix différents. d) Quelle est la probabilité que ces 4 livres soient tous en anglais ?
!+#" !!! #" = 5 330= 1 66
e) Quelle est la probabilité qu’elle prenne un livre en anglais, un en tamoul et deux en swahili ? !+ !" × !"!" × !*"" !!! #" =5 × 2 × 3 330 = 1 11 Exercice 2 (8 points) :
Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
𝑋 = ⋯ 13 3 −2 𝑝(𝑋 = ⋯ ) 1 15 2 15 12 15 X donne les gains réels d’un joueur (en euros) à un certain un jeu d’argent...
1) Quel est la valeur de la mise ? Autrement dit, combien faut-il payer pour jouer à ce jeu ? La mise est de 2 euros.
2) Calculer 𝔼(𝑋), 𝑉𝑎𝑟(𝑋), 𝜎 (𝑋) 𝔼(𝑋) = 13 × 1 15+ 3 × 2 15− 2 × 12 15= − 5 15= − 1 3 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 13"× 1 15+ 3"× 2 15+ (−2)"× 12 15− 9− 1 3: " =235 15 − 1 9= 47 3 − 1 9= 140 9 𝜎(𝑋) = >140 9 = √140 3 ≈ 3,944. 3) Le jeu est-il équitable, favorable ou défavorable au joueur (justifier) ?
Défavorable au joueur car 𝔼(𝑋) < 0.
Après avoir changé les règles du jeu, les gains réels sont donnés par la variable aléatoire 𝑌 = 𝑋 +!* 4) Calculer 𝔼(𝑌), 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 𝔼(𝑌) = 𝔼(𝑋) +1 3= − 1 3+ 1 3= 0 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =140 9
5) Avec ces nouvelles règles, le jeu est-il équitable, favorable ou défavorable au joueur (justifier) ? Le jeu est équitable car 𝔼(𝑌) = 0.
Exercice 3 (6 points) :
Une entreprise fabrique en grande quantité des clés USB. Les clés USB produites peuvent présenter deux défauts : le défaut A et le défaut B. On sait que :
— 5 % des pièces produites présentent le défaut B ;
— parmi les pièces présentant le défaut B, 20 % ont le défaut A ; — parmi les pièces ne présentant pas le défaut B, 6 % ont le défaut A.
On appelle A l’évènement « la clé USB présente le défaut A » et B l’évènement « la clé USB présente le défaut B ». 1) Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations probabilistes
𝑝(𝐵) = 5 100= 0,05 ; 𝑝,(𝐴) = 20 100= 0,2 ; 𝑝(𝐴|𝐵H) = 6 100= 0,06. 2) Construire un arbre pondéré représentant la situation.
0,05 0,8 0,95 0,06
0,94
0,2
3) Calculer la probabilité que la clé USB présente le défaut B mais pas le défaut A. 𝑝(𝐵 ∩ 𝐴̅) = 𝑝(𝐵) × 𝑝,(𝐴̅) = 0,05 × 0,8 = 0,04 4) Calculer la probabilité que la clé USB présente le défaut A.
𝑝(𝐴) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵H) = 0,05 × 0,2 + 0,95 × 0,06 = 0,01 + 0,057 = 0,067 5) Calculer la probabilité que la clé USB présente le défaut B sachant qu’elle a le défaut A.
𝑝-(𝐵) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐴) = 0,05 × 0,2 0,067 = 0,01 0,067≈ 0,149. 𝐵 𝐵H 𝐴 𝐴̅ 𝐴 𝐴̅
