Proposés par :

I

nstitut Blaise Pascal

Année Scolaire: 2020-2021 Discipline-Travail-Succès Classe :P_D.

Département de mathématiques

Proposés par :

M.Tchepanou Achille Boris.

TRAVAUX DIRIGES : du 16 Janvier 2021

EXERCICE 1 :

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J).

On considère la fonction paramétrée fm définie par :

( )

³

m 1 f x mx

mx

− +

= + ^,

(

^m∈R

)

1-Pour quelle valeur de m a-t-on ^fm

( )

^{− = −}

^{1 5}

? 2-On pose m=2.

a) Déterminer l’ensemble de définition

f2

D

de la fonction f2.

b) Déterminer les réels a, b et c tels que : pour

tout _f2

,

2

( ) a

x D f x c

∈ = x b +

−

.

c) En déduire que la courbe (C_f2) de la fonction f₂ est l’image de l’hyperbole g définie par : ^{g x}

( )

²

= x^,

par une translation que l’on précisera.

EXERCICE 2 :

1- Démontrer que pour tous réels a et b, on a 2sin a cos b = sin (a + b) + sin (a – b) 2- En déduire que

7 sin 6 7

cos 5 7 cos 3 cos 7

sin 7

2 π π π π

_=

π



 



 + +

3- Démontrer que

2 1 7 cos 5 7 cos 3

cos π 7

+

π

+

π

= EXERCICE 3 :

Soit x un réel tel que cos x ≠ 0

1- Démontrer que ^{3−2 2 =}

(

^{1− 2}

)

^2et

x ₂x

2

cos tan 1

1

+ =

2- Résoudre dans R, l’équation

( ) ⁰

2 1 2 2

2

x²− + x+ =

3- Résoudre dans [0, 2π[, l’équation

2 0 cos 2 ) 1 2 tan (

1 2

2 − + + =

+ x

x

Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique.

EXERCICE 4 : Soit P la fonction polynôme définie par :

^{P x} ( ) ^{= 4 x}

³

^{− − 3 x 1}

^.

1-a) Caluler P(1), puis écrire P(x) sous forme de produit de binômes du premier degré.

b) Résoudre dans R l’équation : P(x) = 0.

2-Soit l’équation (E₀) :

( ^{4 cos}

³

^{x − 3cos x − 1 sin} ) ( ^{x + 3 cos x + 2} ) ^{= 0}

^.

a) Considérons l’équation

( ) ^E

¹

^{: sin x + 3 cos x + 2 = 0}

^.

i- Montrer que :

( )

¹

^{2 cos 2}

E _⇔ ^ x ₋ π 6 ^ _{= −}

 

 

.

ii- Résoudre dans R, l’équation (E₁).

iii- En déduire la résolution dans

[ ^{0; 2 π} ]

^de

l’inéquation (I) :

2 cos 2

x π 6

 

− ≥ −

 

 

.

b) Considérons l’équation

( ) ( ^E

²

^{: P cos x} ) ^{= 0}

^.

i- En déduire de la question 1-b), la solution dans

] ^{− π π ;} ]

de l’équation (E₂).

ii- Placer les points images des solutions de (E2) sur le cercle trigonométrique.

c) Déduire dans R, la solution de l’équation (E0).

EXERCICE 5 :

Soit

^{A x} ( ) ^{= 2cos}

²

^x ₃ ^{− 2 3 sin x} ₃ ^{cos x} ₃ ^{− 1}

^.

a) Montrer que :

^{A x} ( )

⁼

^{- 3sin 2x} ₃ ^{+cos 2x} ₃

. b) Mettre

^{A x} ( )

sous la forme

^acos ( ^2x 3

⁺

^b )

^{où a et}

b sont deux réels à déterminer.

3-Résoudre alors dans R l’équation

^{A x =1} ( )

^{, et}

représenter les points images des solutions sur le

cercle trigonométrique.

EXERCICE 6:

Choisir la bonne réponse i-La fonction

[ ]

1 1

; 2 :

−

→

−

x x

R f

a , admet pour

ensemble de définition,

a)

[ ]

−

^{2 ; 1}

^{. b)}

[

−

^{2 ;}

−

¹ ]

∪

{} ¹

^{. c)}

[

−

1 ;

+∞

[

. ii-La fonction g définie par :

( )

2 +1

= − x

x x x

g , est :

a) paire. b) impaire. c) ni paire, ni impaire.

iii-La fonction

4 :

2 −

→ ₊ x x

R R h

a ^{, est}

a) injective. b) surjective. c) bijective.

iv- 3

cos202π est égal à : a) 2

3 . b) 2 1. c)

2

−1. v-On considère les fonctions f et g définies par :

( )

2

1 f x 1

= x

+ ^{et g x}

( )

^{= −x}.L’ensemble de définition de la fonction composée f og _{est :}

a) ^R

^{\ 1} { }

^b)

[ ^0;

^+∞

[

c)

]

^−∞

^{; 0} ]

^.