EPFL ALG`EBRE LIN´EAIRE
Institut de Math´ematiques GC/SIE
Dr A. Prodon HIVER 2005/2006
CORRIG´E DU TEST 1
Exercice 1
Premi`ere m´ethode :On calcule C =AB puis on r´esout le syst`eme C~x=~b. On a donc
C=
1 0 0 1 0 2 0 0 1
,
et on ´echelonne et r´eduit la matrice augment´ee [C|~b] :
1 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 1
l2−l1 →
1 0 0 1
0 0 2 −1
0 0 1 1
12l2 →
1 0 0 1
0 0 1 −12
0 0 1 1
l3−l2
→
1 0 0 1
0 0 1 −12 0 0 0 32
.
On remarque un 1-directeur dans la troisi`eme ligne correspondant `a l’´equation 0 = 32. Le syst`eme n’a donc pas de solution: S=∅.
Deuxi`eme m´ethode :On r´esoutA~y =~b, puis B~x=~y.
[A|~b] =
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1
l2−l1 →
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 1
.
On trouve donc~y= (1,−1,1)T. On r´esout ensuite
[B|~y] =
1 0 0 1
0 0 2 −1
0 0 1 1
l3− 12l2
→
1 0 0 1
0 0 2 −1 0 0 0 32
et on arrive au mˆeme syst`eme sans solution qu’`a la premi`ere m´ethode.
Exercice 2
a) On calcule A−1 de la mani`ere suivante :
1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1
l2−l1 →
1 0 0 1 0 0
0 0 1 −1 1 0
0 1 2 0 0 1
l2 ↔l3 →
1 0 0 1 0 0
0 1 2 0 0 1
0 0 1 −1 1 0
l2−2l3 →
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 −2 1
0 0 1 −1 1 0
.
On obtient donc
A−1 =
1 0 0
2 −2 1
−1 1 0
.
1
b) On a B =E13A. Ainsi,
B−1= (E13A)−1 =A−1E13−1 =A−1E13, que l’on peut calculer :
B−1 =
1 0 0
2 −2 1
−1 1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0
=
0 0 1
1 −2 2
0 1 −1
.
Exercice 3
En se r´ef´erant `a l’exercice pr´ec´edent, on obtient
A−1 =E23(−2)E23E21(−1), puis
A=E21(1)E23E23(2).
Exercice 4 a) Vrai.
Premi`ere m´ethode :On calcule le d´eterminant par blocs et on obtient det(C) = det(A) det(I)
| {z }
=1
−det(B) det(0)
| {z }
=0
= det(A)6= 0.
Les d´eterminants sont bien d´efinis, car toutes les matrices sont carr´ees. Ainsi, le d´eterminant de C est non-nul (puisque A est inversible et donc det(A) 6= 0), et cela ind´ependamment de la valeur du d´eterminant de B, c’est-`a-dire que C est inversible pour toute matrice B, inversible ou pas.
Deuxi`eme m´ethode :On peut chercher explicitement la matriceC−1 en r´esolvant le syst`eme par blocs (de taille 2×2)
A 0 B I
X11 X12
X21 X22
=
I 0 0 I
,
et on trouve (voir l’ex. 5 s´erie 4)
C−1 =
A−1 0
−BA−1 I
.
La matrice C−1 est donc d´efinie pour toute matriceB quelconque.
b) Vrai.
Si on soustrait `a la premi`ere colonne de A toutes les autres, ces op´erations ne changeant pas la valeur du d´eterminant, on obtient une matrice B dont la premi`ere colonne est nulle, donc de d´eterminant nul. Explicitement,
B =AE21(−1)E31(−1)· · ·En1(−1) et
0 = det(B) = det(AE21(−1)E31(−1)· · ·En1(−1)) 2
= det(A) det(E21(−1)) det(E31(−1))· · ·det(En1(−1))
| {z }
=1
.
Ainsi, le d´eterminant de A est nul.
c) Faux.
det(2A2B−1) = det(2A2) det(B−1) = 23(det(A))2 1
det(B) = 8·4· 1
4 = 86= 2.
d) Faux.
Les matrices ne sont pas forc´ement carr´ees. Contre-exemple :
A=
1 0 0 1 1 0
, B =
1 0 2 1 0 2
, AB=
1 0 3 1
.
Le produit est bien d´efini; la matrice AB est inversible (d´eterminant non-nul); orA et B ne le sont pas.
12 d´ecembre 2005 – AP/gh
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