Revisions 05 Vecteurs2_sujet

Produit d'un uecieur par un nombre r6el

^(u +

^y)

: \u + \y ^. (\+ \,)u:

^XJ

+ X,I

X1X,i;

:1XX,;i

1J: d si,etseulementsi, \: ^{o ou} i: d. ^, -i .rtiuvecteuroppos6auvecteur i

"t i -1,:;ii;;

- (\ ₊ \';i: xi + x'i

v-u:v+(-u).

"

^(i,

j)

ddsigne une base orthonorm6e,

\

^{un nombre} r6er

et i(*

;

y)

un vecteur.

\J

est le vecteur _de coordonn6es (Xx _;

\y).

De pf

u, ll,lill : _{L\l; Eil.}

lt

+

fggr

^tqys nombres r6els

\, \/

et tous

,e.t"urc

J, 7 ,

\(; +I): \i + il

t

u(x _;

y)

dans une base

orthonorm6e (i ])

^equivaut

i i : i * yj.

Calculer la m6diane de la liste suivante :

5-'10_12_7_9_18_20

Dans un repdre, une courbe a pour 6quation

y :

_{t +}

I

(avecx=0ety= 1).Exprimerxenfonctiondey. ^x

I

nepresenter les vecteurs :

v,

dbrigine

A tel

que i :

Z.i

w dbrigineBtelque fr:-i

7 dbrigine

C tet

que ) : z,si.

. e:"...-

.

b

:,.",f .f:

ff

^{Compt6ter les} pointifl6s _avec un nombre r6et.

. C:..".O

H_*F_t

ABCD est un parall6logramme de centre I.

les vecteurs qui sont 6gaux.

.a e

a

.d: ,f

E

Relier

. ^_-d . ^1a7

2 2TB

1---- _BD 2

ffi M

I

!! ^Ornr

un repdre orthonorm6, on donne les

points:

A(t

;

-

5), B(3; 2) et

c(-a;

s).

a. D6terminer les coordonn6es _des vecteurs :

. AB-..."... .

_AC'

b. En ddduire les coordonn6es des vecteurs :

.i:-z1AE+Ae;

. y:5AB-3AC

f,t ^ounr

^{une base}

orthonorm6e

_{17 ,}

];, ^on

^{donne les}

vecteurs

i ^:7 +-i, i :

zi

- ^{+j et il} :

+7

-ui.

D6montrer

que zi -:i ^{+ fr :d}

^.

!! ^{tOti est un}

^segment

de longueur

6

cm.

^placer

h

point _{M de la} droite (AB) tel

qre Mf +

3ME

:

d.

A

f,l

ou1lr une-base

orthonorm6e

_1i

,-i1, on

^donne le vecteur

u: _-4i *3j.

a. Calculer la norme

de i.

b. En d6duire la norme

de

7

: i -ij

B

C

I

A

DB.

AB.

IC.

ID.

{

h

ficf; Enl&anlt& de veeti:urs

I

^{.e gue} de,ux vecteurs non nuls

u et v

sont colin6aires signifie qu1l existe un nombre r6el

\

^tel

:Je v:\u, autrementditquelesvecteurs u et v ontlam6medirection.

ln

convient que _le vecteur nul est colin6aire

i tout

^vecteur.

Jans une base orthonormee,

i(x

;

y) et i1*' ; l')

sont deux vecteurs.

-: d6terminant

du vecteur

i

^{et du vecteur}

i

^{est le}

nombre

^xy'

- ^x'y.

-

^{r- ;} .v)

et v(x'

;

y')

sont colin6aires si, et seulement si,

ryl - ^*'y :

O.

-,:ile

^{est la nature du nombre F}

:

, _=. elopper et r6duire B

: (h - ^{3)' +}

^4x.

-2;3) ^'

-2; -3) '

r: -2) ^.

3;2) ^.

J48 ,

JN

' ^{t (- 3;2)}

u

(10;15)

i e+;a) il _1rs; to;

ff ^{ounr une base} orthonorm6e (,-h, on

donne

s{ .€(teurs i: Jri - ^{c-j eti} : i + J)-i.

s

,ecteurs

i

"t ⁷

sont-ils colin6aires?

I ^{o"ns une} base orthonorm6e (i 7), on

^{donne :}

-T ) -/ a)

- i ^{,-r), ,|., ,-;J, w} : _-i* 3j et

^z

:

6i

-t 4i.

lerculer _le d6terminant de chaque couple de vecteurs.

sti:

:

:duire

deux vecteurs colin6aires.

I

'^er

_les coordonn6es d'un vecteur colin6aire

i

^{v .}

Chapitre

5 *

Vecteurs et op6rations

Li ../'

@

^{n et B sont} deux points donn6s.

M et N sont des points tels gue

._

AM+2BM:0 et-AN+2BN:0.

Dtimontrer que les vecteurs AE

"t ^MN

sont colin6aires.

L

f,! ^{Dun, ,nu}

teurs u(a

-1;

^a)

base

orthonorm6e, on donne

les vec-

et i(z

; ^a

*

^{1) oir a} d6signe un nombre r6el.

D6terminer les valeurs de

a pour

lesquelles

i ^et i

^sont

colin6aires.

!! ^ounr

^{chaque cas, d6montrer que les} vecteurs AE et

Cd

sont colin6aires.

a. +Ad-4Bd+2e6:d

b. CB+2AC+DB:0

I

47

Reconnaitre le pa'rall6lisme ou l'alignement

I

Ounr un repdre orthonorm6, on donne les points :

M(3;3), N(8;5), P(t; -2)

^et

^e(16;

^a).

a. Compl6ter avec les coordonn6es.

.MN..."."... .pQ...

b. En d6duire que les droites (MN) et

(pe)

sont paralldles.

5CN+2AB:0

b. En d6duire que les droites (AM) et (CN) sont paralldles.

Cl

^{o, B, E, F} sont des points tels

que

onE

+

^EE

:

sAF.

a. D6montrer

qr"

AE

:

5EF.

b. Que peut-on dire des droites (AB) et (EF) ?

!! ^{Ount un}

repdre orthonorm6,

6tudier

l,alignement

E

^{O, B, C, M et N sont cinq points distincts tels que :}

+AM

+ Ef:6

a. V6rifier

que -N : _-Jnf.

des points

R(-:; _{-2),5(a; \,7(6;2).}

E _".

^{Placer sur la figure} ci-dessous :

.

l'image M du point A par la translation de vecteur B-,

.

le milieu N du segment _[AM],

.

_le

point

P sym6trique de C par rapport d N.

A^

BNC

b. D6montrer que les points _{A, B, P} sont align6s.

l!

^naHr, BCDH, DEFG

sont

des carr6s

de

m6me c6t€

avec D milieu de _[CG].

L est le centre du ca116 BCDH, M et N sont les milieux des

segments iAIl et iEFl. ^P est le point

v6rifiant

eF

: ^1Cr.

4

Utiliser

le

repdre

orthonorme (B;

C,

H) pour

d6montre.

que les droites (MP) et (LN) sont paralldles.

> Deux droites (nB)

et{!F)

sont paralldles _si, et seule- ment si, les vecteurs AB

et

EF sont colin6aires.

*

Deuxcatcuts_l

, Sans calculatrice, d6terminer A

:

1 OO22

-

^ggg2.

D6velopper et r6duire

A:7 -

⁽²

- ^al2.

lrt

r

Trois points A,

B{

sont align6s si, et seulement si, les vecteurs AB

et

AC sont colin6aires.