2 L’information binaris´ee

Peter Schlagheck Universit ´e de Li `ege

Ces notes ont pour seule vocation d’ ˆetre utilis ´ees par les ´etudiants dans le cadre de leur cursus au sein de l’Universit ´e de Li `ege. Aucun autre usage ni diffusion n’est autoris ´e, sous peine de constituer une violation de la Loi du 30 juin 1994

relative au droit d’auteur.

2.1 Le syst `eme d ´ecimal et le syst `eme binaire 2.2 La r ´ealisation du bit avec des circuits int ´egr ´es 2.3 L’octet

Dans le syst `eme d ´ecimal habituel, les nombres sont encod ´es avec les chiffres 0, 1, 2, . . . , 9

Exemple:

325 = 3×100 + 2×10 + 5×1

= 3×10²+ 2×10¹+ 5×10⁰

Dans le syst `eme d ´ecimal habituel, les nombres sont encod ´es avec les chiffres 0, 1, 2, . . . , 9

Exemple:

325,172 = 3×10²+ 2×10¹+ 5×10⁰ + 1×10⁻¹+ 7×10⁻²+ 2×10⁻³

Dans le syst `eme d ´ecimal habituel, les nombres sont encod ´es avec les chiffres 0, 1, 2, . . . , 9

Exemple:

325,172 = 3×10²+ 2×10¹+ 5×10⁰ + 1×10⁻¹+ 7×10⁻²+ 2×10⁻³

Repr ´esentation “scientifique” sur l’ ´ecran d’une calculatrice:

3,25172 02 ≡ 3,25172×10²

−→pratique pour des tr `es grands nombres . . . 3,25172 20 = 325172000000000000000

Dans le syst `eme d ´ecimal habituel, les nombres sont encod ´es avec les chiffres 0, 1, 2, . . . , 9

Exemple:

325,172 = 3×10²+ 2×10¹+ 5×10⁰ + 1×10⁻¹+ 7×10⁻²+ 2×10⁻³

Repr ´esentation “scientifique” sur l’ ´ecran d’une calculatrice:

3,25172 02 ≡ 3,25172×10²

−→pratique pour des tr `es grands nombres . . .

−→ et des tr `es petits nombres:

3,25172 -20 = 0,0000000000000000000325172

L’abaque `a six boules par ligne ?

124 = 1×6²+ 2×6¹+ 4×6⁰= 52

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

0

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

1

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

2

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

3

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

4

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

5

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

10 (6)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

11 (7)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

12 (8)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

13 (9)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

14 (10)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

15 (11)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

20 (12)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5:

20 (12)

−→ ca marcherait aussi bien que le syst `eme d ´ecimal

−→encoder des nombres avec les chiffres

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

−→. . . et avec les lettres

A, B, C, D, E, F

(10) (11) (12) (13) (14) (15) Exemples:

42= 4 * 16 + 2 = 66 A3= 10 * 16 + 3 = 163 5B= 5 * 16 + 11 = 91 FF= 15 * 16 + 15 = 255

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

0

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

1 (1)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

10 (2)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

11 (3)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

100 (4)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

101 (5)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

110 (6)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

111 (7)

−→encoder des nombres avec les chiffres 0 et 1

1011010= 2⁶+ 2⁴+ 2³+ 2¹ = 90

Addition

11 01 11 11

+1 0 1 1 0

11

+ 6

17

Addition

11 01 11 11

+1 0 1 1 0 1

11

+ 6

17

Addition

11 01 11 11

+1 0 11 1 0 2 1 0

11

+ 6

17

Addition

11 01 11 11

+1 01 1 1 0 2 0 1 0

11

+ 6

17

Addition

11 01 11 11

+1 0 1 1 0

1 0 0 0 1

11

+ 6

17

Soustraction

11 01 11 11

-1 0 1 1 0 1

Soustraction

11 01 11 11

-1 0 1 1 0 0 1

Soustraction

11 01 11 11

-1 01 1 1 0 1 0 1

Soustraction

11 01 11 11

-1 0 1 1 0 1 0 1

11

- 6

5

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

01 01 01 01

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

1 0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

0 1 0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

0 0 1 0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

0 0 0 1 0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

0 0 0 0 1 0

Multiplication

1 0 1 11 ×1 0 1 1 0 =1 01 01 01 01 01 01 01

1 0 1 1

1 0 1 1

01 01 01 01

1 0 0 0 0 1 0

= 66 = 11×6

. . . et non pas un syst `eme ternaire, hexal, d ´ecimal . . . ?

→plus facile `a r ´ealiser

→facile `a encoder d’informations plus g ´en ´erales

→plus robuste que des syst `emes plus compliqu ´es

→longue histoire :

→t ´el ´egraphie (code de Morse), cartes perfor ´es, CDs . . .

UG= 0

→pas de courant : bit 0

UG>0

→courant : bit 1

UG>0

→courant : bit 1

−→comment garder de l’information binaire sur un circuit ?

Rappel: les op ´erations logiques ´el ´ementaires AND :A=B∧C

OR :A=B∨C NOT :A=B NAND :A=B∧C NOR :A=B∨C

XOR :A= (B∧C)∨(C∧B) XNOR :A= (B∧C)∨(B∧C)

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR inputS: activation (set)

inputR: d ´eactivation (reset) outputQ: lire le contenu outputQ: le contraire deQ

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

→Q“est faux”

→Q“est vrai”

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

→Q“est faux”

→Q“est vrai”

−→c¸a reste comme c¸a

−→m ˆeme siRest d ´ecoup ´e

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

→Q“est vrai”

→Q“est faux”

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

→Q“est vrai”

→Q“est faux”

−→c¸a reste comme c¸a

−→m ˆeme siSest d ´ecoup ´e

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

→Q“est faux”

→Q“est vrai”

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR d ´eactivation avec le contactR

→Q“est faux”

→Q“est vrai”

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

→Q“est vrai”

→Q“est faux”

−→les circuits bistables (flip-flop)

On utilise deux ´elements NOR activation avec le contactS

→Q“est vrai”

→Q“est faux”

−→rapidit ´e et stabilit ´e

−→(tant que le circuit est connect ´e `a la source de tension)

−→six transistors n ´ecessaires pour maintenir un bit

−→SRAM (Static Random Access Memory)

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) On utilise des capacitances pour sauvegarder des bits

−→deux transistors n ´ecessaires pour maintenir un bit

−→pas de stabilit ´e, `a cause de courants de fuite

−→ →circuits de rafraˆıchissement n ´ecessaires

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→charger et d ´echarger avec des tensionsU_Gtr `es fortes

−→(effet tunnel quantique)

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→pas de courant au travers du transistor

−→si la capacitance est charg ´ee (effet de screening)

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→les m ´emoires Flash (Toshiba, 1980)

On utilise des capacitances isol ´ees pour sauvegarder des bits

−→tr `es longue dur ´ee de vie de la m ´emoire

−→m ˆeme si le circuit est d ´ecoup ´e de la source de tension

−→utilis ´e dans les GSM, les cl ´es USB, les cam ´eras . . .

=la combinaison de 8 bits

0 1 0 1 1 0 1 1

−→l’unit ´e de base pour des m ´emoires informatiques:

1 ko (kB)=1 kilooctet= 10³ octets =1000octets

1 Mo (MB)=1 m ´egaoctet= 10⁶ octets =1 000 000octets 1 Go (GB)=1 gigaoctet= 10⁹ octets =1 000 000 000octets 1 To (TB)=1 t ´eraoctet= 10¹²octets =1 000 000 000 000octets

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 0 0 0 0

0

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 0 0 0 1

1

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 0 0 1 0

2

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 0 0 1 1

3

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 0 1 0 0

4

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 0 1 0 0 0

8

=la combinaison de 8 bits

0 0 0 1 0 0 0 0

16

=la combinaison de 8 bits

0 0 1 0 0 0 0 0

32

=la combinaison de 8 bits

0 1 0 0 0 0 0 0

64

=la combinaison de 8 bits

1 0 0 0 0 0 0 0

128

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 1 1 1

−→codage des nombres entiers entre 0 et 2⁸−1 = 255

=la combinaison de 8 bits

0 1 1 1 1 1 1 1

−→codage des nombres entiers entre 0 et 2⁸−1 = 255

−→. . . ou des nombres entiers, positifs et n ´egatifs, entre

−2⁷ =−128 et 2⁷−1 = 127

=la combinaison de 8 bits

1 0 0 0 0 0 0 0

−→codage des nombres entiers entre 0 et 2⁸−1 = 255

−→. . . ou des nombres entiers, positifs et n ´egatifs, entre

−2⁷ =−128 et 2⁷−1 = 127

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 1 1 1

−1

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 1 1 0

−2

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 1 0 1

−3

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 1 0 0

−4

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 0 1 1

−5

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 0 1 0

−6

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 0 0 1

−7

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 1 0 0 0

−8

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 1 0 0 0 0

−16

=la combinaison de 8 bits

1 1 1 0 0 0 0 0

−32

=la combinaison de 8 bits

1 1 0 0 0 0 0 0

−64

=la combinaison de 8 bits

1 0 0 0 0 0 0 0

−128

=la combinaison de 8 bits

1 0 1 1 0 1 0 1

D ´etermination des nombres n ´egatifs:

−→n ´egation de tous les bits

=la combinaison de 8 bits

0 1 0 0 1 0 1 0

D ´etermination des nombres n ´egatifs:

−→n ´egation de tous les bits

−→addition de 1

=la combinaison de 8 bits

0 1 0 0 1 0 1 1

D ´etermination des nombres n ´egatifs:

−→n ´egation de tous les bits

−→addition de 1

75

=la combinaison de 8 bits

1 0 1 1 0 1 0 1

D ´etermination des nombres n ´egatifs:

−→n ´egation de tous les bits

−→addition de 1

−75

0 1 0 1 1 0 1 1 + 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

91 + −106

−15

0 1 0 1 1 0 1 1 + 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1

91 + 86

−79 ?!?

. . . c’est exact `a l’exception d’erreurs d’overflow

0 1 0 1 1 0 1 1 + 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

91 + −42

49 o.k.

Impl ´ementation sur un circuit int ´egr ´e:

a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1

+ b₈ b₇ b₆ b₅ b₄ b₃ b₂ b₁ c₈ c₇ c₆ c₅ c₄ c₃ c₂ c₁

−→op ´eration XOR pour l’addition dea₁etb₁,a₂etb₂, . . .

−→op ´eration AND pour ajouter 1 `a la colonne suivante

−→sia₁ = 1etb₁ = 1(pareil poura₂ etb₂, . . . )

a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1

+ b₈ b₇ b₆ b₅ b₄ b₃ b₂ b₁ c₈ c₇ c₆ c₅ c₄ c₃ c₂ c₁

−→circuit similaire `a celui pour les additions . . . ou

−→multiplication du deuxi `eme octet par−1

−→→n ´egation de tous les bits (op ´eration NOT)

−→→addition de1

−→addition ordinaire des deux octets

−→combinaison de plusieurs octets

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

2 octets: repr ´esentation des nombres entre −2¹⁵ et 2¹⁵−1 c- `a-d entre −32 768 et 32 767

4 octets: repr ´esentation des nombres entre −2³¹ et 2³¹−1 c- `a-d entre −2 147 483 648 et 2 147 483 647

Repr ´esentation “scientifique” du nombre325dans le syst `eme d ´ecimal :

1 3,25

1

02

Repr ´esentation “scientifique” du nombre325dans le syst `eme binaire :

1 1,01000101

1 mantisse 1

1000

exposant (puissance de 2)

−→nombres “flottants” (floating point numbers)

Repr ´esentation “scientifique” du nombre325dans le syst `eme binaire :

1 1,01000101

1 mantisse 1

1000

exposant (puissance de 2)

−→nombres “flottants” (floating point numbers) Exemple:

3 octets pour la mantisse et 1 octet pour l’exposant (type “float” en C/C++)

−→repr ´esentation des nombres r ´eels entre −→

±1,2×10⁻³⁸ et ±3,4×10³⁸

−→avec 7 chiffres significatifs

Repr ´esentation “scientifique” du nombre325dans le syst `eme binaire :

1 1,01000101

1 mantisse 1

1000

exposant (puissance de 2)

−→nombres “flottants” (floating point numbers) Exemple:

6,5 octets pour la mantisse et 1,5 octets pour l’exposant (type “double” en C/C++)

−→repr ´esentation des nombres r ´eels entre −→

±2,2×10⁻³⁰⁸ et ±1,8×10³⁰⁸

−→avec 14 chiffres significatifs

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→peut- ˆetre pas si grave ?

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→

(1 + 10⁻³)−1

×10³ ⇒ 1

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→

(1 + 10⁻⁴)−1

×10⁴ ⇒ 1

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→

(1 + 10⁻⁵)−1

×10⁵ ⇒ 1

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→

(1 + 10⁻⁶)−1

×10⁶ ⇒ 1

Illustration dans le syst `eme d ´ecimal:

1435,12 + 0,119421 = 1435,239421

Calcul “num ´erique” avec 6 chiffres significatifs:

1,43512×10³+ 1,19421×10⁻¹ = 1,43523×10³= 1435,23

−→attention: les derniers chiffres sont coup ´es !

−→ erreur num ´erique

−→

(1 + 10⁻⁷)−1

×10⁷ ⇒ 0

−→ attention avec des diff ´erences !

(American Standard Code for Information Interchange)

−→repr ´esentation des lettres de l’alphabet et

−→des chiffres 0, 1, . . . 9 avec 7 bits:

bin. d. bin. d. bin. d.

1000001 65 A 1100001 97 a 0110000 48 0 1000010 66 B 1100010 98 b 0110001 49 1 1000011 67 C 1100011 99 c 0110010 50 2 1000100 68 D 1100100 100 d 0110011 51 3

... ... ... ... ... ...

1011010 90 Z 1111010 122 z 0111001 57 9

−→les autres nombres sont r ´eserv ´es pour des

−→caract `eres speciaux: ! “ # % $ & ’ ( )∗+ , -/;< >? . . .