CAPES session 2015 Épreuve 1 Problème no 1

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A.P.M

CAPES session 2015 Épreuve 1 Problème n

^o

1

Notations

On noteCl’ensemble des nombres complexes.

La partie réelle du nombre complexezest notée Rez.

Le module du nombre complexezest noté|z|et on rappelle que, pour tout nombre complexez,|z|²=z×z.

Soientpetqdeux entiers relatifs tels quep6_{q, on note}_p,ql’ensemble des entiers relatifsktels quep6k6q.

Préambule

Ce problème est composé de trois parties.

La partie A généralise l’inégalité triangulaire dansCet son cas d’égalité.

La partie B est une application d’un résultat de la partie A à un problème d’optimi- sation.

La partie C est une application d’un résultat de la partie B a un problème de géomé- trie du triangle.

Partie A

On considère un entier naturelnnon nul.

I.

1. Justifier que pour tout nombre complexez, Rez6|z|et étudier le cas d’éga- lité.

2. Question de cours.- Démontrer que. pour tout couple (z1,z2) de nombres complexes,|z1+z2|6|z1| + |z2|.

3. On supposez1etz2sont des nombres complexes non nuls. Montrer que l’in- égalité précédente est une égalité si et seulement s’il existe un réel positifλ tel quez2=λz1. Interpréter ce résultat en termes d’argument.

II.

1. Démontrer que, pour toutn-uplet (z1,z2,... ,zn) de nombres complexes,

¯

n

X

k=1

zk

¯

¯ 6

n

X

k=1

|zk|.

2. Montrer que, siz1,z2,... ,znsont des nombres complexes tous non nuls, l’in- égalité précédente est une égalité si et seulement si

∀k∈J1,nK, λ_k∈R₊, zk=λ_kz₁. Interpréter ce résultat en termes d’arguments.

Partie B

On se place désormais dans le plan complexeP, d’origine O, Soit un entiern>_3.

On considèrenpointsA1,A2,... ,An, d’affixes respectivesz1,.z2,... ,zntels que :

(2)

(iv)

n

X

k=1

zk

|zk|=0.

I.Donner un exemple den-upletz1,.z2,... ,znvérifiant l’égalité précédente.

II.Pour toutk∈J1,nK, on poseuk= zk

|zk|. SoitMun point deP d’affixe z.

1. Vérifier que n n

n

X

k=1

uk(z−zk)= −

n

X

k=1

|zk|. 2. En déduire l’inégalité (⋆) ci-dessous :

n

X

k=1

(z−zk)>

n

X

k=1

|zk|. (⋆)

3. En utilisant la questionII. 2.de la partie A, démontrer que l’inégalité (est une égalité si et seulement si, pour toutk∈J1,nK,uk(z−zk) est un réel négatif.

4. En déduire que l’inégalité (⋆) est une égalité si et seulement siz=0.

5. Établir que la somme

n

X

k=1

M Akatteint son minimum en un unique pointM que l’on précisera.

Partie C

On se place toujours dans le plan complexeP. On considère trois points A,B,C d’affixes respectivesa,b,cet tels que :

• Les points A, B, C ne sont pas alignés.

• Chacun des angles³−−→

AB,−−→

AC´ ,³−−→

BC,−−→

B A´ ,³−−→

C A,−−→

C B´

possède une mesure appartenant à l’intervalle [0 ; 2π/3[.

Sur les côtés du triangle ABC, on construit vers l’extérieur trois triangles équilatéraux AC^′B,B A^′CetC B^′A. On nommea^′,b^′,c^′les affixes respectives des pointsA^′,B^′,C^′. I.Faire une figure et tracer les droites (A A^′), (BB^′) et (CC^′).

II.On admet que les droites (A A^′), (BB^′) et (CC^′) sont concourantes en un point Ωstrictement compris à l’intérieur du triangle ABC. En utilisant une rotation de centreAexprimerb^′en fonction deaetcetben fonction deaetc^′.

III.En déduire le module et un argument de b^′−b c−c^′. IV.Déterminer une mesure de chacun des angles³−−→

ΩB,−−→

ΩC´ ,³−−→

ΩC,−−→

ΩA´ et³−−→

ΩA,−−→

ΩB´ . V.Démontrer que

−−→ΩA ΩA +

−−→ΩB ΩB +

−−→ΩC ΩC =→−

0 .

VI.En utilisant les résultats de la partie B, établir que la somme

M A+MB+MCadmet son minimum en un unique point que l’on précisera.

(3)

Problème n

^o

2

Notations

On noteNl’ensemble des. entiers naturels etN∗l’ensemble des entiers naturels non nuls,

On noteRl’ensemble des nombres réels etR^∗₊l’intervalle ]0 ; +0∞[.

La partie imaginaire du nombre complexezest notée Imz.

Préambule

Dans tout le problème, les suites considérées sont à valeurs réelles.

La partie A aborde la convergence des suites monotones et aboutit à quelques résul- tats sur la série harmonique.

Les parties B et C envisagent l’étude de la convergence au sens de CESÀRO et son lien avec la convergence au sens usuel,

Partie A

I. Questions de cours

1. Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et non majorée, alors elle diverge vers+∞.

2. Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et majorée alors. elle converge.

3. Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite décroissante soit convergente.

II.On considère la suite définie pour tout entier natureln>1 par an=

n

X

k=1

1 k.

1. Donner une interprétation graphique deanà partir de la représentation graphique de la fonction inverse sur l’intervalle [1 ;n+1].

2. a. Démontrer que, pour tout entiern>1, a_2n−an>¹

2. b. La suite (un)n>1est-elle convergente ?

3. Recherche d’un équivalent deanau voisinage de+∞.

a. Démontrer que, pour tout entier naturelknon nul, 1

k+16 Z_k+1

k

1 t dt6¹

k.

b. En déduire que, pour tout entier natureln>1,an−16lnn6an. c. En déduire un équivalent deanau voisinage de+∞.

4. On pose, pour toutn>_1,_b_n=an lnn.

À l’aide des résultats des questionsII. 3. aetII. 3. b, démontrer que la suite (bn)n>1est convergente.

Partie B

À toute suite (un)_n>1on associe la suite (vn)_n>1définie. par

∀n>1, vn= 1 n

Xn k=1

uk.

(4)

1. Soit (un)_n_>₁une suite de limite nulle etǫ∈R^∗₊.

a. Montrer qu’il existenO∈N^∗tel que, pour toutn>_n₀ 1

n Ã_n

X0

k=1

uk

!

−ǫ6vn6¹ n

Ã_n X0

k=1

uk

! +ǫ. b. En déduire que la suite (vn)n>1converge vers 0.

2. Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la suite (u_{n n}_>₁converge vers un réelℓquelconque.

II.Application à la recherche d’un équivalent : On considère la suite définie par

x1=1 et ∀n∈N^∗, xn+1=xn(1+xn) 1+2xn

. 1. Montrer que pour toutn>2, 0<xn<1.

2. Montrer que la suite (xn)n>1est décroissante.

3. La suite (xn)n>1est-elle.convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

4. Vérifier que, pour toutn∈N^∗, 1 xn+1

− 1 xn

= 1 1+xn

. 5. Pour toutng eq sl ant1, on pose

un= 1 xn+1

− 1 xn

et vn=1 n

Ã n

X

k=1

uk

! . Montrer que (un)_n_>₁converge vers 1.

6. Exprimervnen fonction dexn+1etx1et en déduire un équivalent dexn au voisinage de+.

III.Soit (xn)_n_>₁une suite réelle.

1. On suppose que la suite (xn)n>1converge. Montrer que la suite (xn+1−xn)n>1

converge.

2. On suppose que la suite (xn+1−xn)_n_>₁converge vers un nombre réelℓ. a. Montrer que la suite³xn

n

´

n>1converge et préciser sa limite.

b. Étudier la convergence de la suite (xn)n>1dans le cas oùℓ6=0.

c. Dans le cas oùℓ=0, la suite (xn)_n_>₁est-elle nécessairement convergente ?

Partie C

I.Dans cette question, pourn>1, on poseun=(−1)ⁿetvn=1 n

Ã _n X

k=1

uk

! .

1. Étudier la convergence de la suite (vn)n>1.

2. Conclure quant à la validité de la réciproque de la proposition énoncée à la questionI. 2.de la partie B.

(5)

II.Soitαun nombre réel. Dans cette question, pourn>1, on pose

un=sinnα et vn=vn=1 n

Ã _n X

k=1

uk

! .

1. Étudier Ia.nature des suites (un)n>1et (vn)n>1lorsqueα≡0 (modπ), 2. Pourn>1, on posecn=cosnα.

Exprimerun+2−unen fonction decn+1etun+2+unen fonction deun+1. 3. On suppose dans cette question queα6=0 (modπ).

a. On fait l’hypothèse que la suite (un)n>1converge. En utilisant les deux relations établies à la questionII. 2., démontrer qu’alors la suite (cn)n>1

converge également et préciser les limites des suites (un)n>1et (cn)n>1. b. Conclure quant à la convergence de la suite (un)n>1.

c. En remarquant que sinkα=Im¡ e^ik^α¢

, montrer que la suite (vn)n>1converge et donner la valeur de sa limite.

III.Dans cette question, on suppose que. la suite (un)n>1est croissante et que la suite (vn)n>1converge.

1. Démontrer, pour toutn>1, l’inégalité

nun+16 X2n k=n+1

uk. 2. En déduire que, pour toutn>1, un+12v_2n−vn.

3. Établir la convergence de la suite (un)n>1et préciser sa limite.

4. Énoncer la propriété ainsi démontrée sous la forme d’une condition néces- saire et suffisante.