M´ethode des ´el´ements finis : ´elasticit´e `a une dimension

´ elasticit´ e ` a une dimension

Yves Debard

Universit´e du Mans

Master Mod´elisation Num´erique et R´ealit´e Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

24 mars 2006 – 29 mars 2011

1 Rappels et hypoth`eses 1

2 Forme diff´erentielle 2

3 Forme int´egrale faible 3

4 Forme discr´etis´ee : ´el´ements finis 4

4.1 Approximation du champ de d´eplacements . . . 4

4.1.1 Repr´esentation ´el´ementaire (ou locale) du champ de d´eplacements . . . 4

4.1.2 Repr´esentation globale du champ de d´eplacements . . . 5

4.2 Partition des degr´es de libert´e . . . 5

4.3 Discr´etisation de la forme int´egrale faible . . . 6

4.4 Probl`emes particuliers . . . 8

4.4.1 Probl`eme stationnaire . . . 8

4.4.2 Modes propres de vibration . . . 8

4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage . . . 8

4.6 Exemple de mise en ´equation . . . 10

4.6.1 Enonc´e . . . .´ 10

4.6.2 Discr´etisation . . . 10

4.6.3 Partition des degr´es de libert´e . . . 10

4.6.4 Remarque . . . 11

4.6.5 Matrices ´el´ementaires . . . 11

4.6.6 Assemblage . . . 11

4.6.7 Equation . . . .´ 12

5 Calculs ´el´ementaires : ´el´ements isoparam´etriques 12 5.1 El´ement isoparam´etrique : d´efinition . . . .´ 12

5.1.1 Repr´esentation de la g´eom´etrie . . . 12

5.1.2 Repr´esentation du champ de d´eplacements . . . 13

5.2 Biblioth`eque d’´el´ements . . . 14

5.2.1 El´ement `a deux nœuds. . . .´ 14

5.2.2 El´ement `a trois nœuds. . . .´ 15

5.3 Calcul des matrices ´el´ementaires . . . 17

5.3.1 Transformation des d´eriv´ees . . . 17

5.3.2 Transformation des longueurs . . . 17

5.3.3 Calcul des matrices . . . 18

5.3.4 Int´egration num´erique . . . 18

5.4 Cas particulier : la section droite est constante . . . 19

5.4.1 El´ement `a deux nœuds . . . .´ 19

5.4.2 El´ement `a trois nœuds ´equidistants . . . .´ 20

6 Calcul des contraintes 20 6.1 Premi`ere m´ethode . . . 21

6.2 Deuxi`eme m´ethode . . . 21

7 Exemples 22 7.1 Poutre soumise `a une force r´epartie et `a une force nodale . . . 22

7.2 Modes propres d’une poutre . . . 25

7.2.1 Enonc´e . . . .´ 25

7.2.2 Solution analytique . . . 25

7.2.4 Mod´elisation 2 . . . 27

7.2.5 Mod´elisation 3 . . . 29

7.3 Poutre `a section droite variable soumise `a une variation de temp´erature . . . 30

7.3.1 Enonc´e . . . .´ 30

7.3.2 Solution analytique . . . 30

7.3.3 Solution ´el´ements finis . . . 31

7.4 Influence de la position du nœud milieu sur la performance d’un ´el´ement isopara- m´etrique `a trois nœuds . . . 32

8 Probl`eme ´elastostatique : ´energie potentielle et m´ethode de Ritz 36 8.1 Calcul des variations . . . 36

8.2 Energie potentielle . . . .´ 37

8.3 M´ethode de Ritz . . . 38

8.4 M´ethode de Ritz et ´el´ements finis . . . 39

8.5 Exemple . . . 40

8.5.1 Solution analytique . . . 40

8.5.2 M´ethode de Ritz . . . 40

8.5.3 El´ements finis . . . .´ 41

A Programmes Maple 43 A.1 3n int : ´el´ement `a 3 nœuds . . . 43

A.2 3n mat : ´el´ement `a 3 nœuds . . . 43

A.3 3n milieu : ´el´ement `a 3 nœuds . . . 44

R´ef´erences 47

1 Rappels et hypoth` eses

Consid´erons une poutre droite d’axe xsoumise `a un effort normalN(x;t).

u(x;t) est le d´eplacement suivantx de la section droite d’abscisse x`a l’instant t.

A est l’aire de la section droite.

E,α etρ sont respectivement le module de Young , le coefficient de dilatation et la masse volumique du mat´eriau.

La poutre porte une force r´epartie d’intensit´e lin´eiquep_x et subit une variation de temp´erature ´egale

`a ∆T.

Figure 1– ´Equilibre d’un tron¸con de poutre

L’´equilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d’abscisses xet x+dxs’´ecrit :

−N(x;t) +N(x+dx;t) +p_xdx=−N(x;t) +N(x;t) +∂N

∂x dx+p_xdx=ρ Au dx¨ (1.1) o`u l’on a pos´e : ¨u= ∂²u

∂t²

Apr`es simplification, on obtient l’´equation d’´equilibre :

∂N

∂x +p_x=ρ Au¨ (1.2)

Le tron¸con de poutre de longueur dx `a l’instant initial devient `a l’instant t le tron¸con de poutre de longueurdx(1 +ε_xx) (figure 2).

Figure 2 – Transformation d’un tron¸con de poutre L’allongement unitaireε_xx est :

ε_xx= u(x+dx)−u(x)

dx = ∂u

∂x (1.3)

Figure 3 – Loi de comportement

Cet allongement unitaire est dˆu `a la contrainte normale σ<sub>xx</sub> (loi de Hooke) et `a la variation de temp´erature (figure 3) :

ε_xx= ∂u

∂x = σ_xx

E +α∆T avec σ_xx = N

A (1.4)

d’o`u :

σ_xx=E(ε_xx−α∆T) =E(ε_xx−ε_th) (1.5) avecε_th=α∆T.

2 Forme diff´ erentielle

R´esoudre un probl`eme d’´elasticit´e `a une dimension consiste `a chercher un champ de d´eplacementsu(x;t) tel que :

ρ A∂²u

∂t² = ∂

∂x(A σ_xx) +p ∀x tel quex_O< x < x_E (2.1) avec

– la relation cin´ematique :

ε_xx = ∂u

∂x (2.2)

– la loi de comportement (ou loi constitutive) :

σ_xx =E ε_xx−Eα∆T (2.3)

– les conditions aux limites :

u(x_O;t) =u_O(t) ou (−Aσ_xx)_x=xO =F_O(t)

u(x_E;t) =u_E(t) ou (Aσ_xx)_x=xE =F_E(t) (2.4) – les conditions initiales `a l’instant t=t₀ :

u(x;t₀) =u_t0(x) et u(x;˙ t₀) = ˙u_t0(x) (2.5) La quantit´e :

r(u) =ρ A∂²u

∂t² − ∂

∂x(A σ_xx)−p (2.6)

est le r´esidu de l’´equation (2.1). Ce r´esidu est nul si le champ de d´eplacementsu(x;t) est solution de cette ´equation.

Notations : u(x;˙ t) = ∂u(x;t)

∂t , u(x;¨ t) = ∂²u(x;t)

∂t²

3 Forme int´ egrale faible

Pour r´esoudre l’´equation (2.1) par la m´ethode des ´el´ements finis, nous utilisons la m´ethode des r´esidus pond´er´es. Multiplions le r´esidur(u) par une fonction arbitraire u^∗(x) et int´egrons sur toute la longueur de la poutre :

W(u, u^∗) = Z _xE

xO

u^∗r dx= Z _xE

xO

u^∗ µ

ρ Au¨− ∂

∂x(Aσ_xx)−p

¶

dx= 0 ∀u^∗ (3.1) Int´egrons par parties la quantit´e

Z _xE

xO

u^∗ ∂

∂x(Aσ_xx)dx: Z _xE

xO

u^∗ ∂

∂x(Aσ_xx)dx= Z _xE

xO

∂

∂x(u^∗Aσ_xx)dx− Z _xE

xO

∂u^∗

∂x Aσ_xxdx En portant cette expression dans l’´equation (3.1), il vient :

W(u, u^∗) = Z _xE

xO

A u^∗ρu dx¨ + Z _xE

xO

A ε^∗_xxσ_xxdx− Z _xE

xO

u^∗p dx

−(A u^∗σ_xx)_x=xE + (A u^∗σ_xx)_x=xO = 0 ∀u^∗

(3.2)

o`u l’on a pos´e ε^∗_xx = ∂u^∗

∂x .

ε^∗_xx est le champ de d´eformations induit par le champ de d´eplacements u^∗. De plus, enO et enE, imposons la condition u^∗ = 0 si le d´eplacement est connu.

La forme int´egrale faible d’un probl`eme d’´elasticit´es’´ecrit finalement : Trouver u(x;t) tel que :

W(u, u^∗) = Z _xE

xO

A u^∗ρu dx¨ + Z _xE

xO

EA ε^∗_xx(ε_xx−α∆T)dx− Z _xE

xO

u^∗p dx

−(A u^∗σ_xx)_x=xE + (A u^∗σ_xx)_x=xO = 0 ∀u^∗

(3.3a) avec

– les conditions aux limites :

(u(x_O;t) =u_O(t) et u^∗(x_O) = 0 ) ou (−Aσ_xx)_x=xO =F_O(t)

(u(x_E;t) =u_E(t) et u^∗(x_E) = 0 ) ou (Aσ_xx)_x=xE =F_E(t) (3.3b) – les conditions initiales :

u(x;t₀) =u_t0(x) et u(x;˙ t₀) = ˙u_t0(x) (3.3c) Remarques :

– Les fonctions u et u^∗ doivent ˆetre suffisamment r´eguli`eres pour que les expressions ci-dessus aient un sens.

– Le champ de d´eplacementsu(x;t) est dit cin´ematiquement admissible (CA).

– La fonctionu^∗ est appel´eechamp de d´eplacements virtuels.

– La formulation int´egrale (3.3) est l’expression du principe des travaux virtuels.

– Dans l’´equation (3.1) la fonction u doit ˆetre d´erivable deux fois et une fois dans l’´equation (3.3).

Ces ´equations sont dites respectivementforme int´egrale forteetforme int´egrale faiblede l’´equation diff´erentielle (2.1).

– Sous certaines conditions de r´egularit´e, les formulations (2.1) et (3.3) sont ´equivalentes.

4 Forme discr´ etis´ ee : ´ el´ ements finis

La solution analytique de l’´equation (3.3) est en g´en´eral inaccessible. On est donc conduit `a chercher une solution approch´ee par une m´ethode num´erique : la m´ethode des ´el´ements finis. Cette m´ethode est un cas particulier de lam´ethode de Galerkin: le champ de d´eplacements cherch´eu(x;t) et les fonctions testu^∗ appartiennent au mˆeme espace E_u de dimension finie.

4.1 Approximation du champ de d´eplacements

La poutre est d´ecompos´ee en tron¸cons (les´el´ements) reli´es entre eux en des points appel´esnœuds.

Cette op´eration s’appellemaillage.

4.1.1 Repr´esentation ´el´ementaire (ou locale) du champ de d´eplacements Le champ de d´eplacementu^e(x;t) dans ´el´ement (e) a pour expression :

u^e(x;t) =£

N₁^e(x) · · · N_i^e(x) · · · N_n^ee(x)¤















 u^e₁(t)

... u^e_i(t)

... u^e_ne(t)

















= [N^e(x)]{u^e(t)} (4.1)

o`u :

– n^e est le nombre de nœuds de l’´el´ement.

– les fonctions N_i^e(x) sont les fonctions d’interpolation ´el´ementaires (ou fonctions de forme).

– la matrice [N^e(x)] est la matrice d’interpolation ´el´ementaire.

– le vecteur {u^e(t)}regroupe les d´eplacements des nœuds de l’´el´ement (e).

Exemple : ´el´ement `a deux nœuds : – Fonctions d’interpolation :

– Champ de d´eplacements dans un ´el´ement `a deux nœuds :

4.1.2 Repr´esentation globale du champ de d´eplacements

Le champ de d´eplacements u(x;t) a pour expression sur l’ensemble de la poutre :

u(x;t) = [ N₁(x) . . . N_i(x) . . . N_n(x) ]















 u₁(t)

... u_i(t)

... u_n(t)

















= [N(x)]{U(t)} (4.2)

o`u :

– nest le nombre de nœuds du maillage.

– les fonctionsN_i(x) sont les fonctions d’interpolation(oufonctions de forme).

– [N(x)] est lamatrice d’interpolation.

– {U(t)}est le vecteur des d´eplacements nodaux.

Les fonctions d’interpolation v´erifient les relations :

N_i^e(x_j) =δ_ij N_i(x_j) =δ_ij ∀i, j o`ux_j est l’abscisse du nœudj

n^e

X

i=1

N_i^e= 1 , Xn

i=1

N_i = 1 (4.3)

Exemple : poutre discr´etis´ee en nnœuds,n−1 ´el´ements : – Fonctions d’interpolation sur le domaine :

– Champ de d´eplacements sur le domaine :

4.2 Partition des degr´es de libert´e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e([1], [12], [13]) en : – d´eplacements inconnus{U_L}.

– d´eplacements impos´es et diff´erents de 0 :{U_P}.

– d´eplacements nuls : {U_S}={0}.

Il vient :

{U}=





{U_L}= ? {U_P} 6={0}

{U_P}={0}



 , {U^∗}=





{U_L^∗} {U_P^∗}={0}

{U_S^∗}={0}



 (4.4)

Cette partition induit une partition de la matrice d’interpolation : [N] =£

[N_L] [N_P] [N_S]¤

(4.5) d’o`u l’expression de uetu^∗ :

u=£

[N_L] [N_P] [N_S]¤



 {U_L} {U_P} {0}



 , u^∗=£

[N_L] [N_P] [N_S]¤



 {U_L^∗}

{0}

{0}



 (4.6)

Remarque :u^∗ repr´esente une variation quelconque de u : δu=£

[N_L] [N_P] [N_S]¤





{δU_L} {δU_P}={0}

{0}



=u^∗ o`u {δU_L}={U_L^∗} (4.7) 4.3 Discr´etisation de la forme int´egrale faible

De l’expression du champ de d´eplacements sur le domaine :

u(x;t) = [N]{U(t)} (4.8)

on d´eduit :

¨ u= ∂²u

∂t² = [N]{U¨} (4.9)

ε_xx = ∂u

∂x = [B]{U} (4.10)

o`u la matrice [B] est ´egale `a :

[B] =

·∂N₁

∂x · · ·∂N_i

∂x · · ·∂N_n

∂x

¸

(4.11) u^∗ = [N]{U^∗}={U^∗}^T [N]^T , ε^∗_xx = [B]{U^∗}={U^∗}^T[B]^T (4.12) En portant ces expressions dans l’´equation (3.3a), il vient :

W({U},{U^∗}) ={U^∗}^T

³

[M]{U¨}+ [K]{U} − {F}

´

(4.13) o`u :

[M] = Z _xE

xO

ρ A[N]^T [N]dx [K] =

Z _xE

xO

EA[B]^T [B]dx {F}=

Z _xE

xO

[N]^Tp dx+ Z _xE

xO

[B]^T EA α∆T dx+{F_nod} {F_nod}^T =©

−(A σ_xx)_x=xO 0 . . . 0 (A σ_xx)_x=xEª

(4.14)

[M] est lamatrice masse(kg).

[K] est la matrice rigidit´e(N/m).

{F} est le vecteur force(N).

{U}est le vecteur des d´eplacements nodaux(m).

{U¨}est le vecteur des acc´el´erations nodales(m/s²).

Le vecteur {F_nod} ne contient que deux composantes non nulles : F_O(t) et F_E(t). Ces forces sont connues si le d´eplacement associ´e est inconnu. Dans le cas contraire ces forces sont des r´eactions d’appui.

Remarques :

– les matrices [M] et [K] sont par construction sym´etriques.

– dans l’equation (4.13), il convient d’ajouter ´eventuellement la contribution de l’amortissement :

{U^∗}^T [C]{U˙} (4.15)

o`u [C] est lamatrice d’amortissement(kg/s) et{U˙}levecteur des vitesses nodales(m/s).

La partition des degr´es de libert´e (§ 4.2) induit une partition de [M], [C], [K] et{F}: [M] =



[M_LL] [M_LP] [M_LS] [M_{P L}] [M_{P P}] [M_{P S}] [M_SL] [M_SP] [M_SS]



 , [K] =



[K_LL] [K_LP] [K_LS] [K_{P L}] [K_{P P}] [K_{P S}] [K_SL] [K_SP] [K_SS]



 (4.16)

[C] =



[C_LL] [C_LP] [C_LS] [C_{P L}] [C_{P P}] [C_{P S}] [C_SL] [C_SP] [C_SS]



 , {F}=



 {F_L} {F_P} {F_S}



 (4.17)

La forme discr´etis´ee d’un probl`eme d’´elasticit´es’´ecrit finalement : Trouver {U_L(t)} tel que :

W({U_L},{U_L^∗}) ={U_L^∗}^T µ£

[M_LL] [M_LP]¤½ {U¨_L} {U¨_P}

¾ +£

[C_LL] [C_LP]¤½ {U˙_L} {U˙_P}

¾

+£

[K_LL] [K_LP]¤½ {U_L} {U_P}

¾

− {F_L}

¶

= 0 ∀ {U_L^∗}

(4.18)

avec les conditions initiales {U_L(t₀)}={U_L,0} , {U˙_L(t₀)}={U˙_L,0} Les d´eplacements nodaux inconnus {U_L(t)} sont donc les solutions de l’´equation :

[M_LL]{U¨_L}+ [C_LL]{U˙_L}+ [K_LL]{U_L}

={F_L} −[M_LP]{U¨_P} −[C_LP]{U˙_P} −[K_LP]{U_P}

(4.19a) avec les conditions initiales :

{U_L(t₀)}={U_L,0} , {U˙_L(t₀)}={U˙_L,0} (4.19b) Remarque : par construction, les matrices [K_LL] et [M_LL] sont sym´etriques.

4.4 Probl`emes particuliers 4.4.1 Probl`eme stationnaire

Dans un probl`eme stationnaire, l’´equation (4.19) se r´eduit `a :

[K_LL]{U_L}={F_L} −[K_LP]{U_P}={F¯_L} (4.20) Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [K_LL] n’est pas singuli`ere (det [K<sub>LL</sub>] 6= 0) et les d´eplacements inconnus sont ´egaux `a :

{U_L}= [K_LL]⁻¹{F¯_L} (4.21)

Remarque: les r´eactions d’appui{R}sont les composantes (P) et (S) du vecteur{F_nod}. Les d´eplacements

´etant connus, elles sont ´egales `a : {R}=

·[KP L] [KP P] [KSL] [KSP]

¸ ½{UL} {UP}

¾

−

½{FP} {FS}

¾

(4.22) En pratique, cette m´ethode est peu utilis´ee : les blocs de matrices [KP L], [KP P], [KSL], [KSP], {FP} et{FS} ne sont pas assembl´es.

4.4.2 Modes propres de vibration

Les modes propres de vibration de la poutre sont les solutions de l’´equation :

[M_LL]{U¨_L}+ [K_LL]{U_L}={0} (4.23) En posant :

{U_L(t)}={U˜_L} sinω t (4.24)

o`u{U˜_L} est ind´ependant du temps, il vient :

[K_LL]{U˜_L}=ω² [M_LL]{U˜_L} (4.25) o`uω est une pulsation propre de la poutre et {U˜_L}le vecteur propre associ´e.

Les pulsations propres sont les solution de l’´equation : det¡

[K_LL]−ω²[M_LL]¢

= 0 (4.26)

4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage

Dans la pratique, [M], [K] et{F} sont construits ´el´ement par ´el´ement. Cette op´eration s’appelle assemblage.

De l’expression du champ de d´eplacements dans l’´el´ement (e) :

u^e(x;t) = [N^e(x)]{u^e(t)} (4.27) on d´eduit :

¨

u^e= [N^e]{u¨^e} (4.28)

ε^e_xx = [B^e]{u^e} avec [B^e] =£

B₁^e · · · B^e_i · · · B_n^ee

¤ , B^e_i = ∂N_i^e

∂x (4.29)

u^e∗ = [N^e]{u^e∗}={u^e∗}^T [N^e]^T , ε^e∗_xx = [B^e]{u^e∗}={u^e∗}^T[B^e]^T (4.30)

En reportant ces expressions dans l’´equation (3.3a), il vient : W({U},{U^∗}) =X

e

{u^e∗}^T ( [m^e]{u¨^e}+ [k^e]{u^e} − {f^e})− {U^∗}^T{F_nod} (4.31) o`u :

[m^e] = Z

L^e

ρ A[N^e]^T[N^e]dx [k^e] =

Z

L^e

EA[B^e]^T[B^e]dx {f^e}=

Z

L^e

[N^e]^Tp dx+ Z

L^e

[B^e]^TE A α∆T dx

(4.32)

Dans ces formules,L^e repr´esente la longueur de l’´el´ement (e).

Exemple : soit un ´el´ement de longueur Let de section droite constante (aire A). Cet ´el´ement porte une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique p. La masse volumique du mat´eriau est ´egale `a ρ. Les matrices ´el´ementaires sont ´egales `a :

[N^e] = 1 L

£L−x x¤

, [B^e] = 1 L

£−1 1¤ [m^e] = ρ A

L² Z _L

0

·L−x x

¸£

L−x x¤

dx=ρ AL 6

·2 1 1 2

¸

[k^e] =EA L²

Z _L

0

·−1 1

¸ £

−1 1¤

dx=EA L

·1 −1

−1 1

¸

{f^e}= 1 L

Z _L

0

½L−x x

¾

p dx=p L 2

½1 1

¾

L’´equation (3.3a) s’´ecrit :

W({U},{U^∗}) ={U^∗}^T ÃX

e

³

[M^e]{U¨}+ [K^e]{U} − {F^e}

´

− {F_nod}

!

(4.33) Dans les matrices [M^e] et [K^e] et dans le vecteur{F^e}, obtenus par expansion respectivement de [m^e], [k^e] et {f^e}, les seuls termes non nuls sont les termes associ´es aux degr´es de libert´e de l’´el´ement (e).

Par exemple, pour l’´el´ement (i−j), le terme{u^e∗}^T[k^e]{u^e}est ´egal `a : {u^e∗}^T[k^e]{u^e}=£

u^∗_i u^∗_j¤·

k₁₁ k₁₂ k₂₁ k₂₂

¸ ½u_i u_j

¾

=£

u^∗₁ . . . u^∗_i . . . u^∗_j . . . u^∗_n¤















0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... . .. ... ... ... ... ...

0 . . . k₁₁ . . . k₁₂ . . . 0 ... . .. ... ... ... ... ...

0 . . . k₂₁ . . . k₂₂ . . . 0 ... . .. ... ... ... ... ...

0 . . . 0 . . . 0 . . . 0







































 u₁

... u_i

... u_j

... u_n



























={U^∗}^T [K^e]{U}

(4.34)

On en d´eduit : [M] =P

e

[M^e] , [K] =P

e

[K^e] , {F}=P

e

{F^e}

Remarques :

– la partition des degr´es de libert´e (§ 4.2) est effectu´ee avant la phase d’assemblage.

– dans le logicielRDM seuls les blocs [K_LL], [K_LP], [M_LL], [M_LP] et{F_L} sont assembl´es.

4.6 Exemple de mise en ´equation 4.6.1 Enonc´´ e

Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du mat´eriau de la poutre repr´esent´ee sur la figure 4.

Figure 4 – Exemple de mise en ´equation L’aire de la section droite est ´egale `a 2A entre 0 etLet `a A entreL et 2L.

Elle est soumise `a :

– une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eique p entre les abscisses 0 etL.

– un d´eplacement impos´e : u(2L;t) =a sinω t.

Les conditions initiales sont : ˙u_t0(x) = 0 , u_t0(x) = 0.

4.6.2 Discr´etisation

La poutre est discr´etis´ee en trois ´el´ements `a deux nœuds : (1−2) , (2−3) et (3−4). Les variables nodales sont donc :

{U(t)}=









u₁(t) = 0 u₂(t) = ? u₃(t) = ? u₄(t) =a sinω t









4.6.3 Partition des degr´es de libert´e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus : {U_L}=

½u₂(t) = ? u₃(t) = ?

¾

, {U_P}={u₄(t) =a sinω t} , {U_S}={u₁(t) = 0}

d’o`u :

{U}=



 {U_L} {U_P} {U_S}



=









u₂(t) = ? u₃(t) = ? u₄(t) =a sinω t

u₁(t) = 0









On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :

{DDL}=







 u₁ →0 u₂ →1 u₃ →2 u₄ →3









4.6.4 Remarque

La figure 5 repr´esente la forme de la solution cherch´eeu(x;t) et des fonctions test u^∗ =δu.

Figure 5– Forme de la solution cherch´ee et fonctions test 4.6.5 Matrices ´el´ementaires

Les matrices ´el´ementaires sont : – ´el´ement 1−2 :

{ddl₁₋₂}=

½u₁ →0 u₂ →1

¾

[k₁₋₂] = 4EA L

· 1 −1

−1 1

¸

, [m₁₋₂] = ρ A L 6

·2 1 1 2

¸

, {f₁₋₂}= p L 4

½1 1

¾

– ´el´ement 2−3 :

{ddl₂₋₃}=

½u₂ →1 u₃ →2

¾

[k₂₋₃] = [k₁₋₂] , [m₂₋₃] = [m₁₋₂] , {f₂₋₃}={f₁₋₂} – ´el´ement 3−4 :

{ddl₃₋₄}=

½u₃ →2 u₄ →3

¾

[k₃₋₄] = EA L

· 1 −1

−1 1

¸

, [m₃₋₄] = ρ A L 6

·2 1 1 2

¸

4.6.6 Assemblage

L’assemblage des matrices ´el´ementaires conduit `a la relation : ρ A L

6

· 4 1 0 1 4 1

¸ 





¨ u₂

¨ u₃

−a ω² sinωt



+EA L

· 8 −4 0

−4 5 −1

¸ 



 u₂ u₃ asinωt



= p L 4

½2 1

¾

Remarque : seuls les blocs [K_LL], [K_LP], [M_LL], [M_LP] et{F_L} sont assembl´es.

4.6.7 Equation´

Les d´eplacements inconnusu₂ etu₃ sont les solutions de l’´equation : ρ A L

6

·4 1 1 4

¸ ½u¨₂

¨ u₃

¾ + EA

L

· 8 −4

−4 5

¸ ½u₂ u₃

¾

= p L 4

½2 1

¾

+ρ A L 6

½ 0 a ω²sinωt

¾ + EA

L

½ 0 asinωt

¾

avec les conditions initiales : ½ u₂(t₀) u₃(t₀)

¾

=

½u˙₂(t₀)

˙ u₃(t₀)

¾

=

½0 0

¾

5 Calculs ´ el´ ementaires : ´ el´ ements isoparam´ etriques

5.1 El´´ ement isoparam´etrique : d´efinition

A chaque ´el´ement r´eel, on associe un` ´el´ement de r´ef´erence.

Figure 6– ´El´ement isoparam´etrique 5.1.1 Repr´esentation de la g´eom´etrie

La transformation g´eom´etrique qui fait passer de l’´el´ement de r´ef´erence `a l’´el´ement r´eel poss`ede les propri´et´es suivantes :

– elle est de la forme :

x(ξ) = Xn

i=1

N_i(ξ)x_i (5.1)

o`u :

– nest le nombre de nœuds de l’´el´ement r´eel.

– ξ est la coordonn´ee d’un point de l’´el´ement de r´ef´erence.

– x(ξ) est la coordonn´ee du point de l’´el´ement r´eel.

– les fonctionsN_i(ξ) sont les fonctions d’interpolation (ou fonctions de forme).

– lesx_i sont les abscisses des nœuds de l’´el´ement.

Lejacobien de la transformation est ´egal `a :

J(ξ) = ∂x

∂ξ = Xn

i=1

∂N_i

∂ξ x_i=

·∂N₁

∂ξ · · · ∂N_i

∂ξ · · · ∂N_n

∂ξ

¸















 x₁

... x_i

... x_n

















(5.2)

– elle estnodale: un nœud de l’´el´ement de r´ef´erence devient un nœud de l’´el´ement r´eel (les deux

´el´ements poss`edent donc le mˆeme nombre de nœuds) : x_i=x(ξ_i) =

Xn

j=1

N_j(ξ_i)x_j , i= 1, . . . , n (5.3)

o`u ξ_i est l’abscisse du i^e nœud de l’´el´ement de r´ef´erence. On en d´eduit : N_j(ξ_i) =

(

0 sii6=j

1 sii=j (5.4)

Remarque : si les nœuds de l’´el´ement de r´ef´erence sont espac´es r´eguli`erement entre −1 et +1, on a :

ξ_i=−1 + 2 i−1

n−1 (5.5)

– elle est bijective : le jacobien ne doit pas changer de signe sur l’´el´ement. Nous impo- serons la condition :

J(ξ)>0 (5.6)

On appellequalit´e du jacobien la quantit´e : q_J = longueur de l’´el´ement de r´ef´erence

longueur de l’´el´ement r´eel min(J(ξ)) (0≤q_J ≤1) (5.7) Remarques :

– La qualit´e est maximale est 1 : dans ce cas, le jacobien est constant dans l’´el´ement.

– Dans la pratique, pour ´evaluer q_J, on se contente de calculerJ(ξ) aux nœuds de l’´el´ements.

– D’autres d´efinitions sont possibles, par exemple : q_J = min(J(ξ))

max(J(ξ)) (0≤q_J ≤1) (5.8)

5.1.2 Repr´esentation du champ de d´eplacements

Les fonctionsN_i(ξ) qui d´efinissent la transformation g´eom´etrique sont lesfonctions d’interpolation pour le champ de d´eplacements (´el´ement isoparam´etrique) :

u(ξ) = Xn

i=1

N_i(ξ)u_i (5.9)

o`u u_i est le d´eplacement du nœudi.

Crit`ere de compl´etude : pour que la solution´el´ements finisconverge vers la solution exacte quand la taille des ´el´ements tend vers z´ero, l’´el´ement doit pouvoir repr´esenter un champ de d´eplacements qui correspond `a des d´eformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Consid´erons donc le champ de d´eplacements :

u(x) =a+b x (5.10)

d’o`u les valeurs nodales :

u_i =a+b x_i , i= 1, . . . , n (5.11)

Le champ de d´eplacements s’´ecrit sous forme param´etrique (´equation 5.9) : u(ξ) =

Xn

i=1

N_i(ξ)u_i = Xn

i=1

N_i(ξ) (a+b x_i) =a Xn

i=1

N_i(ξ) +b Xn

i=1

N_i(ξ)x_i (5.12) En utilisant la relation (5.1), il vient :

u(x) =a Xn

i=1

N_i(ξ) +b x (5.13)

On retrouve le champ de d´eplacements (5.10) si : Xn

i=1

N_i(ξ) = 1 (5.14)

Cette condition est v´erifi´ee par les ´el´ements d´ecrits ci-dessous.

5.2 Biblioth`eque d’´el´ements 5.2.1 El´´ ement `a deux nœuds.

Figure 7 – ´El´ement `a deux nœuds Les coordonn´ees nodales sontx₁ etx₂ avec L=x₂−x₁.

Soientu₁ etu₂ les d´eplacements nodaux.

La transformation g´eom´etrique est de la forme :

x(ξ) =a+b ξ = [P(ξ)]{A} avec [P(ξ)] = [ 1 ξ] et {A}=

½a b

¾

(5.15) [P(ξ)] est la base polynomiale de la transformation.

La transformation est nodale d’o`u :

½x₁ x₂

¾

=

½x(−1) x(1)

¾

=

·1 −1

1 1

¸ ½a b

¾

= [C]{A} d’o`u {A}= [C]⁻¹

½x₁ x₂

¾

(5.16) On en d´eduit

x(ξ) = [P(ξ)] [C]⁻¹

½x₁ x₂

¾

(5.17) d’o`u l’expression de la matrice d’interpolation :

[N(ξ)] = [N₁(ξ) N₂(ξ) ] = [P(ξ)] [C]⁻¹ (5.18) avec :

[N(ξ)] =

·1−ξ 2

1 +ξ 2

¸ ,

·∂N_i

∂ξ

¸

=

·−1 2

1 2

¸

(5.19)

Figure 8 – ´El´ement `a deux nœuds : fonctions d’interpolation L’´el´ement est isoparam´etrique :

– repr´esentation de la g´eom´etrie : x(ξ) = [N]

½x₁ x₂

¾

= 1−ξ

2 x₁+1 +ξ

2 x₂ = x₁+x₂ 2 +ξ L

2 (5.20)

Le jacobien de la transformation est ´egal `a : J =

X2

i=1

∂N_i

∂ξ x_i = x₂−x₁

2 = L

2 (5.21)

et est constant dans l’´el´ement.

– repr´esentation du champ de d´eplacements : u(ξ) = [N]

½u₁ u₂

¾

= 1−ξ

2 u₁+1 +ξ

2 u₂ (5.22)

5.2.2 El´´ ement `a trois nœuds.

Figure 9 – ´El´ement `a trois nœuds Les coordonn´ees nodales sont x₁,x₂ etx₃ avec L=x₃−x₁. Soient u₁ ,u₂ etu₃ les d´eplacements nodaux.

La transformation g´eom´etrique est de la forme :

x(ξ) =a+b ξ+c ξ² = [P(ξ)]{A} avec [P(ξ)] = [ 1 ξ ξ²] et {A}=



 a b c



 (5.23)

[P(ξ)] est la base polynomiale de la transformation.

La transformation est nodale :



 x₁ x₂ x₃



=



 x(−1)

x(0) x(1)



=



1 −1 1

1 0 0

1 1 1







 a b c



= [C]{A} d’o`u {A}= [C]⁻¹



 x₁ x₂ x₃



 (5.24)

On en d´eduit

x(ξ) = [P(ξ)] [C]⁻¹



 x₁ x₂ x₃



 (5.25)

d’o`u l’expression de la matrice d’interpolation (programme3n int) : [N(ξ)] =£

N₁(ξ) N₂(ξ) N₃(ξ)¤

= [P(ξ)] [C]⁻¹ (5.26)

avec :

[N(ξ)] =

·ξ(ξ−1)

2 1−ξ² ξ(ξ+ 1) 2

¸ ,

·∂N_i

∂ξ

¸

=

·2ξ−1

2 −2ξ 2ξ+ 1 2

¸

(5.27)

Figure 10 – ´El´ement `a trois nœuds : fonctions d’interpolation L’´el´ement est isoparam´etrique :

– repr´esentation de la g´eom´etrie : x(ξ) = [N]



 x₁ x₂ x₃



= ξ(ξ−1)

2 x₁+ (1−ξ²)x₂+ξ (ξ+ 1)

2 x₃ (5.28)

Cette expression se r´eduit `a : x(ξ) =x₂+ξ L

2 si le nœud 2 est situ´e au milieu de l’´el´ement.

– repr´esentation du champ de d´eplacements : u(ξ) = [N]



 u₁ u₂ u₃



= ξ(ξ−1)

2 u₁+ (1−ξ²)u₂+ξ (ξ+ 1)

2 u₃ (5.29)

Le jacobien de la transformation est ´egal `a : J(ξ) = ∂x(ξ)

∂ξ = X3

i=1

∂N_i

∂ξ x_i = x₃−x₁

2 +ξ(x₁+x₃−2x₂) = L

2 +ξ(x₁+x₃−2x₂) (5.30) et se r´eduit `aL/2 si le nœud 2 est au milieu de l’´el´ement. La qualit´e du jacobien est ´egale `a :

q_J = min µ

1 + 2

L(x₁+x₃−2x₂) , 1− 2

L(x₁+x₃−2x₂)

¶

(5.31) Elle est maximale (q_J = 1) si le nœud 2 est au milieu de l’´el´ement.

Remarque : la condition J(ξ)>0 impose certaines conditions `a la position du nœud 2. Consid´erons l’´el´ement r´eel de longueurL et de coordonn´ees :x₁ =−L/2 , x₂ , x₃ =L/2.

Le point de coordonn´eeξ dans l’´el´ement de r´ef´erence devient dans l’´el´ement r´eel le point de coordon- n´ee :

x(ξ) = 1

2 ξ L+ (1−ξ²)x₂ et le jacobien de la transformation est ´egal `a :

J(ξ) =1

2L−2ξ x₂

Figure 11 – Transformation g´eom´etrique x(ξ) et jacobien de la transformation J(ξ)

Pour que le d´eterminant du jacobien reste positif quand ξ varie de −1 `a +1, la quantit´e x<sub>2</sub> doit rester comprise entre les valeurs −L/4 etL/4. Six<sub>2</sub> est en dehors de cet intervalle, la transformation g´eom´etrique n’est pas bijective : `a certaines valeurs de l’abscisse x correspondent deux valeurs de ξ (figure 11).

5.3 Calcul des matrices ´el´ementaires 5.3.1 Transformation des d´eriv´ees

La d´eriv´ee d’une fonctionf(x) par rapport `aξ est ´egale `a :

∂f

∂ξ = ∂f

∂x

∂x

∂ξ =J ∂f

∂x (5.32)

On en d´eduit l’expression de la d´eriv´ee def(x) par rapport `ax :

∂f

∂x = 1 J

∂f

∂ξ (5.33)

5.3.2 Transformation des longueurs

L’´el´ement de longueur dξ `a l’abscisse ξ dans l’´el´ement de r´ef´erence devient l’´el´ement de longueur dx

`a l’abscisse x(ξ) dans l’´el´ement r´eel (figure 12) : dx= ∂x

∂ξ dξ=J(ξ)dξ

Figure 12– Transformation des longueurs Remarque : la longueur de l’´el´ement est ´egale `a :

L= Z ₁

−1

J(ξ)dξ 5.3.3 Calcul des matrices

La matrice de rigidit´e est ´egale `a : [k] =

Z _L

0

E A[B]^T[B]dx= Z ₁

−1

E A(ξ) [B(ξ)]^T[B(ξ)]J(ξ)dξ (5.34) o`u :

[B] = [B₁· · ·B_i· · ·B_n] avec B_i = ∂N_i

∂x = 1 J

∂N_i

∂ξ (5.35)

De mˆeme :

[m] = Z _L

0

ρ A[N]^T[N]dx= Z ₁

−1

ρ A(ξ) [N(ξ)]^T[N(ξ)]J(ξ)dξ (5.36) {f(p)}=

Z _L

0

p[N]^T dx= Z ₁

−1

p(ξ) [N(ξ)]^T J(ξ)dξ (5.37) {f_th}=

Z _L

0

E A α∆T[B]^Tdx= Z ₁

−1

E A α∆T [B(ξ)]^T J(ξ)dξ (5.38) 5.3.4 Int´egration num´erique

Ces int´egrales sont ´evalu´ees num´eriquement par lam´ethode de Gauss[3, 9, 10, 13] : Z ₁

−1

f(ξ)dξ≈ Xnpi

i=1

w_i f(ξ_i) (5.39)

o`unpi,w_ietξ_i sont respectivement le nombre de points d’int´egration, le poids et l’abscisse dui^epoint d’int´egration.

npi ξ_i w_i

1 0 2

2 ±0.57735026918962576

³

±p 1/3

´

1 3

0 0.88888888888888889 (8/9)

±0.77459666924148338

³

±p 3/5

´

0.55555555555555556 (5/9)

4

±0.33998104358485626



± s

3−2p 6/5 7



 0.65214515486254614 Ã

1

2+ 1 6p

6/5

!

±0.86113631159405258



± s

3 + 2p 6/5 7



 0.34785484513745386 Ã

1

2− 1 6p

6/5

!

Table 1 – Points d’int´egration et coefficients de pond´eration pour la m´ethode de Gauss

Remarque : un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2npi−1 est int´egr´e exactement par la m´ethode de Gauss `a npipoints.

Il vient pour les matrices ´el´ementaires : [k]≈

Xnpi

i=1

E A(ξ_i) [B(ξ_i)]^T[B(ξ_i)]J(ξ_i)w_i

[m]≈ Xnpi

i=1

ρ A(ξ_i) [N(ξ_i)]^T[N(ξ_i)]J(ξ_i)w_i

{f(p)} ≈ Xnpi

i=1

p(ξ_i) [N(ξ_i)]^TJ(ξ_i)w_i

{f_th}={f(∆T)} ≈ Xnpi

i=1

E A(ξ_i)α∆T(ξ_i) [B(ξ_i)]^TJ(ξ_i)w_i

(5.40)

5.4 Cas particulier : la section droite est constante 5.4.1 El´´ ement `a deux nœuds

Jacobien de la transformation :

J = ∂x

∂ξ = X2

i=1

∂N_i

∂ξ x_i =L 2 Matrice [B] :

[B] =

·∂N₁

∂x

∂N₂

∂x

¸

= 1 J

·∂N₁

∂ξ

∂N₂

∂ξ

¸

= 1

L[−1 1]

Matrice de rigidit´e :

[k] = Z ₁

−1

E A[B]^T[B]J dξ= EA L

· 1 −1

−1 1

¸

Matrice de masse :

[m] = Z ₁

−1

ρ A[N]^T[N]J dξ= ρ A L 6

·2 1 1 2

¸

Vecteur force dˆu `a une force uniform´ement r´epartie d’intensit´e lin´eiquep: {f}=

Z ₁

−1

[N]^Tp J dξ= pL 2

½1 1

¾

Vecteur force dˆu `a une force r´epartie dont l’intensit´e lin´eique varie lin´eairement entre les valeurs p₁ etp₂ :

{f}= L 6

½2p₁+p₂ p₁+ 2p₂

¾

Vecteur force dˆu `a une force ponctuelle d’intensit´eP situ´ee `a l’abscissex_P : {f}= P

L

½b a

¾

, a=x_P −x₁ , b=x₂−x_P Vecteur force dˆu `a une variation de temp´erature ∆T constante :

{f_th}=E A α∆T

½−1 1

¾