ANALYSE
3
Fonctions
trigonométriques
Les savoir-faire du chapitre
◮ 220. Placer un point sur le cercle trigonométrique.
◮ 221. Déterminer sur le cercle trigonométrique, pour des valeurs remarquables dex, les cosinus et sinus d’angles associés àx.
◮ 222. Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.
◮ 223. Lier la représentation graphique des fonctions sinus et cosinus au cercle trigonométrique.
Le calcul mental
1 Simplifier les fractions : 1)9π
3 =... 5) 3π
18 =...
2)4π
6 =... 6) 9π
6 =...
3)14π
4 =... 7) 9π
12 =...
4)10π
2 =... 8) 6π
4 =...
2 Simplifier les écritures : 1)π+ 5π
3 =... 5) π
2 +3π=...
2)π
6 +π=... 6) 5π
4 −π=...
3)2π− π
3 =... 7) π
3 −π=...
4)π
6 + π
2 =... 8) π
4 +π
3 =...
3 Développer sans écrire de calculs intermé-
diaires :
1)(x+3)2=...
2)(2x−1)2=...
3)(4−2x)(4+2x) =...
4)(x+6)2=...
5)(−1+3x)2 =...
4 Donner les solutions des équations suivantes :
1) 3x−1=4 S =....
2) x2+1=0 S =....
3) 2x2−8=0 S =....
4) (x−1)(2x+6) =0 S =....
5) 2x−9=0 S =....
6) 5−x2 =0 S =....
7) (x+3)(5x−9) =0 S =....
➤➤➤
1
S’entraîner
220 Placer un point sur le cercle trigonométrique.
1)En utilisant le cercle trigonométrique suivant, placer les pointsA,B,C,DetEdu cercleC images par enroule- ment de la droite numérique des réels suivants :
a)π d)3π
4
b)− π
2 e)9π
4
c) π
6 f) 2π
3
O I
J
2) a)Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points A,B, C,DetEimages des réels :
(−π),π 3
,π 4
,
− π
6 et
− 2π
3
b)Déterminer un réel associé à chacun des pointsI,J,M,NetP.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O I
J
M
N
P
b b
b
3)On considère le cercle trigonométrique ci-dessous. Associer chacun des nombres à un point du cercle.
Les segments rouges partagent le cercle en huit angles de 45˚et les bleus partagent le cercle en douze angles de 30˚.
a)π
2 c) π
4 e)−
π
2 g)−
π 4 b)π
3 d)π
6 f)−
π
3 h)−
π 6
4)Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l’inter- valle[0; 2π[;
a)A b)R c)H d)L
5)Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l’inter- valle]−π;π].
a)K b)N c)G d)I
I A C B J
G F E
H
K LM
N
T R S
+
2 Chapitre A3. Fonctions trigonométriques
S’entraîner
221 Déterminer sur le cercle trigonométrique, pour des valeurs remarquables dex, les cosinus et sinus d’angles associés àx.
A l’aide du cercle trigonométrique, donner les valeurs du cosinus et du sinus des nombres réels suivants : 5π
6
2π 3
3π 2
13π
6 −
7π
4 −
8π 3
O I
J
O I
J
O I
J
O I
J
O I
J
O I
J
222 Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques.
1)La fonction représentée ci-dessous est 2π-périodique et paire. Compléter le graphique.
1
−1
π 2π
−π
−2π
−3π 0
Chapitre A3. Fonctions trigonométriques 3
S’entraîner
2)Soit f la fonction définie surRpar f(x) =1−cos(x).
On noteC sa courbe représentative. On a tracé la partie deCsur l’intervalle[0 ; π].
a)Montrer que fest une fonction paire.
b)Montrer que fest périodique de période 2π. c) Compléter la courbeC.
1
−1
π
2 π 3π
2 2π
−π
−π 2
−3π
2 0
223 Lier la représentation graphique des fonctions sinus et cosinus au cercle trigonométrique.
Soit un repère orthonormé. On considère le cercle trigonométriqueC.
1)Tracer la représentation graphique de la fonction cosinus sur[−π; π], puis déterminer un antécédent de 1 2par la fonction cosinus sur[−π; π]. En existe-t-il un autre ?
2)Placer alors les points images par enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique des anté- cédents de 1
2. Que remarque-t-on ? Peut-on généraliser ?
O I
J 1
-1
π
2 π
−π
−π 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Chapitre A3. Fonctions trigonométriques
