SCIENCES BEN M’SIK, DEPARTEMENT DE PHYSIQUE CASABLANCA UNIVERSITE HASSAN II- MOHAMMEDIA FACULTE DES

UNIVERSITE HASSAN II- MOHAMMEDIA FACULTE DES SCIENCES BEN M’SIK, DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

CASABLANCA

Mécanique des fluides SVTU

Pr. M. Mazroui

2

SOMMAIRE

Chapitre 1 Statique des fluides

Chapitre 2 Dynamique des fluides parfaits Chapitre 3 Dynamique des fluides visqueux

Chapitre 4 Hémodynamique

3

Chapitre 1 Statique des fluides

I- Introduction

Un fluide est un milieu matériel constitué de particules infiniment petites pouvant se déplacer les unes par rapport aux autres : il peut subir de grandes variations de formes. Il existe deux familles principales des fluides : les liquides et les gaz. Les liquides ont la propriété d’être incompressibles, alors que les gaz sont compressibles. De nombreux fluides sont présents au sein du corps humain : l'eau (60 à 80 % de la masse corporelle), le sang, la salive, …, mais aussi l'air que nous respirons !

La mécanique des fluides est la branche de la mécanique qui étudie le comportement des fluides au repos (statique des fluides) ou en mouvement (dynamique des fluides). Ses résultats sont indispensables à la plupart des systèmes biologiques tels que par exemple le sang, les veines et le cœur qui sont à l’origine de la vie.

a. Fluide parfait, fluide réel

Lorsqu’ils s’écoulent, les fluides réels sont soumis à des forces de frottements internes, qui aboutissent à un dégagement de chaleur. Ce frottement s’appelle viscosité η. Dans le cas contraire où le mouvement du milieu se fait sans frottement, alors le fluide est dit parfait.

Au sein des fluides réels, on distingue newtonien et non newtonien.

Newtonien : la viscosité η est constante quel que soit le gradient de la vitesse ( ^Δ𝑉

Δx) (exemple eau)

Non newtonien : la viscosité varie en fonction du gradient de vitesse (exemple le sang)

4

b. Masse volumique

La masse volumique d’un corps est définie par : 𝜌 =^𝑚_𝑉

Où m et V sont respectivement la masse et le volume du corps en question. L’unité est le kilogramme par mètre cube (kg/m³)

c. Densité



 

) (

'

) (

' '

gaz les pour air l de

solides ou

liquides eau

l volumique de

masse

corps un

d volumique masse

d

d. Notion de Pression

Dans un liquide au repos, la pression en un point M représente la force exercée

perpendiculairement par le liquide sur une surface S –réelle ou imaginaire entourant le point M

5

La pression est une grandeur macroscopique, elle représente la résultante des chocs microscopiques continuels qui ont lieu entre les molécules entre elles et contre les parois d’un volume.

e. Unités de pression

L’unité légale de pression est le pascal (Pa) 1Pa= 1N/m².

Deux autres unités sont encore très utilisées en biologies :

- le centimètre d’eau (1 cm H2O= 98 Pa). Cette unité est utilisée pour la mesure la pression veineuse.

- Le millimètre de mercure (1 mm Hg=133,2 Pa). Cette unité est utilisée pour la mesure de la pression artérielle

II. Statiques des fluides incompressibles: les liquides 1- Relation fondamentale de l’hydrostatique

Pour un fluide incompressible ( cte), on peut démontrer qu’entre deux points A et B du liquide qu’ on a :

) z z ( g p

p_B  _A   _A _B

C’est la relation fondamentale de l’hydrostatique avec : p= pression

= la masse volumique (constante quelle que soit l’altitude

puisque le liquide est supposé incompressible), g= accélération de la pesanteur (également supposée constante avec l’altitude) et z= altitude du point où est mesurée la pression, c’est-à- dire la hauteur de ce point sur une verticale. On peut l’écrire aussi :

𝑝_𝐴+ 𝜌𝑔𝑧_𝐴 = 𝑝_𝐵+ 𝜌𝑔𝑧_𝐵= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

la quantité (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧) est constante en tous les points d’un liquide en équilibre.

Si h est la dénivellation entre A et B ( h=zA-zB)

6

gh p

p_B  _A

Cette relation ( loi de Pascal) montre que :

-Dans un liquide, la pression croit du haut vers le bas

-Les surfaces d’égale pression sont des plans horizontaux ( caractérisés par h=0).

2- Applications (Vases communicants)

Cas de deux liquides non miscibles

Considérons deux liquides de masse volumiques 1 et 2 non miscibles en équilibre.

L’équilibre ne peut être stable que si le fluide le plus dense est situé au-dessous de l’autre.

Les deux branches du tube en U sont ouvertes à l’air libre sous la pression atmosphérique Patm.

D’après la relation fondamentale de l’hydrostatique on a :

1 1gh P

P_B  _A

P_BP_C ₂gh₂ Or PA=PC =Patm

Il s’ensuit que : 1h1=2h2

Cette relation traduit l’équilibre du mélange des deux liquides non miscibles.

 Si ₁₂ ceci implique que h1>h2 :la colonne la plus haute correspond au liquide le moins dense.

 Si ₁₂ le liquide est à la même hauteur dans les deux vases communicants

3. Surface de séparation de liquides non miscibles

Considérons deux liquides de masse volumiques 1 et 2 et non miscibles en équilibre. Soient deux points A et B sur la surface que nous supposons oblique. Soient PA et PB les pressions en A et B.

Soient les points A’ et B’ tels que les segments AA’ et BB’ soient horizontaux :

7

' A

A p

p  car A et A’ appartient au même liquide (1)

' B

B p

p  car B et B’ appartient au même liquide (2) On a en outre : p_B'p_A₁gh

Et p_B p_A'₂gh Cela implique h(₁₂)g0 Comme ₁₂ cela entraîne h=0

Cette relation ne peut être vérifiée pour tout couple de points A’ et B’ de la surface de séparation que si celle-ci est plane et horizontale.

4. Théorème de Pascal

Supposons qu’au point A (voir figure ci-contre.), intervienne une variation de pression telle que celle-ci devienne (p₁p₁), p1 étant un nombre algébrique. Calculons la variation de pression p₂ qui en résulté en B. Appliquons la relation fondamentale

de l’hydrostatique :

) ( _{1 2}

1

2 p g z z

p   

Entre A et B, avec le nouvel état de pression

) (

) (

)

(p₂p₂  p₁p₁ g z₁z₂

Il en résulte que p₁ p₂

Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout point.

III. Manomètres

a. Manomètre hydrostatique

A(z1)

B(z2)

z



 A

B A’

B’

1

2

8

Un manomètre est un appareil servant à mesurer la pression d'un fluide placé dans un espace fermé. Il est essentiellement constitué d’un tube en U contenant un liquide. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer une pression selon l'ordre de grandeur de cette dernière.

La différence des niveaux de liquide dans les deux branches du tube donnera la différence des pressions supportées par les surfaces libres du liquide correspondante: pA-pB=gh

Il mesure donc les pressions différentielles. La sensibilité de l’appareil est

donnée par le rapport de la variation des niveaux à la variation des pressions qui la provoqué

p s h



 

g

 1

On voit que la sensibilité est d’autant plus grande que la masse volumique du liquide est très faible. Les deux liquides les plus utilisés sont :

- Le mercure pour les différences de pression importantes - L’eau pour les différences de pression faibles

b. Pression Atmosphérique :Baromètre de Torricelli

C’est un appareil qui sert à mesurer la pression atmosphérique. IL se compose d'un tube de verre d'environ 0,9 m de longueur, fermé à son extrémité supérieure et ouvert en bas. Lorsque le tube est rempli de mercure et que l'extrémité ouverte repose dans un récipient rempli de ce même fluide, le niveau du tube descend à une hauteur de 760 mm au-dessus de celui du récipient dans des conditions normales de pression, laissant dans l'espace libéré un vide presque parfait.

atm p

p

p_B  _C  _atm1 D’autre part

gh p

p_B  _A  pA=0 (dans la chambre supérieure il y a du vide) gh

p_atm 

h

A

B C

9 A.N h=0.76 m , =13.610³kgm^-3, g=9.81ms^-2

Pa p_atm 1.01310⁵

Une surface libre en contact avec l’air est une surface sur laquelle s’exerce la pression atmosphérique.

Exercice : Calculer la sensibilité :

a. d’un manomètre à mercure (_Hg 13,6.10³kg/m³) b. d’un manomètre à eau (_eau 10³kg/m³)

Exercice : On considère un sujet, en position debout. La pression artérielle moyenne du sang à la sortie du cœur est de 100 mm Hg. En ne considérantque l’effet de pesanteur :

1. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau des pieds 2. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau de la tête On donne : distance tête-cœur =45 cm, distance cœur-pieds =130 cm et masse volumique du sang 𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚³

10

Chapitre 2 Dynamique des fluides parfaits

I . Les lois de l’écoulement des fluides: hydrodynamique

L’hydrodynamique a pour objet l’étude des liquides en mouvement. Dans cette étude on applique à une portion du liquide les lois générales de la dynamique : Le principe de la conservation de la masse, le principe de l’énergie cinétique, le principe de la quantité du mouvement ; on peut ainsi donner les lois de l’écoulement des liquides.

a. Débit volumique

Le débit volumique c’est le volume du fluide traversant une section droite S pendant l’unité

de temps :

dt vS Sdl dt

Q_v  dV  

v étant la vitesse moyenne d’écoulement dans la conduite de section S

b. Débit massique

C’est la masse du fluide traversant S pendant l’unité de temps : dt vS

Q_m  dm 

Remarque : Q_m Q_v

c. Ecoulement permanent ou stationnaire

Un régime d’écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique,…), ont une valeur constante au cours du temps.

1. Equation de Continuité ou équation de conservation de la masse

a. Définitions

11

 Lignes de courant : Les lignes de courant se sont des courbes tangentes aux vecteurs vitesses qu’elles rencontrent. Elles indiquent la direction du mouvement.

 Tube de courant :C’est un ensemble formé à partir de lignes de courant

c. Equation de continuité

Ecrivons que la masse élémentaire dm de fluide qui s’écoulée à travers S1 est la même que celle qui s’écoulée à travers S2. Sachant que 𝜌 =^𝑚_𝑉 donc

2 2 1

1S dx S

dx 

 

En introduisant les vitesses V1 et V2 on a donc V₁S₁dtV₂S₂dt Soit finalement 𝑆1𝑉1 = 𝑆2𝑉2

Cette relation traduit la conservation du débit volumique dans un écoulement permanent.

Dans une canalisation sans fuites et sans embranchements, le débit est partout le même. Par conséquent, lorsque l’aire de la section augmente, la vitesse d’écoulement du liquide diminue.

d. Applications : Cas de la circulation sanguine

12

 Sténose

On considère une artère présentant un rétrécissement (sténose vasculaire):

D’après la relation de conservation du débit, on a : 𝑆₁𝑉₁ = 𝑆₂𝑉₂ Or S1> S2 donc par conséquent on a V2>V1.

Dans une sténose vasculaire la vitesse d’écoulement du sang augmente.

 Anévrisme

On considère une artère présentant un élargissement (anévrisme)

Par un raisonnement similaire, on montre dans le cas d’un anévrisme la vitesse diminue. Un anévrisme est susceptible de se rompre, ce qui peut être à l'origine d'une hémorragie interne parfois fatale.

2.

Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

Soit dm la masse du fluide qui s’écoule entre les sections S1 et S2

13

Si aucune énergie n’est échangée entre le fluide et le milieu extérieur pendant le trajet de celui-ci, de la position 1 à 2 (pas de frottement, pas d’échange de chaleur etc) nous savons que l’énergie mécanique est invariante.

Pour un fluide incompressible, l’énergie mécanique peut prendre trois formes

 Energie cinétique

 Energie potentielle de pression

 Energie potentielle de pesanteur.

Energie cinétique

Soit v le vecteur vitesse de l’écoulement à travers la section S 2 ²

1dmv E_c 

Energie potentielle de pression

Cette énergie s’exprime comme le travail des forces de pression à travers la section S pour un déplacement dx :

 p dm dx S p

E_pres  . .  .

Energie potentielle de pesanteur

Cette énergie s’exprime comme le travail possible des forces de pesanteur.

dmgz E_pes 

donc l’équation de Bernoulli pour une masse de fluide est :

14 cte

pdm dmgz

dmv   

²  2 1

ou encore v gz pcte

2

²

p est la pression statique, gz est la pression de pesanteur, 2

²

v est la pression cinétique ( ou

dynamique). On appelle charge du fluide la somme  v gz p 2

²

En particulier si v=0 (fluide immobile) on retrouve l’équation de la statique des fluides : cte

gz

p  .

Le théorème permet de relier entre elles les pressions en différents points d’un fluide incompressibles, en écoulement permanent et soumis au champ de pesanteur.

Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n’y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points 1 et 2 d’une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous la forme suivante :

2 2 2 2 1

1 2

1 2

1 2

1v gz  p  v gz  p

IV. Applications du théorème de Bernoulli

La mesure du débit des fluides circulant dans les conduites est possible à l’aide de plusieurs types d’appareils.

a. Tube de Pitot

On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l’un débouchant en A face au courant, et l’autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide.

15

Le théorème de Bernoulli pour un écoulement horizontal ( zA=zB)entre le point A et B s’écrit : ^{2 2}

2 1 2

1

B B

A

A v p v

p     

Le point A est un point d’arrêt sa vitesse est donc nulle

A

B v p

p  ² 2 1

Appliquons la loi fondamentale de la statique aux fluides au repos dans les tubes manométriques :

B B

A A

gh Patm p

gh Patm p













Soit ^pA ^pB ^gh

soit donc v² gh 2

1

gh v 2

En mesurant la dénivellation du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d’écoulement du fluide et par la suite on peut calculer le débit volumique comme suit :

gh S Sv

Q_v   2 avec S la section du tube.

b. Tube de venturi

Une conduite de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. Les points A et B se trouvent sur un même plan horizontal

A B

h

16

Le théorème de Bernoulli s’écrit ici : ^{2 2}

2 1 2

1

B B

A

A v p v

p     

D’après l’équation de continuité SA.vA SBvB

Donc _^













 









2 2 1

2 1

B A A

A

B S

v S p

p 

La quantité

A B

S

k S est appelée rapport de contraction du tube de Venturi (ou le degré de

sténose en physiologie).



 



  





 

 



 ²

1

² 2

1

² 1 1 2

1 2 2

k v k k p

v p

p_{B A}  _{A A}  _A

Cette expression montre que pB<pA : la pression dans le col est plus faible qu’à l’entrée de celui-ci : lors d’un rétrécissement il y a une chute de pression au bénéfice d’une élévation de vitesse.

De la relation ci-dessus, on tire :

²) 1 (

)

²(

2

k p p v_A k ^{A B}



 



Appliquons la loi fondamentale de la statique aux fluides au repos dans les tubes manométriques :

Soit donc p_Ap_B gh

A

B

h

17 Donc l’expression de la vitesse est _{(1 ²)}

² 2

k gh v_A k

 

Le débit volumique est Q_v S_Av_A S_Bv_B Soit

²) 1 (

² 2

k gh S k

Q_{v A}

 

Le venturi est un appareil qui est réservé à la mesure des débits importants. Il peut être utilisé pour les gaz mais il est généralement réservé aux liquides et à l’eau en particulier.

Application à l’athérosclérose

L’athérosclérose est une maladie où le diamètre des artères diminue localement et progressivement par la formation d’une plaque d’athérome : accumulation de lipides et de tissu fibreux, pouvant conduire à une sténose artérielle, voire une thrombose (obstruction

totale du flux sanguin)

c. Ecoulement d’un liquide contenu dans un réservoir -Théorème de TORRICELLI.

Considérons un réservoir muni d’un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface libre (S) au point A et arrivant au point B au niveau de l’orifice. Sous l’effet de son propre poids, le liquide s’écoule par l’orifice avec une vitesse vB que nous proposons de déterminer.

En appliquant le théorème de Bernoulli entre A et B :

B B B

A A

A v gz p v gz

p   ²     ²  2

1 2

1

A

z

B

h

18

En A la pression qui agit sur la surface S est la pression atmosphérique ; en B s’est également la pression atmosphérique : pA=pB=patm

donc v_B² v_A²2g(z_Az_B)v_A²2gh

Comme s<<S, on peut admettre que la vitesse du liquide en A est négligeable devant la vitesse en B . En définitive, nous obtenons la relation suivante

gh v_B  2

C’est la relation de TORRICELLI. La vitesse varie avec la hauteur h.

Exercice 1: Quelle est la vitesse moyenne Vm du sang circulant dans une artère de diamètre 0,3 cm dont le débit volumique, Qv, est de 0,24 l/min ?

Exercice 2 : Un fluide parfait incompressible de masse volumique  circule dans une canalisation horizontale. La canalisation est formée de deux conduites : une conduite primaire de rayon R1 au quelle est raccordée une autre conduite secondaire de rayon R2=R1/2

Le fluide arrive à la conduite primaire à la pression p1 et à la conduite secondaire à la pression p2=p1/2.

Déterminer le débit volumique en fonction de , p1 et R1

Z1 Z2

19

Chapitre 3 Dynamique des fluides visqueux

1. La notion de perte de charge

L’essentiel des notions vue jusqu’à présent, même si elles peuvent s’appliquer partiellement(ou approximativement) à un fluide réel ne sont vraies en toute rigueur que pour un fluide idéal.

Dans le cas d’un fluide réel, il existe des forces de frottement, entre les molécules du fluide et entre celles-ci et la paroi de la conduite de telle sorte que l’énergie mécanique d’un fluide en mouvement dans un circuit à tendance à diminuer au cours de son trajet. L’énergie mécanique ainsi perdue (la perte de charge) s’est transformée en une autre forme d’énergie, non mécanique, notamment une énergie thermique.

L’équation de Bernoulli pour un fluide réel entre (1) et (2) s’écrit donc : p p gz v

p gz

v₁²  ₁ ₁  ₂² ₂  ₂  2

1 2

1   

p

:

2. Viscosité

Considérons deux couches animés respectivement de vitesse v et (v+v), soit x leur distance, et soit deux éléments de même surface S pris sur ces deux couches.

20

La norme de la force F de frottement, exercée par une couche sur l’autre sera proportionnelle à S et à v et inversement proportionnelle à x. Newton a proposé la formule suivante :

𝐹 = 𝜂𝑆Δ𝑉 Δ𝑥 où ^Δ𝑉

Δx le gradient de vitesse, appelé encore « taux de cisaillement ». Quant à 𝜂, qui est un coefficient caractéristique du fluide, c’est par définition le coefficient de viscosité. Elle caractérise les frottements internes ou intermoléculaires à l’intérieur du fluide

a. Unité de la viscosité

Dans le système international, l’unité de viscosité est le Poiseuille (Pl) tel que 1Pl = 1Pa.s.

3. Ecoulement laminaire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds

Les fluides parfaits s’écoulent théoriquement avec une vitesse identique pour chaque particule en mouvement, étant donné qu’il n’y a aucune interaction, ni entre les différentes particules, ni entre celles-ci et les parois du tube. Si l’on considère donc la vitesse moyenne d’écoulement (celle qui intervient dans le calcul du débit : Q = V S ) on doit admettre que toutes les particules élémentaires se déplacent avec cette même vitesse. Il n’en est pas de même d’un fluide réel, dans lequel les particules élémentaires se déplacent à des vitesses variables en fonction des interactions, notamment avec les parois du tube.

Dans ces conditions on distingue deux régimes d'écoulement différents pour un fluide réel :

a. Ecoulement laminaire

Il se produit dans le cas des fluides suffisamment visqueux. Les trajectoires des particules de fluide restent parallèles à la paroi. La vitesse des particules qui se succèdent en un point de l’écoulement est constante au cours du temps.

21

b. Ecoulement turbulent

La vitesse des particules de fluide qui se succèdent en un point de l’écoulement varie au cours du temps

c.

Nombre de Reynolds Re

En utilisant des fluides divers (viscosités différentes), en faisant varier le débit et le diamètre d de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l’écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :



Vd R_e

où  masse volumique du fluide, V vitesse moyenne d’écoulement, d diamètre de la conduite et viscosité du fluide.

Si Re<2400 le régime est laminaire Si 2400<Re<10 000 le régime est instable Si Re>10 000 le régime est turbulent

Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d’un type d’écoulement à un autre se faisant progressivement.

Remarques :

22

 Les trois variables V, d,  agissent dans le sens direct : le régime aura tendance à être turbulent lorsque la vitesse moyenne augmente, lorsque le diamètre du tuyau augmente et lorsque la masse volumique du liquide augmente; la variable 𝜂, au contraire agit en sens inverse : le régime sera d'autant plus volontiers turbulent que la viscosité sera plus faible, c'est à dire que le liquide sera plus "fluide".

 La valeur seuil de 2400 permet de définir une vitesse dite "vitesse critique" en dessous de laquelle le régime est probablement laminaire et au-dessus de laquelle il aura tendance à devenir instable, avec donc une possibilité de devenir turbulent :𝑉_𝑐 =^2400𝜂_𝜌𝑑 Exercice: déterminer le nombre de Reynolds d’un écoulement de sang (viscosité dynamique

=2.10^-3Pa.s, masse volumique 1,1.10³ kg/m³) circulant à la vitesse de 2 cms^-1 dans une artère de rayon R=4 mm. En déduire la nature de l’écoulement.

4. Ecoulement laminaire d’un fluide visqueux : Loi de Poiseuille a. Vitesse d’écoulement d’un fluide visqueux

Lors de l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux dans une conduite cylindrique horizontale de longueur l et de rayon R, la vitesse n'est pas la même en différents points de la section du tube.

On montre que la vitesse moyenne v à une distance r de l’axe du cylindre est : 𝑣(𝑟) = ∆𝑃

4𝜂𝑙(𝑅²− 𝑟²)

Elle est nulle au niveau des parois et maximum, au centre avec

𝑣

=

𝑅²

23 b. Loi de Poiseuille

Si on fait couler un liquide visqueux on constate que les hauteurs de liquide aux points A, B ne sont pas les mêmes et que les pressions sont telles que P2<P1. Cette différence dans les pressions au cours de l’écoulement est due à une perte d’énergie du liquide. Dans le cas d’un écoulement laminaire, cette perte d’énergie est donnée par la loi de Poiseuille :

∆𝑃 = 𝑃1− 𝑃2 =8𝜂𝑙𝑄_𝑣 𝜋𝑅⁴

Elle exprime la relation entre le débit volumique et la différence de pression aux deux extrémités d’une canalisation de longueur l et de rayon R.

Si pose 𝑅_𝑓 =_𝜋𝑅^8𝜂𝑙₄

la loi de poiseuille devient ∆𝑃 = 𝑃1− 𝑃2 = 𝑅𝑓𝑄𝑣

Rf s’appelle résistance à l’écoulement (ou résistance vasculaire en physiologie). Elle se mesure en Pa.s/m³.

24

La loi de Poiseuille est très importante en biologie, elle régit l’écoulement des liquides à travers les pores des membranes de toutes natures et le long des conduits biologiques de petites sections, vaisseaux capillaires des plantes et des animaux.

Remarques

 Lorsque le liquide circule très rapidement, son écoulement devient turbulent et la loi de Poiseuille ne s’applique plus.

 Si l’écoulement se fait dans un tube cylindrique de rayon R, on peut exprimer la vitesse moyenne d’écoulement à partir du débit en considérant que

𝑄 = 𝑣. 𝜋. 𝑅²

On trouve

𝑣 =

𝑅

=

𝑣

Exemple: le débit de sang de viscosité 1,06.10³ Pl à travers l'artère d'un chien (rayon 4 mm) est de 1 cm³/s. Calculer la vitesse moyenne du sang, la vitesse maximum et la perte de charge le long de l'artère sur une distance de 10 cm.

c. Analogie électrique- La loi de Poiseuille

La loi de Poiseuille (∆𝑃 = 𝑅_𝑓𝑄) est analogue à la loi d’Ohm (∆𝑈 = 𝑅𝐼)

Cette analogie électrique permet d’en déduire les lois d’association, ainsi que la puissance dissipée lors d’un écoulement visqueux

 Association en série

Si les tubes sont associés en série, le débit est le même pour toutes les sections et les pertes de charge s’ajoutent :

∆𝑃 = ∆𝑃₁+ ∆𝑃₂+ ⋯ ∆P_𝑛 = 𝑅₁Q + 𝑅₂Q + ⋯ . R_𝑛Q = (𝑅1+ 𝑅2+ ⋯ 𝑅𝑛)𝑄

= 𝑅𝑓𝑄

25 Soit donc 𝑅_𝑓 = 𝑅₁ + 𝑅₂… . +𝑅_𝑛

 Association en parallèle

Si les tubes sont associés en parallèles, les pertes de charges sont identiques et les débits s’ajoutent :

𝑄 = 𝑄₁+ 𝑄₂+ ⋯ Q_𝑛 = ∆𝑃(1

𝑅₁+ 1

𝑅₂+ ⋯ 1 𝑅_𝑛 )

= ∆𝑃 1 𝑅_𝑓 Soit donc ¹

𝑅_𝑓

=

1

+

2

+ ⋯ +

𝑛

26 Exercice 1

Du mercure de masse volumique 13,6g/cm3 circule de gauche à droite dans un tuyau horizontal avec un débit de 3 cm3/s. A intervalles de 50 cm le long du tuyau horizontal se trouvent quatre tubes verticaux (voir figure ci-dessous) ouverts dans le haut. Dans le tube A, le mercure s’éléve à 60 cm; dans le tube D, situé 1,5 cm plus loin, le mercure s’éléve à 40 cm. Déterminer la résistance hydraulique de la portion de tuyau située entre le tube A et le tube D.

Exercice 2

Le cœur d’un individu bat 72 fois par minute. A chaque battement, 70 ml de sang est pompé par le cœur. A la sortie du cœur, le sang pénètre dans l’aorte, dont l’aire de la section est égale à 4 cm² ; plus loin dans le réseau sanguin, le sang voyage dans plusieurs artères en parallèles, dont la section totale possède une aire de 20 cm².

1. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement du sang dans l’aorte 2. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement dans les artères.

3. Conclusion ?

27

Mécanique des Fluides

Exercice 1

Soit un tube en U dont les deux branches sont ouvertes sur la pression atmosphérique. De l’eau est versée dans une branche alors que de l’huile est versée dans l’autre (=790 kg/m³). La hauteur de la colonne d’eau atteint 70 cm, et le rapport des hauteurs d’huile et d’eau dans l’autre colonne est de 4.

Déterminer la hauteur de l’huile et la hauteur de l’eau dans cette colonne.

Exercice 2

On considère un sujet, en position debout. La pression artérielle moyenne du sang à la sortie du cœur est de 100 mm Hg. En ne considérant que l’effet de pesanteur :

1. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau des pieds 2. Calculer la pression artérielle moyenne au niveau de la tête On donne : distance tête-cœur =45 cm, distance cœur-pieds =130 cm et masse volumique du sang ρ = 1000 kg/m³

Exercice 3

Un vaisseau sanguin de rayon r=6 mm se ramifie en trois petits vaisseaux de même rayon r/3. La vitesse moyenne d’écoulement dans le vaisseau initial est Vmoy=1m/s.

1. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement vm

commune dans chacun des petits vaisseaux.

2. Calculer le débit volumique dans le vaisseau initialet dans les petits vaisseaux.

Exercice 4 (Théorème de Bernoulli-Fluides parfaits)

Une conduite de section principale SA et de diamètre d subit un étranglement en B où sa section est SB (voir Figure). On désigne par k = SB/SA le rapport des sections. Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ , s’écoule à l’intérieur de cette conduite. Deux tubes

28

plongent dans la conduite ayant des extrémités respectivement A et B. Ces deux tubes sont supposées ouverts sur la pression atmosphérique.

1. Ecrire l’équation de continuité. En déduire l’expression de la vitesse VB en fonction de VA

et k.

2. Ecrire la relation de Bernoulli entre les points A et B. En déduire l’expression de la différence de pression (PA-PB) en fonction de ρ, VA et k.

3. Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’.

4. Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’.

5. En déduire l’expression de la vitesse d’écoulement VA en fonction de g, h, et k . 6. Donner l’expression du débit volumique Qv en fonction de d, g, h, et k.

Exercice 5 (Loi de Poiseuille, nombre de Reynolds-fluides réels)

On considère une artère fémorale de 1 cm de diamètre et 40 cm de long. Le débit dans cette artère vaut 2,83 litres par minute. On assimile le sang à un fluide newtonien de viscosité 5.10^-3 Poiseuilles et de masse volumique 1060 kg/m³.

1. Calculer la vitesse moyenne du sang dans l’artère

2. Calculer le nombre de Reynolds et en déduire la nature de l’écoulement 3. Calculer la vitesse maximale du sang dans l’artère.

4. Calculer la résistance à l’écoulement du sang.

5. En déduire la perte de charge le long de cette artère.

Exercice 6 (Loi de Poiseuille, loi d’association-fluides réels)

Soit une artériole avec un débit sanguin de 6 ml/min. Elle se divise en un réseau de 100 capillaires en parallèles. En considérant que tous les capillaires ont un même rayon de 0,4 mm et une même longueur de 3,14 cm. On assimile le sang à un fluide newtonien de viscosité 4.10^-3 Poiseuilles. Quelle en (Pa) la chute de pression entre l’entrée et la sortie de ce réseau capillaire ?

29

Exercice 7 facultatif Soit un vaisseau de diamètre d1 = 4 cm. Lors d'un doppler, on constate une anomalie sur ce vaisseau grâce aux vitesses mesurées. Dans la partie saine, la vitesse v1

est de 1 m.s^-1 et dans la partie anormale, la vitesse v2 est de 1.8 km/h^. Quelle est le diamètre du vaisseau au niveau de l'anomalie ? On considère que l’on se trouve dans le cas d’un fluide parfait.