Série 35

L.S.Marsa Elriadh

Série 35 ^{M : Zribi}

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Exercice 1

1°) Soit (E) l’équation : z²4 3z160.

a) Résoudre dans C l’équation (E).(On notera z1 et z2 ses solutions avec Im(z1) > 0).

b) Déterminer la forme trigonométrique de z1 et de z2.

2°) Soit P(x) le polynôme complexe : ^P(z) ^z3⁴⁽ⁱ ^3)z2¹⁶⁽¹^{i 3)z}⁶⁴ⁱ. a) Démontrer que l’équation P(z) = 0 admet une unique racine imaginaire pure.

b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout complexe z,

)

² )(

4 ( )

(z z i az bz c

P     .

c) En déduire toutes les solutions de l’équation : P(z) = 0.

3°) Soient A, B et C les points d’affixes respectives zA = -4i, zB = 2 3 + 2i et zC = z_B dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O ;u v

, ) (unité graphique : 2 cm)

a) Faire une figure.

b) Calculer

B C A B

'

z z

z z

z 

  sous forme algébrique. (forme cartésienne)

c) Déterminer le module et un argument de z’.

d) En déduire la valeur de l’angle ABC et la nature du triangle ABC.

Exercice 2

On considère le polynôme P défini par : P(z) = z⁴ – 6z³ + 24 z² – 18z + 63.

1°) Calculer P(i 3) et P(–i 3), puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout zC, on ait :

P(z) = (z² + 3) Q(z).

2°) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.

3°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; u v

, ), on considère les points A et  d’affixes respectives zA = i 3 et z_ = –3.

On construit les points :

 B symétrique de A par rapport à l’axe des réels,

 C image de A par l’homothétie de centre  et de rapport 2,

 D image de C par la translation de vecteur 2AB. a) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

b) Déterminer les affixes zB, zC et zD des points B, C et D.

c) Démontrer que le triangle ACD est rectangle en A.

d) Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle.

4°) On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que :

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3 B E

B C

i

z e z

z

z ^

 

 puis déterminer la nature du triangle BEC.

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O u v; , ). On prendra 2 cm pour unité graphique.

Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives z' z 2 et z''z².

1. a. Déterminer les points M pour lesquels M'' M. b. Déterminer les points M pour lesquels M'' M'.

2. Montrer qu’il existe exactement deux points M1 et M2 dont les images

1, 1, 2, 2

M M M M appartiennent à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.

3. On pose z x iy où x et y sont des nombres réels.

a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe ^''

' z z z z



 .

b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M’ et M’’ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.

4. On pose ze^i où 0 ; 2

_{ }^  ^_

 .

a. Déterminer l’ensemble  des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles  et  des points M’ et M’’ associés à M.

b. Représenter ,  et  sur la figure précédente.

c. Dans cette question

6

  . Placer le point M₃ obtenu pour cette valeur de , et les points M₃, M₃ associés. Montrer que le triangle M M M_{3 3} ₃ est rectangle. Est-il isocèle ?

Exercice 4: contrôle 2008 (tec)

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Exercice 5 : principale 2009

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