15 Février 2008. NOM : Mathématiques. 1S2.
SANS CALCULATRICE.
I. Compléter le tableau suivant :
x π/6 π/4 π/3 π/2 −2π/3 3π/4 −5π/6 π 7π/4 26π/3 19π/6 sinx
cosx
II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x :
cos(−x) = cos(π − x) = cos(π + x) = cos(−π − x) = sin(−x) = sin(π − x) = sin(π + x) = sin(−π − x) =
cos(π
2 − x) = cos(π
2 + x) = cos(x −π
2 ) = cos(−π
2 − x) = sin(π
2 − x) = sin(π
2 + x) = sin(x − π
2 ) = sin(−π
2 − x) =
III. x est un réel tel que π/2 < x < π et sin x = 3/5. Déterminer cos x.
IV. Dans (O ; i→; j→) orthonormé positif, v→, w→ et t→ sont trois vecteurs normés tels que : (v→ ; i→) = π
2 +2kπ , (v→ ;w→) = π
4 +2kπ et ( t→ ; i→) = 5π 4 +2kπ.
1. Déterminer la mesure principale de : a. (2v→ ; −w→)
b. (−3 t→ ; i→)
2. Montrer que w→ et t→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que w→ = a t→.
V. Dans chacun des cas suivant, trouver un réel a tel que : 1. cos a = - cos(π/3)
sin a = sin(π/3) 2.
cos a = - cos(π/4) sin a = -sin(π/4) 3.
cos a = cos(π/6)
sin a = -sin(π/6) 4.
cos a = - sin(π/6) sin a = cos(π/6) VI. Dans (O ; i→ ; j→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(2 ; 5π/6) et B(3 ; −5π/4).
2. Déterminer les coordonnées polaires de C(− 2 4 ; − 2
4 ) et D(1 ; − 3)
3. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires du point D’ tel que OD'→ soit le vecteur directement orthogonal à OD→ .
VII. Calculer A = sin π
12 + sin 5π
12 + sin -7π
12 + sin 13π 12
VIII. Résoudre, dans l’intervalle ]−π; π] l’équation cos 2x = ½ et placer les points images des solutions sur un cercle trigonométrique.
15 Février 2008. Corrigé.
I. Compléter le tableau suivant :
Placer les points images sur un cercle trigonométrique et lire les coordonnées …
x π/6 π/4 π/3 π/2 −2π/3 3π/4 −5π/6 π 7π/4 26π/3 19π/6 sinx ½ 2/2 3/2 1 − 3/2 2/2 −1/2 0 − 2/2 3/2 −1/2 cosx 3/2 2/2 1/2 0 −1/2 − 2/2 − 3/2 1 − 2/2 −1/2 − 2/2 avec : 26π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 4×2π + 2π/3 et 19π/6 = 24π/6 − 5π/6 = 2× 2π− 5π/6 II. Ecrire en fonction de sin x ou cos x : Voir cours … « arcs associés »
Placer sur un cercle trigonométrique le point image d’un réel x Placer les points images des réels dont on cherche les sinus et cosinus et lire les coordonnées …
III. x est un réel tel que ππππ/2 < x < ππππ et sin x = 3/5. Déterminer cos x.
On sait que cos²x + sin²x = 1 donc cos²x = 1 − 9/25 = 16/25
on a alors cos x = 4/5 ou cos x = −4/5 mais π/2 < x < π donc cos x < 0 d’où cos x = −4/5
IV. Dans (O ; i→→→→; j→→→→) orthonormé positif, v→→→→, w→→→→ et t→→→→ sont trois vecteurs normés tels que : (v→→→→ ; i→→→→) = ππππ
2 +2kππππ , (v→→→→ ;w→→→→) = ππππ
4 +2kππππ et ( t→→→→ ; i→→→→) = 5ππππ
4 +2kππππ. 1. Déterminer la mesure principale de :
a. (2v→ ; −w→) a pour mesure principale −3π/4
en effet : (2v→ ; −w→) = (v→ ; −w→) + 2kπ = (v→ ; w→) −π + 2kπ = π/4 −π + 2kπ = −3π/4 + 2kπ b. (−3 t→ ; i→) a pour mesure principale π/4
en effet : (−3 t→ ; i→) = (−→t ; i→) + 2kπ = ( t→ ; i→) − π + 2kπ = 5π/4 − π + 2kπ = π/4 + 2kπ
2. Montrer que w→→→→ et t→→→→ sont colinéaires et déterminer le réel a tel que w→→→→ = a t→→→→. ( t→ ; w→) = ( t→ ; i→) + ( i→ ; v→) + (v→ ; w→) + 2kπ
= ( t→ ; i→) − (v→ ; i→) + (v→ ; w→) + 2kπ = 5π/4 − π/2 + π/4 + 2kπ = π + 2kπ
le calcul précédent prouve que t→ et w→ sont colinéaires et de sens contraires donc w→ = a t→ avec a < 0 l’énoncé nous dit que w→ et t→ sont normés donc yw→y = y t→y = 1 d’où a = −1
V. Dans chacun des cas suivant, trouver un réel a tel que : voir les formules « des arcs associés » au II.
1. cos a = - cos(π/3)
sin a = sin(π/3) a = π − π/3 = 2π/3
2. cos a = - cos(π/4)
sin a = -sin(π/4) a = π/4 −π = −3π/4
3. cos a = cos(π/6)
sin a = -sin(π/6) a = −π/6
4. cos a = - sin(π/6)
sin a = cos(π/6) a = π/2 + π/6 = 2π/3
VI. Dans (O ; i→→→→ ; j→→→→) orthonormé positif :
1. Déterminer des coordonnées cartésiennes de A(2 ; 5ππππ/6) et B(3 ; −−−−5ππππ/4).
xA = 2 cos 5π/6 = 2(- 3/2) = - 3
yA = 2 sin 5π/6 = 2(1/2) = 1
xB = 3 cos -5π/4 = 3(- 2/2) = -3 2/2 yB = 3 sin -5π/4 = 3( 2/2) =3 2/2
2. Déterminer les coordonnées polaires de C(−−−− 2
4 ; −−−− 2
4 ) et D(1 ; −−−− 3) Les coordonnées polaires de C sont OC et une mesure α de ( i→ ; OC→ )
OC = 2/16 + 2/16 = ½ donc
cos α = - 2/2
sin α = - 2/2 d’où α = −3π/4
Les coordonnées polaires de D sont OD et une mesure β de ( i→ ; OD→ ) OD = 1 + 3 = 2 donc
cos β = 1/2
sin β = - 3/2 d’où α = −π/3
3. Coordonnées cartésiennes et polaires du point D’ tel que OD'→→→→ soit le vecteur directement orthogonal à OD→→→→ . cours : v→ (−b ; a) est le vecteur directement orthogonal à u→ (a ; b)
OD→ (1 ; − 3) donc le vecteur OD'→ et donc le point D ont pour coordonnées cartésiennes ( 3 ; 1) OD’ = OD = 2 et (OD→ ; OD'→ ) = π/2
donc ( i→ ; OD'→ ) = ( i→ ; OD→ ) + (OD→ ;OD'→ ) + 2kπ
= β + π/2 + 2kπ
= −π/3 + π/2 + 2kπ = π/6 + 2kπ D a donc pour coordonnées polaires 2 et π/6
VII. Calculer A = sin ππππ
12 + sin 5ππππ
12 + sin -7ππππ
12 + sin 13ππππ
12 voir “arcs associés”
A = sin π
12 + sin 5π
12 + sin -7π
12 + sin 13π 12
= sin(π/12) + sin(π/2 − π/12) + sin(−π/2 − π/12) + sin(π + π/12) = sin(π/12) + cos(π/12) − cos(π/12) − sin(π/12) = 0
VIII. Résoudre, dans l’intervalle ]−−−−ππππ; ππππ] l’équation cos 2x = ½ et placer les points images des solutions sur un cercle trigonométrique.
cos 2x = ½ ⇔ cos 2x = cos π/3 ⇔ 2x = π/3 + 2kπ OU 2x = −π/3 + 2kπ ⇔ x = π/6 + kπ OU x = −π/6 + kπ
L’équation a une infinité de solutions {π/6 + kπ ; −π/6 + kπ } avec k entier relatif
les réels π/6 + kπ ont deux points images (diamétralement opposés) sur le cercle trigonométrique les réels −π/6 + kπ ont deux points images (diamétralement opposés) sur le cercle trigonométrique
