Mai 2016

(1)

Série S

Durée de l'épreuve : 4 h 11 mai 2016

Bac Blanc de Mathématiques

---

- Enseignement spécifique -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1 : (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

◦ Les points A (0 ; 1 ; -1) et B (-2 ; 2 ; -1).

◦ La droite d de représentation paramétrique

{

^x^y=1+t^{z=- 1−t}⁼^{- 2}⁺^t , avec t ∈ R.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. a) Montrer que les droites (AB) et d ne sont pas parallèles.

b) Montrer que les droites (AB) et d ne sont pas sécantes.

La lettre u désigne un nombre réel.

On considère le point M de la droite d de coordonnées (-2 + u ; 1 + u ; -1 – u).

3. Vérifier que le plan p d’équation x + y − z − 3u = 0 est orthogonal à la droite d et passe par le point M.

4. Montrer que p et (AB) sont sécants en un point N de coordonnées (-4 + 6u ; 3 − 3u ; -1).

5. a) Montrer que la droite (MN) est perpendiculaire à la droite d.

b) Existe-t-il une valeur du nombre réel u pour laquelle les droites (MN) et (AB) sont perpendiculaires ? 6. a) Exprimer MN en fonction de u.

b) En déduire la valeur du réel u pour laquelle la distance MN est minimale.

2

(2)

Soit la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : =

On admet que la fonction est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note c la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal du plan. La courbe c est représentée en annexe, à rendre avec la copie.

Partie A

Soit la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = . On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de en fonction de .

1. Montrer que la suite ( ) est croissante sur N.

2. On admet que pour tout réel de l’intervalle [0 ; +∞[, ≥ . a) Montrer que pour tout entier naturel , ≤ .

b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : H( ) =

Déterminer la fonction dérivée H' de la fonction H.

c) En déduire que, pour tout entier naturel , ≤ 2.

3. Montrer que la suite ( ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

On considère l’algorithme suivant dans lequel les variables sont

◦ et des entiers naturels, étant non nul ;

◦ A, et des réels.

Entrée : Saisir

Initialisation : Affecter à A la valeur 0 Affecter à la valeur 0 Affecter à la valeur Traitement : Pour variant de 1 à

Affecter à A la valeur A + Affecter à la valeur Fin Pour

Sortie : Afficher A

1. Compléter le tableau en annexe, en faisant fonctionner cet algorithme pour = 4.

Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour = 8.

3. Que donne l’algorithme lorsque devient grand ? f(x) ^x

e^x¡x f

f f

In n In Rn dx

0 f(x)

I_n n

In

x e^x¡x ^e₂^x

n In Rn

0 2xe^-xdx x (-x¡1)e^-x

n In

In

i x h

x

h _K¹

K

K K

i K

h£f(x)

x x+h

K

K K

(3)

Une usine produit de l'eau minérale en bouteille. Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.

La forme de ces étiquettes est délimitée par l’axe des abscisses et la courbe c d’équation = avec :

◦ x ∈ [- ; ]

◦ un réel strictement positif.

Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées (0 ; ) et de rayon . On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe c pour des valeurs de inférieures à 1, 4.

1. Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe c et les droites d’équation = - et = est égale à unités d’aire.

2. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface grisée.

Quelle valeur faut-il donner au réel pour respecter cette contrainte ?

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ).

On note le nombre complexe tel que = -1.

On considère le point A d’affixe = 1 et le point B d’affixe = .

À tout point M d’affixe = , avec et deux réels tels que ≠ 0, on associe le point M' d’affixe : = -

On désigne par I le milieu du segment [AM].

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA) :

◦ La médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1)

◦ BM' = 2OI (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend = 2 . a) Déterminer la forme algébrique de .

b) Montrer que = - .

Déterminer le module et un argument de .

c) Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère (O, , ) en prenant 2 cm pour unité graphique.

Tracer la droite (OI) et vérifier par des calculs les propriétés 1 et 2.

2. On revient au cas général en prenant = , avec ≠ 0.

a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de et . b) Déterminer l’affixe du point M′ en fonction de et . c) Écrire les coordonnées des points I, B et M′.

d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.

e) Montrer que BM′ = 2OI.

y acosx

¼ 2

¼ 2 a

a 2

a 2 a

x ^¼₂ x ^¼₂ 2a

a

~ u ~v

i i²

z_A z_B i

zM x+iy x y y

z_M⁰ i zM

z_M e zM

z_M⁰ p 3¡i

zM⁰

~ u ~v zM x+iy y

x y x y

-^i¼₃

(4)

ANNEXE A rendre avec la copie

A 1

2 3 4

i x

Exercice 2 : Courbe représentative de la fonction f sur [0 ; 6]

Courbe représentative de la fonction f sur [0 ; 1]

(5)

Série S

Durée de l'épreuve : 4 h

11 mai 2016

Bac Blanc de Mathématiques

---

- Enseignement de spécialité -

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :

◦ Les points A (0 ; 1 ; -1) et B (-2 ; 2 ; -1).

◦ La droite d de représentation paramétrique

{

^x^y^z=-1⁼⁼^{- 2}¹⁺^−t⁺^t^t ^{, avec t}^∈^R.

2. a) Montrer que les droites (AB) et d ne sont pas parallèles.

b) Montrer que les droites (AB) et d ne sont pas sécantes.

3. Vérifier que le plan p d’équation x + y − z − 3u = 0 est orthogonal à la droite d et passe par le point M.

4. Montrer que p et (AB) sont sécants en un point N de coordonnées (-4 + 6u ; 3 − 3u ; -1).

5. a) Montrer que la droite (MN) est perpendiculaire à la droite d.

b) Existe-t-il une valeur du nombre réel u pour laquelle les droites (MN) et (AB) sont perpendiculaires ? 6. a) Exprimer MN en fonction de u.

b) En déduire la valeur du réel u pour laquelle la distance MN est minimale.

2

(6)

On admet que la fonction est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note c la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal du plan. La courbe c est représentée en annexe, à rendre avec la copie.

Partie A

Soit la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = . On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de en fonction de .

1. Montrer que la suite ( ) est croissante sur N.

2. On admet que pour tout réel de l’intervalle [0 ; +∞[, ≥ . a) Montrer que pour tout entier naturel , ≤ .

b) Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ telle que : H( ) =

Déterminer la fonction dérivée H' de la fonction H.

c) En déduire que, pour tout entier naturel , ≤ 2.

3. Montrer que la suite ( ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Partie B

Entrée : Saisir

Sortie : Afficher A

1. Compléter le tableau en annexe, en faisant fonctionner cet algorithme pour = 4.

Les valeurs successives de A seront arrondies au millième.

2. En l’illustrant sur l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour = 8.

3. Que donne l’algorithme lorsque devient grand ? f

f(x) ^x e^x¡x f

f

In n In

Rn

0 f(x)dx

I_n n

In

x e^x¡x ^e₂^x

n In Rn

0 2xe^-xdx x (-x¡1)e^-x

n In

In

K i K

x h

K x

h _K¹

i K

h£f(x)

x x+h

K

K K

(7)

◦ x ∈ [- ; ]

1. Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe c et les droites d’équation = - et = est égale à unités d’aire.

y acosx

¼ 2

¼ 2 a

a 2

a 2 a

x ^¼₂ x ^¼₂ 2a

a

(8)

Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville.

Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

• En 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins.

• Chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville.

• Chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel , on note :

• l’effectif de la population rurale, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010 + .

• l’effectif de la population citadine, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010 + . On a donc = 90 et = 30.

1. On considère les matrices M = et, pour tout entier naturel , = . a) Démontrer que, pour tout entier naturel , = M .

b) Calculer . En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011.

2. Pour tout entier naturel non nul, exprimer en fonction de M et de .

3. Soit la matrice P = . Montrer que est la matrice inverse de P. On la notera P . 4. a) On pose ∆ = P MP. Calculer ∆ à l’aide de la calculatrice.

b) Démontrer que M = P∆P .

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : M = P∆ P .

5. a) On admet que le calcul matriciel précédent donne : M =

(

¹³²³⁺⁻²³²³^×0,85^×^0,85ⁿⁿ ¹³²³⁻⁺¹³¹³^×^×^0,85^0,85ⁿⁿ

)

En déduire que, pour tout entier naturel , = et déterminer en fonction de . b) Déterminer la limite de et de lorsque tend vers +∞.

Que peut-on en déduire pour la population étudiée ?

6. a) On admet que ( ) est décroissante et que ( ) est croissante sur N.

Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il affiche le nombre d’années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.

b) En résolvant l’inéquation d’inconnue :

<

retrouver la valeur affichée par l’algorithme.

n

R_n n

C_n n

R₀ C₀

n

µRn

Cn

¶ Un

µ0,9 0,05 0,1 0,95

¶

n U_n+1 U_n U1

n U_n ⁿ U₀

µ1 1 2 -1

¶

µ

₁

3 1 2 3 3

-

¹₃

¶

-1

n n

n

n R_n 50£0,85ⁿ+ 40 C_n n

Rn Cn n

Rn Cn

n

50£0,85ⁿ+ 40 80¡50£0,85ⁿ

(9)

ANNEXE A rendre avec la copie

A 1

2 3 4

i x

Exercice 2 : Courbe représentative de la fonction f sur [0 ; 6]

Exercice 4 : Question 6 a)

(10)

Correction du bac blanc de mai 2016 Exercice 1 :

La droite (AB) passe par A (0 ; 1 ; -1) et est dirigée par : ^⃗^AB:

(

^x^y^z^B^B^B⁻⁻⁻^x^z^yÂÂÂ

)

^⃗^AB:

⁽

^{- 2}^-1+1²⁻⁻¹⁰

⁾

^⃗^AB:

⁽

^{- 2}¹⁰

⁾

On en déduit une équation paramétrique de (AB) :

{

^{x=- 2}^y=1+λ^z⁼^{- 1}^λ ^{, avec λ}^∈^R.

2. a) La droite d ayant pour représentation paramétrique

{

^{x=- 2+t}^y^z⁼⁼^-1¹⁺⁻^t^t , avec t ∈ R, on en déduit que le vecteur : est un vecteur directeur de d. Ses coordonnées ne sont pas proportionnelles à

celles de : . Donc et ne sont pas colinéaires. Ainsi (AB) et d ne sont pas parallèles.

b) On cherche les coordonnées du point d'intersection éventuel de (AB) et d.

{

^{- 2}¹^{- 1}^t^∈ℝ⁺⁺⁻^t⁼^t^t⁼^,⁼^λ∈ℝ¹^-1^{- 2}^+λ^λ ^⇔

^{

^{- 2}^t^t^=λ⁼⁺⁰^t⁼^{- 2}^λ ^⇔

^{

^{- 2}^λ=^t⁼⁺⁰⁰^t⁼^{- 2}^λ ^⇔

^{

^{- 2}^λ=^t⁼⁼⁰⁰⁰ On aboutit a une égalité fausse.

Le système n'ayant pas de solution, les droites (AB) et d ne peuvent pas être sécantes.

3. p est le plan d’équation x + y − z − 3u = 0.

: est un vecteur normal de p. Il est égal au vecteur directeur de d.

Donc p est orthogonal à d.

Soit M le point de coordonnées (-2 + u ; 1 + u ; -1 – u).

(-2 + u) + (1 + u) – (-1 – u) – 3u = -2 + 1 + 1 + 3u – 3u = 0

Puisque les coordonnées de M vérifient l'équation de p, on en déduit que p passe par M.

4. (-4 + 6u) + (3 – 3u) – (-1) – 3u = -4 + 3 + 1 + 3u – 3u = 0

Donc le point N de coordonnées (-4 + 6u ; 3 − 3u ; -1) appartient à p.

{

^{- 4}³^{-1=- 1}û∈ℝ⁻⁺³⁶û^,û⁼^λ∈ℝ⁼¹^{- 2}^+λ^λ ^⇔

{

²^λ=^-1=-1û∈ℝ^λ=²⁻⁴^,^{λ ∈ℝ}⁻³⁶ûû

On remarque que les deux premières équations sont équivalentes.

Le réel u étant fixé, le point N est donc le point de (AB) de paramètre λ = 2 – 3u.

Ainsi, p et (AB) sont sécants en N.

5. a) On rappelle que : dirige d. : :

. = 1(-2 + 5u) + 1(2 – 4u) – 1u = -2 + 5u + 2 – 4u – u = 0

Les vecteurs et étant orthogonaux, la droite (MN) est orthogonale à la droite d.

De plus : M ∈ d ∩ (MN). Donc (MN) est perpendiculaire à d.

~u 0

@ 1 1 -1

1 A

¡!AB 0

@ -2 1 0

1 A

0

@ 1 1 -1

1 A

~n ~u

¡¡!MN 0

@

-4 + 6u+ 2¡u 3¡3u¡1¡u

-1 + 1 +u 1 A ¡¡!

MN 0

@

-2 + 5u 2¡4u

u 1 A

~ u

0

@ 1 1 -1

1 A

~ u ¡¡!MN

~

u ¡¡!

MN

~u ¡!AB

(11)

Autre démonstration : M et N étant deux points de p, la droite (MN) est incluse dans p.

Or, d est perpendiculaire à p donc d est orthogonale à toute droite incluse dans p, en particulier (MN).

Le point M appartenant à la fois à d et à (MN), ces deux droites sont perpendiculaires.

b) On rappelle : et : .

. = -2(-2 + 5u) + 1(2 – 4u) + 0u = 4 – 10u + 2 – 4u = 6 – 14u . = 0 ⇔ 6 – 14u = 0 ⇔ -14u = -6 ⇔ u = ⇔ u = Ainsi, les droites (MN) et (AB) sont perpendiculaires si et seulement si u = .

6. a) On rappelle : .

On en déduit : MN = MN = MN =

b) On considère le trinôme du 2^nd degré . On note a = 42 ; b = -36 et c = 8.

a > 0. Donc la fonction associée à la distance MN est représentée graphiquement par une parabole ouverte vers le haut. Son sommet est le point le plus bas. On calcule son abscisse .

= - = = =

MN > 0 donc les fonctions associées à MN et MN ont le même sens de variation.

Ainsi, MN est minimale lorsque MN est minimale. On en déduit une distance minimale pour u = . Remarque : On peut aussi déterminer le minimum de la fonction f : a en étudiant le signe de sa dérivée f ' : a .

Exercice 2 :

On admet que la fonction est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note c sa courbe représentative.

Partie A

Soit la suite ( ) définie pour tout entier naturel par = . 1. ∀ n ∈ N, – = – =

Puisque f est positive sur [0 ; +∞[, elle l'est aussi sur [n ; n + 1].

On en déduit : ≥ 0 ⇔ – ≥ 0 ⇔ ≥ . Ainsi, la suite ( ) est croissante sur N.

Autre démonstration : ∀ n ∈ N, = avec g : a .

∀ ∈ [0 ; +∞[, = ≥ 0. Donc g est croissante sur [0 ; +∞[ et est croissante sur N.

2. a) ∀ x ∈ [0 ; +∞[, ≥ .

Donc, par passage à l'inverse de chaque membre : ≤

En multipliant chaque membre par , qui est positif sur [0 ; +∞[, on obtient : ≤ . Ainsi : ∀ x ∈ [0 ; +∞[, ≤ .

0 ≤ et l'intégrale conserve l'ordre. Donc : ∀ n ∈ N, = = ≤ .

2

f

f(x) _ex^x¡x f

I_n n I_n Rn

0 f(x)dx

¡!AB 0

@ -2 1 0

1 A ¡¡!MN

0

@ -2 + 5u 2¡4u

u 1 A

¡¡!MN

¡!AB

¡!AB ¡¡!MN ₁₄⁶ ³₇

3 7

¡¡!MN 0

@

-2 + 5u 2¡4u

u 1 A

2 2

(-2 + 5u)²+ (2¡4u)²+u²

4¡20u+ 25u²+ 4¡16u+ 16u²+u² 42u²¡36u+ 8

42u²¡36u+ 8

®

® _2a^b ₂³⁶

£42 36 84

3 7

In

In+1 f(x)dx Rn

0 f(x)dx Rn+1

0 Rn+1f(x)dx

n

In+1 In In+1 In

I_n

e^x¡x ^e

x

2

1 e^x¡x

2 e^x

x e^x¡x

x ^2x

e^x x

e^x¡x 2xe^-x

In

Rn

0 f(x)dx Rn

0 _ex^x¡x dx Rn

0 2xe^-xdx Rn+1

n f(x)dx

2

2 2

u 42u²¡36u+ 8 u 84u¡36

g(n)

In x Rx

0f(t)dt g⁰(x)

x f(x) In

n

(12)

b) ∀ x ∈ [0 ; +∞[, H( ) = =

∀ x ∈ [0 ; +∞[, H'( ) = avec : et

H'( ) = = =

c) D'après la question 2. a) on a : ∀ n ∈ N, ≤ donc : ≤ 2 . D'après la question 2. b), H( ) = est une primitive de a .

Donc : = [ ] = – = +

On en déduit : 2 = 2 + 2

Or : ∀ n ∈ N, < 0 donc : 2 + 2 < 2 Ainsi : ∀ n ∈ N, ≤ ≤ 2

3. La suite ( ) étant croissante sur N et majorée par 2, elle est convergente.

Partie B

Entrée : Saisir

Sortie : Afficher A

1. Compléter (au millième près) le tableau en annexe, en faisant fonctionner cet algorithme pour = 4.

2. Le résultat affiché par l'algorithme, pour = 8, donne la somme des aires des 8 rectangles « inférieurs ».

3. Plus devient grand, plus l'algorithme donne une approximation précise de l'aire du domaine compris entre la courbe c, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.

A

1 0 0,25

2 0,060 0,5

3 0,169 0,75

4 0,306 1

x (-x¡1)e^-x

K i K

x h

K x

h _K¹

i K

h£f(x)

x x+h

K u(x)v(x)

x u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x)

½ u(x) = -x¡1 v(x) =e^-x

½ u⁰(x) = -1 v⁰(x) = -e^-x x -e^-x¡(-x¡1)e^-x (-1 +x+ 1)e^-x xe^-x

x (-x¡1)e^-x x xe^-x

Rn

0 xe^-xdx (-x¡1)e^-x ⁿ₀ (-n¡1)e^-n (-0¡1)e^-0 (-n¡1)e^-n 1 Rn

0 xe^-xdx (-n¡1)e^-n (-n¡1) (-n¡1)e^-n

In

Rn

0 2xe^-x dx I_n

i x

K K

In

Rn

0 2xe^-xdx In

Rn

0 xe^-xdx

(13)

Exercice 3 :

◦ x ∈ [- ; ]

1. On note a l'aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe c et les droites d’équation = - et = .

a étant un réel strictement positif, la fonction a est positive sur [- ; ].

La fonction sinus est une primitive de la fonction cosinus.

Donc : a = = a [ ] = a ( – ) = a (1 – (-1)) = 2a

On note d l'aire du disque de rayon = . d = =

L'aire du disque doit être égale à l'aire de la partie grisée. On en déduit l'équation suivante : d = a – d

= 2a – + = 2a = 2a = a = 4a – 4a = 0

= 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On en déduit : a = 0 ou a = . Or a est un réel strictement positif. Pour que la contrainte soit respectée, a doit donc valoir .

y acosx

¼ 2

¼ 2 a

a 2

a 2 a

x ^¼

2 x ^¼

2

a

x acosx ^¼₂ ^¼₂

dx

acosx sinx

R

^¼₂

-^¼₂

¼ 2

-^¼₂ sin(^¼₂) sin(-^¼₂)

¼r²

r ^a₂

¼a² 4

¼a² 4 2¼a²

4

¼a² 4

¼a²

¼a² a(¼a¡4)

4

¼ 4

¼

(14)

Exercice 4 : (Pour les élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ).

On note le nombre complexe tel que = -1.

On considère le point A d’affixe = 1 et le point B d’affixe = .

À tout point M d’affixe = , avec et deux réels tels que ≠ 0, on associe le point M' d’affixe : = -

On désigne par I le milieu du segment [AM].

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA) :

◦ La médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM' (propriété 1)

◦ BM' = 2OI (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend = 2 . a) = 2 = 2 (cos + i sin ) = 2( + i ) = 1 – i

b) = - = - (1 – i ) = - + i = - – 1 = - .

| | = |- | = = = = 2

On en déduit : = - = 2 (- ) = 2 (cos + i sin ) est donc un argument de .

Autre méthode : = - = × 2 = 2 = 2 = 2 On retrouve ainsi : | | = 2 et arg ( ) ≡ [2π].

c) Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère (O, , ) en prenant 2 cm pour unité graphique.

Tracer la droite (OI) et vérifier par des calculs les propriétés 1 et 2.

= 1 et = 1 – i . I est le milieu de [AM] donc : = = 1 – i On en déduit : = – = 1 – i

De plus : = – = - – i = -

• Vérification de la propriété 1 :

: : . = = 0

Les vecteurs et sont orthogonaux donc les droites (OI) et (BM') sont perpendiculaires On en déduit que la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM'.

• Vérification de la propriété 2 :

OI = = = = et : BM' = = =

Donc : BM' = 2OI

~ u ~v

i i²

zA zB i

zM x+iy x y y

zM⁰ i zM

zM e^-^¼³

~ u ~v

zM e (-^¼₃) (-^¼₃) ¹₂ ^-^p₂³ ^p3 z_M⁰ i zM i p

3 i p

2 3 i p

3 p

3¡i z_M0 p

3¡i q

(-p

3)²+ (-1)² p

3 + 1 p 4 z_M0 p

3¡i

p3

2 ¡i¹₂ (-^5¼₆ ) (-^5¼₆ )

z_M⁰

-^5¼₆

zM⁰ i zM e e e e e

zM⁰ zM⁰ -^5¼₆

z_M p

3

z_A z_I ^z^A^+z₂ ^M

p3 2

z¡OI! zI z0

p3 2

z¡¡!

BM’ zM’ zB

p3¡i p 3¡2i

¡! OI

µ 1 -

p3 2

¶ ¡¡!BM’

µ -p 3 -2

¶ ¡OI! ¡¡!BM’ -p

3¡ ^p2³ £(-2)

q

1²+ (-^p₂³)² q

1 + ³₄ q

7 4

p7 2

q (-p

3)²+ (-2)² p

3 + 4 p 7

¡!

OI ¡¡!BM’

-^i¼₃

-î¼₂ -î¼₃ -î¼₂ ¡î¼₃ -^3i¼₆ ¡^2i¼₆ -î5¼₆

(15)

2. On revient au cas général en prenant = , avec ≠ 0.

a) I est le milieu de [AM] donc : = = = + b) = - = -( ) = - =

c) Écrire les coordonnées des points I, B et M′.

= + = =

On en déduit, les coordonnées des points I, B et M' dans le repère (O, , ) : I ( ; ) B (0 ; 1) M' ( ; - )

d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM′.

: :

. = = = 0

Les vecteurs et sont orthogonaux donc les droites (OI) et (BM') sont perpendiculaires.

On en déduit que la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM'.

e) Montrer que BM′ = 2OI.

OI = = = =

BM' = = = 2 OI

zM x+iy y zI zA+zM

2

1+x+iy 2

1+x 2 i^y₂ z_M⁰ i z_M i x+iy ix¡i²y y¡ix

1+x 2

y

2 y x

zI 1+x

2 i^y₂ zB i z_M⁰ y¡ix

~ u ~v

¡!

OI ¡¡!

BM’

¡! OI ¡¡!

BM’

µ _1+x

2y 2

¶ µ

y -x¡1

¶

1+x

2 £y+ ^y₂ £(-x¡1) ^(1+x)y₂ ¡ ^(1+x)y₂

¡!

OI ¡¡!

BM’

q

(^1+x₂ )² + (^y₂)²

q1+2x+x² 4 + ^y₄²

q1+2x+x²+y² 4

p1+2x+x²+y²

p 2

y²+ (-x¡1)² p

y²+x²+ 2x+ 1