[ CAPES Concours externe session 2018 Option mathématiques \ Épreuve 1

A.P.M

[ CAPES Concours externe session 2018 Option mathématiques \ Épreuve 1

Le sujet comporte cinq parties

Notations

Ndésigne l’ensemble des entiers naturels etN^∗l’ensemble des entiers naturels non nuls.

Pourmetndeux entiers naturels,Jm;nKdésigne l’ensemble des naturelsktels quem6_k6_n.

Zdésigne l’ensemble des entiers relatifs.

Qdésigne l’ensemble des nombres rationnels.

Rdésigne l’ensemble des nombres réels.

On note e le nombre exp(1), image de 1 par la fonction exponentielle.

On rappelle que, pour tout nombre réelx, il existe un unique entier relatifE(x) tel que E(x)6x<E(x)+1. Cet entierE(x) est appelépartie entière de x.

Partie A : suites adjacentes

Étant données deux suites réelles (an)n∈Net (bn)n∈N, on rappelle qu’elles sont dites adjacentes si l’une des deux est croissante, l’autre décroissante et si lim

n→+∞(an−bn)=0.

IOn suppose dans cette question que la suite (an)_n∈Nest croissante et que la suite (bn)_n∈Nest dé- croissante.

1. Montrer que la suite (an−bn)n∈Nest monotone et en déduire que pour tout entier natureln, an6bn.

2. Justifier que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nsont convergentes vers une même limiteℓvérifiant :

∀n∈N, an6^ℓ6bn.

3. On suppose de plus les suites (an)_n∈Net (bn)_n∈Nstrictement monotones. Montrer que :

∀n∈N, an<ℓ<bn.

II.Pour tout entier naturelnnon nul, on posean=

n

X

p=0

1

p! etbn=an+ 1 n×n!. 1. Montrer que les suites (an)_n∈N∗et (bn)_n∈N∗sont adjacentes.

2. Démontrer que pour tout entier naturelnnon nul, e−an= 1 n!

Z₁

0 (1−t)ⁿe^tdt.

Indication :on pourra procéder par récurrence.

3. En déduire que pour tout entier naturelnnon nul, 0<e−an< 1 n×n!. En déduire la limite de la suite (an)_n∈N∗.

Indication :on pourra étudier les variation de la fonctiont7−→(1−t)e^t.

4. En déduire une valeur dentelle queansoit une valeur approchée de e à 10⁻⁵près.

5. On suppose que e est un nombre rationnel.

a. Montrer qu’il existe un entier naturel non nulqtel que le nombre eq! soit un entier naturel.

b. Montrer quex=q!

à e−

q

X

p=0

1 p!

!

est un entier naturel.

c. Montrer que 0<x<1.

d. Conclure.

Soitf une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvertI contenant 0. On rappelle que f est ditedéveloppable en série entièreau voisinage de 0 s’il existe un nombre réelR>0 et une suite (an)n>0de nombres réels tels que ]−R;R[ est inclus dansIet :

∀x∈]−R;R[, f(x)=

+∞

X

n=0

anxⁿ.

III.

1. Démontrer que la fonctionx7−→ 1

1+xest développable en série entière au voisinage de 0.

Préciser son développement et donner le rayon de convergence de cette série entière.

2. Justifier que, pour tout nombre réelxdans l’intervalle ]−1 ; 1[, ln(1+x)=

+∞

X

k=0

(−1)^kx^k+1 k+1. On énoncera avec soin le théorème utilisé.

3. Pourx∈[0 ; 1] etn∈N, on poseSn(x)=

n

X

k=0

(−1)^kx^k+1 k+1.

Démontrer que les deux suites (S2n(x))_n∈Net (S2n+1(x))_n∈Nsont adjacentes.

4. En déduire que, pour tout entier naturelnet tout nombre réelxdans l’intervalle [0; 1[, S2n+1(x)6ln(1+x)6S2n(x).

5. En déduire que, pour tout entier natureln,

S2n+1(1)6_ln(2)6_S2n(1).

6. Démontrer que ln(2)=

+∞

X

k=0

(−1)^k k+1.

Partie B : écriture d’un entier en base deux

Le but de cette partie est de démontrer que tout entier naturelN supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique

N=

n−1

X

k=0

dk2^k avec n>_{2 et}

½ ∀k∈J0 ;n−1K, dk∈{0, 1}, dn−1=1.

L’égalité précédente se noteN =dn−1dn−2...d0(écriture deNen base deux) ; la suite finie (dk)₀6k6n−1

s’appelle la suite des chiffres dans l’écriture deNen base deux.

Dans toute cette partie,Ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

IV.On suppose queN=

n−1

X

k=0

dk2^kavec∀k∈J0 ;n−2K,dk∈{0, 1} et dn−1=1.

1. Montrer que 2ⁿ⁻¹6N62ⁿ−1.

3. Démontrer que la suite (d0,... ,dn−1) est déterminée de manière unique.

V.On définit deux suites d’entiers¡ yk

¢

k∈Net (dk)k∈Npary0=Net pour tout entier naturelk, yk+1et dkdésignent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne deykpar 2.

1. On fixek∈N∗. ExprimerNen fonction dek,d0, ... ,dk−1etyk. 2. Démontrer que la suite¡

yk

¢

k∈Nest nulle à partir d’un certain rang et qu’il existe un entiern>1 tel quedn−1dn−2...d0soit l’écriture deNen base deux.

3. Écrire un algorithme qui, pour tout entier naturelNsupérieur ou égal 2 donné, renvoie la suite (d0,d1, ... ,dn−1) des chiffres de son écriture en base deux.

4. Écrire en base deux le nombre qui s’écrit 391 en base dix.

VI.On se propose à présent de calculer le nombreNqui s’écritdn−1dn−2...d0en base deux.

1. Première méthode : méthode « naïve ».

On écritN=

n−1

X

k=0

dk2^k. Combien d’opérations (additions et multiplications) doit-on effectuer a prioripour calculerNavec cette méthode ?

2. Deuxième méthode : méthode de Hörner.

On écritN=((((dn−1×2+dn−2)×2+dn−3)×2+...)×2)+d0.

Combien d’opérations (additions et multiplications) doit-on effectuera prioripour calculer Navec cette méthode ?

3. Écrire un algorithme qui, pour toute suite de chiffres (d0, ... ,dn−1) donnée, renvoie la valeur deNcalculée à l’aide de cette deuxième méthode.

4. Quel est le nombre dont l’écriture en base deux est 101001000100001 ?

Partie C : nombres dyadiques

L’ensembleD2= na

2^p ;a∈Z,p∈N

oest appelé ensemble des nombres dyadiques. On noteD₂⁺l’en- semble des nombres dyadiques positifs ou nuls.

VII.Montrer queZest strictement inclus dansD2et queD2est strictement inclus dansQ.

Indication: on pourra montrer que1 3∈D2.

VIII.Soitx∈D⁺₂\N. On se propose de démontrer qu’il existe un unique entiern>1 et une unique suite (a0,a1, ... ,an) aveca0∈Net (a1, ... ,an)∈{0, 1}ⁿtels que

x=

n

X

k=0

ak2^−k, avecan6=0.

Le membre de droite de cette égalité s’appelle le développement dyadique dex.

1. On suppose qu’une telle suite existe. Montrer quea0=E(x) puis montrer que la suite (a0,a1, ... ,an) est déterminée de manière unique.

2. On souhaite à présent montrer l’existence d’une telle suite. À l’aide de la partie précédente, montrer l’existence d’un entiera0, d’un entierp>1 et d’une suite de nombres entiersd0,... ,dp−1

égaux à 0 ou 1, non tous nuls, tels que

x=a0+

p−1

X

k=0

dk2^k−p. 3. Conclure.

IX.Donner le développement dyadique de35 4 .

Partie D : développement dyadique illimité

On appelle suite dyadique toute suite (a_k)k∈N∗où pour toutk∈N∗, akest un élément de {O, 1}. De plus :

— une suite dyadique (ak)_k∈N∗est dite impropre s’il existe un entierm∈N∗tel que pour tout k>m, ak=1;

— une suite dyadique (ak)_k∈N∗est dite propre si elle n’est pas impropre.

X.On suppose quea=(ak)_k∈N∗est une suite dyadique.

1. Démontrer que la série de terme généralak2^−kest convergente. On note sa somme s(a)=

+∞

X

k=1

ak2^−k.

2. SoitNun entier naturel. Que vaut

+∞

X

k=N

2^−k? 3. Vérifier ques(a)∈[0 ; 1].

4. Montrer que siaest une suite dyadique propre, alorss(a)∈[0 ; 1[.

5. Montrer que siaest une suite dyadique impropre, alorss(a) est un nombre dyadique.

6. Soita=(ak)k∈N∗la suite définie par

ak=

½ 0 si kest impair 1 si kest pair Montrer ques(a)=1

3.

XI.Soitxun nombre dyadique compris dans l’intervalle [0, 1[.

1. En utilisant les résultats de la partie C, montrer qu’il existe une suite dyadique propreatelle que

x=

+∞

X

k=1

ak2^−k.

2. Montrer que sixest non nul, alors il existe également une suite dyadique improprebtelle que

x=

+∞

X

k=1

bk2^−k.

XII.Dans cette question, on considère un nombre réelxappartenant à l’intervalle [0; 1[.

On lui associe la suiteα(x)=(α_k(x))_k∈N∗définie pour toutk∈N* par l’égalité α_k(x)=E

³2^kx

´

−2E³ 2^k−1x

´.

Pour toutn∈N∗, on poseun(x)=

n

X

k=1

α_k(x)2^−ketvn(x)=un(x)+2⁻ⁿ. 1. Démontrer que la suite (α_k(x))k∈N∗est une suite dyadique.

2. Démontrer que les deux suites (un(x))_k∈N∗et (vn(x))_k∈N∗sont adjacentes et prennent leurs valeurs dansD2∩[0 ; 1].

3. Vérifier queE(2ⁿx)=2ⁿun(x) et en déduire que pour tout entier natureln>1, un(x)6_x<vn(x).

5. Montrer que (α_k(x))k∈N∗est une suite dyadique propre et que

x=

+∞

X

k=1

α_k(x)2^−k.

6. En déduire que pour tout nombre réelxdans l’intervalle [0; 1[, il existe une unique suite dya- dique propre (ak(x))k∈N∗telle que :

x=

+∞

X

k=1

ak2^−k. On note alors

x=0,a1a2a3...

Cette nouvelle représentation dexest appelée la représentation dyadique propre dex.

Si la suite (a_k(x))_k∈N∗est nulle à partir d’un certain rang, on dit que la représentation dyadique dexest finie.

7. Sid=(dn)n∈N∗est une suite dyadique propre, on notex=s(d) etd^′=(dn+1)n∈N∗. Justifier qued1=E(2x) ets¡

d^′¢

=2x−d1.

En déduire un algorithme qui prend en entrées un nombre réelx∈[0 ; 1[ et un entiern∈N∗ et qui renvoie la liste desnpremiers chiffres du développement dyadique propre dex.

On admettra l’existence d’une fonctionfloorqui renvoie la partie entière de son argument.

XIII.Démontrer queD2∩[0 ; 1] est dense dans [0 ; 1]. En déduire queD2est dense dansR.

XIV.Démontrer queR\D2est dense dansR.

Indication: on pourra utiliser la questionVII.

XV.Soitxun nombre réel dans l’intervalle [0; 1[ dont un développement dyadique, propre ou im- propre, est 0,a1a2a3....

1. Quel est le développement dyadique de 1−x?

2. On suppose que 2x∈[0 ; 1[. Quel est le développement dyadique de 2x?

Plus généralement, quel est le développement dyadique de 2^lx, lorsquelest un entier relatif et que 2^lx∈[0 ; 1[ ?

3. Donner le développement dyadique de2 3.

Partie E : suite extraite de la suite (cos( nπθ ))

XVI.Dans cette question,θdésigne un nombre réel strictement positif. On pose cn=cos(nπθ), sn=sin(nπθ).

1. Vérifier que pour tout entier natureln,

cn+1+cn−1 = 2cncos(πθ), cn+1−cn−1 = −2snsin(πθ),

c_n²+s²_n = 1.

2. En déduire que la suite (cn)n∈Nconverge si et seulement siθest un entier relatif pair.

Indication: on pourra raisonner par disjonction de cas, suivant la valeur de cos(πθ).

XVII.On s’intéresse à présent à la suite (c2ⁿ)n∈Nextraite de (cn)n∈N. Pour tout entier natureln, on pose :

un=c2ⁿ=cos¡ 2ⁿπθ¢

.

1. On suppose (dans cette question uniquement) queθest un nombre dyadique.

Quelle est la nature de la suite (un)n∈N?

2. On suppose (dans cette question uniquement) qu’il existe un nombre dyadiquextel que θ=x+1

3.

Quelle est la nature de la suite (un)n∈N?

3. On suppose (dans cette question uniquement) qu’il existe un nombre dyadiquextel que θ=x+2

3.

Quelle est la nature de la suite (un)_n∈N?

4. Justifier que, pour tout entier natureln, un+1=2u²_n−1.

5. Lorsque la suite (un)n∈Nconverge versℓ, quelles sont les seules valeurs possibles pour le réel ℓ?

6. Soit (an)n∈N∗la suite définissant le développement dyadique propre deθ−E(θ).

Montrer que, quel que soit l’entier natureln, il existe un entier relatifknet un réelǫ_napparte- nant à l’intervalle£

0 ; ¹₂¤

tels que :

2ⁿθ=2kn+an+an+1

2 +ǫ_n. 7. Démontrer que :

— sian=an+1, alorsun>0;

— sian6=an+1, alorsun60.

Puis que :

— siun>0, alorsan=an+1;

— siun<0, alorsan6=an+1.

8. On suppose que la suite (un)n∈Nconverge vers un nombre réelℓ>0.

Montrer qu’à partir d’un certain rang,an=0.

En déduire queθest un nombre dyadique.

9. On suppose que la suite (un)n∈Nconverge vers un nombre réelℓ<0.

Montrer qu’à partir d’un certain rang,an+16=an. En déduire queθ−1

3ouθ−2

3est un nombre dyadique.

XVIII.Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (un)n∈Nconverge.

On justifiera ce résultat et on précisera le cas échéant la valeur de sa limite.