CAPES épreuve 2 session 2011

A.P.M.

ndésigne un entier naturel non nul.

Ce problème a pour objet de démontrer que tout compact deRⁿd’intérieur non vide est inclus dans un unique ellipsoïde de volume minimal.

La partie I est indépendante du reste du problème.

Notations et définitions

◦ M_n,p(R) : ensemble des matrices àn lignes et àp colonnes, à coefficients dansR, et on identifieraM_n,1(R) àRⁿ.

◦ M_n(R) : ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes, à coefficients dansR.

◦ GLn(R) : ensemble des matrices inversibles deM_n(R).

◦ Si n etp sont deux entiers naturels non nuls, 0n,p désigne la matrice de M_n(R) dont tous les coefficients sont nuls.

◦ PourM=¡ mi j

¢16i6n 16j6n

∈M_n(R) etk∈{1, ... ,n}, on noteMkla matrice

¡mi j¢

16i6k 16j6k

∈M_k(R).

◦ S_n(R) : ensemble des matricesM∈M_n(R) symétriques, c’est-à-dire telles que^tM=M.

◦ On rappelle qu’une matriceMdeS_n(R) est symétrique positive lorsque pour toutX∈M_n,1(R),^tX M X2>0.

On noteraS+

n (R) l’ensemble de ces matrices.

◦ On rappelle qu’une matriceMdeS_n(R) est symétrique définie positive lorsque pour toutX ∈M_n,1(R)\{00,1},^tX M X >0. On noteraS++

n (R) l’ensemble de ces matrices.

◦ On dit qu’une partieǫdeM_n,1(R) (ou deRⁿ) est unellipsoïde, s’il existeA∈ S++

n (R) telle que

ǫ=©

X∈M_n,1(R)^tX AX61.ª PourA∈S++

n (R), l’ellipsoïde©

X∈M_n,1(R)/^tX AX61ª

sera notéǫA.

1 Partie 1 : cas d’un triangle équilatéral

On se place dans le plan affine euclidien orientéP.

Cette partie a pour objet de démontrer l’existence et l’unicité d’une ellipse d’aire minimale circonscrite à un triangle équilatéral.

Le terme ellipse désigne une courbe bornée admettant dans un repère une équation du typeax²+by²+2cx y+d x+e y+f =0 avec (a,b,c,d,e,f)∈R⁶tel que

(a,b,c)6=(0, 0, 0).

1. Étant donné un repère orthonormal direct³ O,→−

ı ,−→

 ´

, on considère les points :

I(1 ; 0), J Ã

−1 2;

p3 2

! etK

Ã

−1 2;−

p3 2

! . a. Soitǫune ellipse de centreOet d’équation

ax²+by²+2cx y+d x+e y+f =0 dans le repère³ O,−→

ı ,−→

´ . Montrer qued=e=0.

b. Montrer que le cercle circonscrit àI J K est l’unique ellipse de centre O contenant les pointsI,JetK.

2. SoitABCun triangle équilatéral etRle rayon de son cercle circonscrit. Expri- mer l’aire du triangleABCen fonction deR.

3. Résoudre le système d’équations

½ cos(y−x) = cosx

cos(y−x) = cosy d’inconnue (x,y)∈R²telle que 0<x<y<2π.

4. SoitCun cercle de rayonR>0. On note O son centre.

a. Étant donné un repère orthonormal direct³ O,→−

ı ,−→

 ´

, on considère les pointsA(R; 0),B(Rcosβ;RsinβetC(Rcosγ;Rsinγ), avec (β,γ)∈R² tel que 06_β6_γ6_2π.

i. Montrer que l’aire du triangleABC est R² 2

£sin(γ−β)−sinγ+sinβ¤ . Dans la suite, cette aire sera notéef(β,γ).

ii. Montrer quef admet un maximum atteint en un point¡

β00 ;γ0¢ tel que 0<γ0<γ0<2π.

iii. Déterminerβ0etγ0. Quelle est alors la nature du triangle obtenu ? b. Déterminer l’aire maximale d’un triangle inscrit dansC.

5. Démontrer que siCest un cercle d’aireA_Ccirconscrit à un triangleT d’aire A_T, alors A_C

A_T > ^4π 3p

3avec égalité si et seulement si le triangle est équilaté- ral.

6. Montrer que parmi les ellipses circonscrites au triangleI J K défini dans la question 1, il en existe une et une seule délimitant une surface d’aire mi- nimale.On rappelle que toute ellipse peut-être transformée en un cercle par une affinité orthogonale et qu’une affinité orthogonale conserve les rapports d’aires.

2 Partie II : étude de S

n

( R )

1. Montrer que siD∈M_n(R) est une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, alorsD∈S++

n (R).

2. SoitA∈S_n(R).

a. Montrer que, siA∈S++

n (R), alors les valeurs propres deAsont stricte- ment positives.

b. Énoncer le théorème permettant d’affirmer qu’il existe des matricesD diagonale etPorthogonale telles queA=^tP DP.

c. Montrer que, si les valeurs propres deAsont strictement positives, alors A∈S++

n (R).

3. Soit A∈M_n(R). Montrer que A∈S++

n (R) si et seulement si il existeQ ∈ GLn(R) telle queA=^tQQ.

4. SoitA∈S_n(R). Montrer que siA∈S++

n (R), alors det(A)>0.

La réciproque est-elle vraie ? 5. SoitA∈S++

n (R). Montrer que, pour toutk∈{1, ... ,n}, det (Ak)>0.

6. SoitA∈S_n+1(R) telle queAn∈S++

n (R). Montrer qu’il existeQ∈GLn(R), C∈M_n,1(R),α∈Rtels que

A= µ_t

Q 0_n,1 0_n,1 1

¶ µIn C

tC α

¶ µ Q 0_n,1 O1,n 1

¶

7. Etant donné un entier naturelmnon nul,α,α1, ... ,αmdésignentm+1 nombres réels. On considère la matriceMdeM_m

+1(R) définie par :

M=



















1 0 ··· 0 α1

0 ... ... ... ... ... ... ... 0 ...

0 ··· 0 1 αm

α1 ··· ··· αm α



















a. Démontrer par récurrence surmque det(M)=α−

m

X

i=1

α²_i.

b. PourX∈M_m,1(R), expliciter^tX M X en fonction des composantes deX et en déduire que si det(M)>0 alorsM∈S_m⁺⁺₊₁(R).

8. SoitA∈S_n(R). Montrer que si pour toutk∈{1, ... ,n} det(Ak)>0, alors A∈S++

n (R).

On pourra raisonner par récurrence sur n et utiliser les questions6. et7.

9. Montrer queS++

n (R) est un ouvert de l’ensembleS_n(R) muni d’une norme.

3 Partie III : inclusion d’un compact dans un ellipsoïde

III. 1 Réduction simultanée SoitA∈S++

n (R) etB∈S_n(R).

1. Montrer que l’applicationΦAqui à (X,Y)∈M_n,1(R)²associe ΦA(X,Y)=^tX AY est un produit scalaire surM_n,1(R).

2. Montrer que si les colonnes d’une matriceP∈Mn(R) forment une base or- thonormale deM_n,1(R) pourΦA, alors^tP AP=In.

3. Montrer que l’application f deM_n,1(R) dans lui-même qui, àX ∈M_n,1(R) associef(X)=A⁻¹B X est un endomorphisme deM_n,1(R), symétrique pour ΦA.

Quelle est la matrice def dans la base canonique deM_n,1(R) ?

4. En déduire qu’il existeQ∈GLn(R) etDune matrice diagonale telles que A=^tQQetB=^tQDQ.

Que représentent les coefficients diagonaux deD? 5. On suppose queB∈S_n⁺⁺+(R).

a. Montrer que siǫA⊂ǫBles valeurs propres de A⁻¹B sont inférieures ou égales à 1.

b. En déduire que siǫA=ǫBalorsA=B.

III. 2 Convexité

SoitEunR-espace vectoriel.

Siu1etu2sont deux éléments deE, le segment [u1;u2] est l’ensemble des vecteurs de la formet u1+(1−t)u2lorsquetdécrit [0 ; 1].

On rappelle qu’une partieCdeEest convexe lorsque, pour tout (u1,u2)∈C², [u1;u2]⊂ C.

Étant donnée une partieCdeE convexe, une applicationϕ:C→Rest dite stricte- ment convexe lorsque pour tout (u1,u2)∈C²tel queu16=u2et pour tout

t∈]0 ; 1[,ϕ(t u1+(1−t)u2)<tϕ(u1)+(1−t)ϕ(u2).

1. Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe.

2. On suppose de plusEnormé. On considère une partieCnon vide, convexe et compacte deEetϕ:C→Rune application strictement convexe et continue surC.

a. Montrer queϕadmet un minimum, atteint en un unique point.

b. Montrer queϕadmet un maximum. Sans justification, donner un exemple pour lequel ce maximum est atteint en une infinité de points.

III. 3 Volume d’un ellipsoïde

On admet qu’il existe une constantekn ne dépendant que den telle que, si A∈ S++

n (R), le volume deǫAest kn

pdet(A). On s’intéresse à la fonctionvdéfinie surS++

n (R) parv(A)= 1 det(A). 1. Déterminerk2etk3.

2. Montrer (sans considération de volume) que, siǫA⊂ǫB, alorsv(A)6v(B).

3. Montrer quevest continue surS++

n (R).

4. a. Montrer que, pour toutλ∈R^+∗et toutt∈]0 ; 1[,

ln(t+(1−t)λ)>(1−t)ln(λ). Montrer qu’il y a égalité si et seulement si λ=1.

On pourra, pour t fixé dans]0 ; 1[, étudier la fonctionψdéfinie surR^+∗

par :

ψ(λ)=ln(t+(1−t)λ)−(1−t)lnλ.

b. Montrer que, pour tout (a,b)∈R²et toutt∈[0 ; 1], e^{t a+(1−t)b}6te^a+(1−t)e^b.

c. i. Montrer queS++

n (R) est une partie convexe deM_n(R).

ii. SoientAetBappartenant àS++

n (R) ett∈R. En reprenant les nota- tions de III. 1. 4, exprimer det(A), det(B) et det(t A+(1−t)B) en fonc- tion de det(Q) et des coefficients diagonaux deD.

iii. Montrer quevest strictement convexe surS++

n (R).

5. SoientA∈S++

n (R) etM∈GLn(R).

On considère l’ensemble M(ǫA)={Y ∈M_n,1(R)/∃X ∈ǫA,Y =M X} qu’on pourra aussi écrire sous la forme {M X ; X ∈ǫA}. Montrer que M(ǫA) est un ellipsoïde ; déterminer la matrice symétrique définie positiveBtelle que M(ǫA)=ǫB. Donner une relation entre le volume deǫAet celui deM(ǫA).

III. Inclusion dans un ellipsoïde

On munitM_n,1(R) de la norme euclidienne usuelle etM_n(R) de la norme subordon- née :

siX∈M_n,1(R),kXk =p_t

X X et siA∈M_n(R),|||A||| =^supX6=0||AX||

||X|| .

On considère un compactKdeM_n,1(R) d’intérieur non vide. Il existe alorsX0∈Ket ǫun réel strictement positif tels que la boule ferméeB(X0,ǫ) soit incluse dansK.

1. SoitA∈S++

n (R) telle queK⊂ǫA.

a. Montrer queǫAest une partie convexe deM_n,1(R).

On pourra utiliser queX7→¡_t

X AX¢1/2

est une norme surM_n,1(R).

b. Montrer que siX∈ǫA, alors−X∈ǫA.

c. Montrer que pour toutX∈B(0,ǫ),X0+Xet−X0+X appartiennent àǫA

et en déduire queB(0,ǫ)∈ǫA.

d. Montrer que, siλest une valeur propre deA, alorsλ6 ¹ ǫ².

On pourra considérer un vecteur propre unitaire associé à la valeur propre λ.

e. Montrer que|||A|||6 ¹ ǫ².

2. Montrer qu’il existe un ellipsoïdeǫtel queK⊂ǫ.

Dans la suite, on fixeA₀∈S++

n (R) tel queK⊂ǫA0et on considère l’ensemble M={A∈S⁺_n(R)/det(A0) et∀X∈K, 06^tX AX61}

3. a. Montrer queMest inclus dansS++

n (R).

b. Montrer queMest borné.

c. Montrer queMest une partie fermée deSn(R).

d. Montrer queMest une partie convexe.

On pourra utiliser la convexité de v surS++

n (R)démontrée en III. 3. 4.

4. Montrer qu’il existe un unique ellipsoïdeǫde volume minimal contenant K.

5. On considère dansR²l’ensembleK={(x,y)∈R²/x∈[−1 ; 1]ety=0}.

a. Quel est l’intérieur deK?

b. Existe-t-il une ellipse d’aire minimale contenantK?