[ CAPES Concours externe et CAFEP session 2017 \ Épreuve 1

A.P.M

[ CAPES Concours externe et CAFEP session 2017 \ Épreuve 1

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants

Problème n

1

Notations

Zdésigne des entiers relatifs etRl’ensemble des nombres réels.

Le planR² est muni de sa structure usuelle de plan euclidien. La distance eucli- dienne surR²est notéed.

Les éléments deR²sont représentés par des vecteurs colonnes à 2 lignes. On note

O= µ0

0

¶

e1= µ1

0

¶

e2= µ0

1

¶

On appelle réseau l’ensembleZ², inclus dans le planR². On le noteR. Le schéma ci-dessous représente une partie du réseauR.

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb

Partie A : Z -bases du réseau

SoientB=¡ e^′₁,e^′₂¢

une famille de deux vecteurs deR². On dit queBest uneZ-base deRsi :

— e^′₁,e^′₂∈R

— Tout élémentXdeRs’écrit de façon uniqueX=ae^′₁+be^′₂, aveca,b∈Z.

I.SoitC=(e1,e2) la base canonique deR². Montrer queCest uneZ-base deR. II.Soiente^′₁=

µa1

b1

¶ ete^′₂=

µa2

b2

¶

deux vecteurs deR². On note :

A=

µa1 a2

b1 b2

¶

1. SoitX∈R²etx,y∈R. Montrer queX=xe^′₁+ye^′₂si, et seulement si,

X=A µx

y

¶ .

a. Montrer que (a1,a2,b1,b2)∈Z⁴. b. Montrer qu’il existe¡

x1,x2,y1,y2¢

∈Z⁴tels que

x1e^′₁+y1e^′₂=e1 x2e^′₁+y2e^′₂=e2.

c. SoitB=

µx1 x2

y1 y2

¶

. Montrer queAB=I2. d. En déduire que det(A)∈{−1 ; 1}.

3. On suppose dans cette question que (a1,a2,b1,b2)∈Z⁴et que det(A)∈{−1 ; 1}.

a. Montrer queAest une matrice inversible et que les coefficients deA⁻¹ sont tous des entiers relatifs.

b. Montrer que¡ e^′₁,e₂^′¢

est uneZ-base deR. 4. Conclure.

III.Soite₁^′= µa1

b1

¶

un vecteur deR.

1. Montrer que sie₁^′ est le premier vecteur d’uneZ-base deR, alorsa1etb1

sont premiers entre eux.

2. Réciproquement, montrer que si a1etb1 sont premiers entre eux, alors il existe un vecteure^′₂deRtel que¡

e^′₁,e^′₂¢

soit uneZ-base deR.

3. Donner uneZ-base deRdont le premier vecteur est µ7

10

¶ .

Partie B : transformations linéaires du réseau

Soitf :R²7−→R²une application linéaire. Sa matrice dans la baseC=(e1,e2) deR² est notéeA.

I.Montrer que f(R)⊆Rsi, et seulement si, les coefficients deAsont tous des en- tiers relatifs.

II.On suppose dans cette question quef(R)=R.

1. Montrer que Imf contient deux vecteurs linéairement indépendants.

2. En déduire quef est surjective, puis bijective.

3. Montrer quef⁻¹(R)⊆R.

4. Justifier que Aest inversible et que les coefficients deA⁻¹sont tous des en- tiers relatifs.

5. Montrer que det(A)∈{−1 ; 1}.

III.On suppose dans cette question que les coefficients deAsont des entiers relatifs et que det(A)∈{−1 ; 1}.

1. En utilisant les résultats de la partie A., montrer que¡

f(e1) , f(e2)¢ est une Z-base deR.

2. En déduire quef(R)=R. IV.Conclure.

Partie C : isométries du réseau

SoitGl’ensemble des isométries affinesf deR²telles quef(R)=Ret soitG0l’en- semble des élémentsf deGtels quef(O)=O.

I.Montrer queG, muni de la loi de composition des applications, est un groupe et queG0est un sous-groupe deG.

II.Soitf ∈G0. On remarque qu’alorsf est une application linéaire et que les résul- tats de la partie B. s’appliquent. Soit Ala matrice def dans la base canonique de R².

1. Déterminer tous les pointsXdeRsitués à la distance 1 deO.

2. Montrer quef(e1) etf(e2) appartiennent à l’ensemble

½µ1 0

¶ ,

µ−1 0

¶ ,

µ0 1

¶ ,

µ0

−1

¶¾ .

3. Montrer queAappartient à l’ensemble

H=









 µ1 0

0 1

¶ ,

µ−1 0

0 1

¶ ,

µ1 0 0 −1

¶ ,

µ−1 0 0 −1

¶ , µ0 1

1 0

¶ ,

µ0 −1

1 0

¶ ,

µ0 1

−1 0

¶ ,

µ0 −1

−1 0

¶











III.Soients1ets2les applications linéaires de matrices respectives dans la baseC

A1= µ0 1

1 0

¶

A2= µ−1 0

0 1

¶ .

1. Décrire la nature géométrique des1ets2.

2. Décrire la nature géométrique des1◦s2et des2◦s1et donner leurs matrices dans la base canonique.

3. Montrer ques1ets2sont des éléments deG0.

4. En déduire que, si la matrice dans la base canonique d’une application li- néairef deR²dansR²est dansH, alorsf est un élément deG0.

IV.Donner tous les éléments deG0. V.Soittla translation de vecteur

µx y

¶

. Montrer quet∈Gsi, et seulement si, µx

y

¶

∈R. VI.Soitf ∈Get soitt^′la translation de vecteur−f(O). Montrer quet^′est un élément deGet queg=t^′◦f est un élément deG0·

VII.Montrer que tout élément f deGs’écrit de façon uniquef =t◦g, avectune translation de vecteur dansRetgun élément deG0.

Partie D : un pavage du plan On noteTla surface délimitée par le triangle deR²de sommets

µ0 0

¶ µ1 2

0

¶ µ1 21 2

¶

et on noteCla surface délimitée par le carré de sommets

µ₁

21 2

¶ µ

−¹₂

1 2

¶ µ

−¹₂

−¹₂

¶ µ ₁

2

−¹₂

¶ .

0,5

−0,5

0,5

−0,5 O

I.

1. Justifier que

C= [

g∈G0

g(T).

2. Montrer que, sig1etg2sont deux éléments distincts deG0, alors l’intersec- tion des trianglesg1(T) etg2(T) est, soit un segment, soit un point.

II.Pour toutX∈R², on notetXla translation de vecteurX. 1. Justifier que

R²= [

X∈R

tX(C).

2. Montrer que siXetY sont deux éléments distincts deR, alors l’intersection des carréstX(C) ettY(C) est, soit un segment, soit un point, soit l’ensemble vide.

III.

1. Justifier que

R²= [

f∈G0

f(T).

2. Montrer que sif1etf2sont deux éléments distincts deG, alors l’intersection des trianglesf1(T) etf2(T) est, soit un segment, soit un point, soit l’ensemble vide.

Partie E : un sous-groupe et deux frises I.Soitkun entier relatif. On considère les applications

tk:







R² → R² µx

y

¶ 7−→

µx+k y

¶ sk:







R² → R² µx

y

¶ 7−→

µ−x+k

−y

¶

1. Quelle est la nature géométrique detketsk?

2. Soitketldeux entiers relatifs. Décriretk◦sl,sk◦tl,sk◦sl, ettk◦tl. II.SoitH={tk,sk|k∈Z}.

Montrer queHest un sous-groupe deG.

III.On considère l’ensemble

F= [

f∈H

f(T),

oùT est le triangle défini dans la section D. Décrire l’ensembleF.

0,5

−0,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

−0,5 0 0,5

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Montrer que le groupe des isométries qui conservent cette frise est un sous-groupe deGqu’on décrira.

Problème n

2

Notations

Rdésigne l’ensemble des nombres réels.

Dans ce problème, on cherche à déterminer les applicationsf définies sur ]0 ;+∞[

et à valeurs dans ]0 ;+∞[ qui vérifient les deux propriétés suivantes : (a)Pour tous nombres réels strictement positifsxety,

f(x f(y))=y f(x).

(b)f est bornée sur ]1 ;+∞[ : il existe un nombre réelAtel que pour tout nombre réelx>_1,f(x)6_A.

I.SoitIun intervalle deRet soitϕune application définie surIet à valeurs dansI.

On dit queϕest une involution deIsi pour tout nombre réelxdansI,

ϕ(ϕ(x))=x.

1. Donner un exemple d’involution deRdansRautre que l’identité.

2. Donner un exemple d’involution de ]0 ;+∞[ dans v autre que l’identité.

3. Montrer qu’une involution deIdansIest bijective.

II.Soitf une fonction vérifiant les conditions(a)et(b).

1. Soit deux nombres réels y1,y2 strictement positifs tels que f(y1)= f(y2).

Montrer quey1f(1)=y2f(1).

2. Montrer quef est injective.

3. Montrer quef(f(1))=f(1) puis quef(1)=1.

4. Montrer quef est une involution de ]0 ;+∞[.

5. Soientaetbdeux réels strictement positifs. Montrer quef(ab)=f(a)f(b).

Indication : on pourra posery=f(b).

III.On noteFl’ensemble des points fixes def : F=©

x∈]0 ;+∞[,f(x)=xª .

1. Montrer que pour toutx∈]0 ;+∞[,x f(x)∈F.

2. Montrer que 1∈F.

3. Montrer que sixety sont des éléments deF, alorsx yet x

y sont également des éléments deF.

4. Montrer que sixest un élément deF, alors pour tout entier natureln, xⁿest un élément deF.

5. Montrer que sixest un élément deF, alorsx61.

Indication : on pourra considérer la suite (xⁿ)n>0. 6. Montrer queF={1}.

7. En déduiref.

IV.Donner toutes les applications répondant au problème posé.