LYCÉE ALFRED KASTLER 2nde 2012–2013 Devoir surveillé n◦09 – mathématiques
Correction Exercice 1
1. (a) La proportion estp= 20
100 = 0,2.
(b) La taille de l’échantillon estn= 100.
(c) La fréquence observée est f = 28
100 = 0,28.
2. Les conditions pour utiliser l’intervalle de fluctuation sont : – le nombre nest supérieur à25. Orn= 100>25.
– la proportion pest telle que0,26p60,8. Orp= 0,2, donc on a bien 0,26p60,8.
Ainsi les conditions sont bien remplies.
3. L’intervalle de fluctuation lié à la proportionpest :
p− 1
√n;p+ 1
√n
=
0,2− 1
√
100; 0,2 + 1
√ 100
= [0,2−0,1; 0,2 + 0,1]
= [0,1; 0,3]
4. Puisquef = 0,28 et0,28∈[0,1; 0,3], il n’est pas nécessaire de programmer une révision des machines.
Exercice 2
1. L’aire d’un rectangle est donnée par la formule : Largeur×longueur.
Or d’après la figure, la longueur du rectangle grisé est x, et sa largeur est4−x.
On a donc bien A(x) =x×(4−x) =x(4−x).
2. On développe :A(x) =x(4−x) =x×4 +x×(−x) = 4x−x2 =−x2+ 4x.
Ainsi, A(x) est de la forme ax2+bx+c aveca=−16= 0,b= 4 etc= 0.
A est bien une fonction polynomiale de degré 2.
3. Puisquea=−1<0, les branches sont vers le bas.
L’abscisse du sommet est :x=− b
2a =− 4
2×(−1) = 2 Par suite,A(2) = 2×(4−2) = 2×2 = 4.
De plus,A(0) =A(4) = 0(immédiat avec l’expression factorisée).
On obtient alors le tableau de variations suivant : x
variations de A
0 2 4
0 0
4 4
0 0
4. D’après le tableau de variations, on observe que la valeur de x pour laquelle l’aire du rectangle est maximale estx= 2.
L’aire qui correspond est alorsA(2) = 4, soit4 cm2. Exercice 3
1. Exécution de l’algorithme :
n= 15 i=i+ 1 = 2 c= 9615 =ndonc : i= 1 c=i2 = 22 = 4 afficher9
c=i2 = 1 c= 4615 =ndonc : i=i+ 1 = 4 Début Tant que afficher4 c=i2 = 42 = 16 c= 1615 =ndonc : i=i+ 1 = 3 c= 166615 =n
afficher 1 c=i2 = 32 = 9 FinTant
2. Les valeursc qu’affiche l’algorithme sont les carrés (d’entiers) inférieurs à l’entierndonné.
3. Il y a plusieurs algorithmes possibles : Saisir n
iprend la valeur 1 c prend la valeuri2 Tant quei6n Faire
afficherc
iprend la valeuri+ 1 cprend la valeur i2 FinTant
Saisir n
iprend la valeur 1 Tant quei6nFaire
afficheri2
iprend la valeuri+ 1 FinTant
Saisir n
Pour iallant de1 àn Faire afficheri2
FinPour
Exercice 4 (Pour les élèves s’orientant en 1èreS) 1. On a−−→
AB(xB−xA;yB−yA), donc−−→
AB(5−2;−1−1), soit −−→
AB(3;−2).
2. On calcule l’expression :xy0−x0y= 1×(−2)−3×2 =−2−6 =−86= 0.
Donc −→u et−−→
AB ne sont pas colinéaires.
3. On a3−→u(3×1; 3×2), soit 3−→u(3; 6).
On a aussi −→
AC(xC−xA;yC −yA), soit −→
AC(xC −2;yC −1).
Or −→
AC= 3−→u. Donc xC−2 = 3 etyC−1 = 6. Autrement dit,xC = 3 + 2 = 5etyC = 6 + 1 = 7.
Finalement, C(5; 7).
4. PuisqueD est tel que−→
AC+−−→ AB=−−→
AD, on en déduit queABDC est un parallélogramme, et par suite que −→
AC=−−→
BD(faire une figure !).
Or −→
AC= 3−→u, donc −→
AC =−−→
BD et−→u sont colinéaires.
Exercice 4 (Pour les élèves ne s’orientant pas en 1èreS)
1. Dest la courbe représentative de f qui est une fonction affine (f(x)est de la formef(x) =ax+bavec a= 2etb=−1).
Or la représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Donc Dest une droite.
2. Pour déterminer une équation de la droite(AB), on peut utiliser la formule suivante pour déterminer son coefficient directeur a:
a= yB−yA
xB−xA = −1−1 5−2 = −2
3 Par suite, l’équation de (AB) est de la forme y= −2
3 x+b.
Pour déterminer b on utilise le fait queA(2; 1)∈(AB).
On a donc : 1 = −2
3 ×2 +b⇔b=· · ·= 1 +4 3 = 7
3. Finalement,
(AB) :y= −2 3 x+ 7
3 3. Le coefficient directeur de(AB) est −2
3 , celui de Dest 2.
Comme ces coefficients directeurs sont différents, les deux droites sont sécantes (propriété du cours).
4. Une droite parallèle àDa un coefficient directeur identique à celui de D, à savoir2.
La droite a donc pour équationy = 2x+b, où best une constante à déterminer.
Puisque la droite passe parA(2; 1), on a :1 = 2×2 +b⇔b= 1−4 =−3.
Finalement, la droite a pour équation y= 2x−3.
