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Chap.7 :
primitives
Partie 1 : notion de primitive
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
On appelle ……….. de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout nombre réel x de I :
………= ……..
Exemples : 1) La fonction F définie sur IR par …… est une primitive de la fonction sur IR.
2) La fonction G définie sur IR par ……… est une primitive de la fonction sur IR.
3) Les fonctions H1 et H2 définie sur IR par …… et ……… sont des primitives de la fonction sur IR.
Exercice : Soient F et f deux fonctions définies sur IR par : et . 1) Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur IR.
………
………
2) Donner une autre primitive de la fonction f sur IR.
………
Toute fonction dérivable sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Remarque : Toutes les fonctions étudiées en classe de terminale sont dérivables par intervalle, elles possèdent donc des primitives sur chacun de ces intervalles.
Partie 2 : ensemble des primitives d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f sur I.
Les primitives de f sur I sont les fonctions définies sur I par : 𝑥 ⟼ ……… (où IR).
Remarques : Une fonction dérivable sur un intervalle I admet une …………. de primitives sur I.
On dit que les primitives sont définies à une constante près où que deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Exemple : Une primitive de la fonction f définie sur IR par est …….
Les primitives de la fonction f sur IR sont les fonctions définies sur IR par ………
= ) (x
F f :x!3x2
= ) (x
G g:x!3
= )
1(x
H H2(x)=
x
x h : ! 2
3 6 3 )
(x = x2 - x+
F f(x)=6x-6
Î k
•
•
3 2
)
(x x
f = F(x)=
)= (x F
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Partie 3 : primitives des fonctions usuelles
Fonction f définie par : Primitive F de f :
(k est une constante réelle) Définies sur : IR)
( !\{−1})
𝑓(𝑥) = 𝑒(
Exercice : 1) Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur IR : 𝑓)(𝑥) = 2 𝑓+(𝑥) = 𝑥, 𝑓-(𝑥) = 𝑥
………
2) Déterminer les primitives de la fonction suivante sur ]0; [ : 𝑔(𝑥) =()/
………
Partie 4 : opérations sur les primitives
En général, on ne sait pas déterminer une primitive d’un produit ou d’un quotient, sauf dans certains cas : Exercice : Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par : .
………
………
………
………
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, admettant U et V comme primitives sur I et a et b deux nombres réels :
Fonction f définie par : Primitive F de f :
(k est une constante réelle) Conditions :
( !\{−1})
a x
f( )= (aÎ x x f( )=
xn
x
f( )= nÎ
2
) 1 (x x
f =
x x f( )= 1
x x
f( )=cos x x
f( )=sin
x x
f 1
) ( =
¥ +
) 3 )(
1 2 ( )
(x = x+ x2+x+ f
v u f = +
au f =
un
u
f = ' nÎ
2
' u f = u
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𝑓 = 𝑢1𝑒2
Exercice : Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
sur ]0; [ sur IR
sur IR sur IR
sur IR sur IR
sur IR sur ]−1; [
sur IR sur IR
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
……….
Partie 5 : primitive particulière d’une fonction
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, x0 un nombre réel de I et y0 un nombre réel.
Il existe une ………… primitive F de la fonction f sur I vérifiant : . Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par : .
Une primitive G de la fonction f sur IR est : ……….
On en déduit que l’ensemble des primitives de f est donné par :
………
Cherchons l’unique primitive F de la fonction f telle que : .
On a : ……… ………
………
Donc la primitive de la fonction f telle que est : ………
u f = u'
) cos(
)
(x ax b
f = + (a¹0) )
sin(
)
(x ax b
f = + (a¹0)
u f =u'
x x x
f 1 1
)
( 2
1 = + +¥ f6(x)=sin(4x)
x x
f2( )=2sin f7(x)=2x(x2 +4)4
2 3(x) 5cosx 3x
f =- + 8 2 3
) 2 (
2 ) 2
( x x
x x
f +
= +
3 5 4 )
( 3
4 x = x - x+
f 1
) 3
( 3
2
9 = +
x x x
f +¥
) 3 2 cos(
)
5(x = x-
f f10(x)= x(x2 +4)4
0 0)
(x y
F =
1 2 ) (x = x+ f
= ) (x G
= ) (x F
3 ) 2 (- =- F
3 ) 2 (- =-
F Û Û
Û
3 ) 2 (- =- F
