UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2017/2018
Licence Informatique L1 Analyse
Feuille d’exercices 1
Exercice 1. Soitn∈N. Montrer que :
n
X
k=0
k= n(n+ 1) 2
Exercice 2. Soitq6= 1 un nombre r´eel etn∈N. Montrer que :
n
X
k=0
qk =1−qn+1 1−q
Exercice 3. Ecrire´ f ◦g etg◦f pour les fonctions suivantes : a)f :R→R, x7→x3, g:R→R, t7→sint
b)f :R→R, x7→2x, g:R→R+, t7→et c)f :R→R, x7→cosx, g:R∗ →R, t7→1t
Exercice 4. Dessiner le graphe des fonctions suivantes : a)f :R→R, x7→2x+ 3
b)f :R→R, x7→x2−1 c)f :R→R, x7→x3 d)f :R∗→R, x7→ x1 e)f :R→R+, x7→ex
f)f :R→R, x7→ax2+bx+caveca, b, c∈R
Exercice 5. Pour les fonction suivantes d´eterminerf−1([−1,1]) etf(R+).
a)f :R→R, x7→x+ 2 b)f :R→R, x7→x2−1 c)f :R→R, x7→sinx
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Exercice 6. Les fonctions suivantes sont-elles injectives/surjectives/bijectives ? a)f :Z→Z, n7→2n
b)f :Z→Z, n7→ −n c)f :R→R, x7→x2 d)f :R→R+, x7→x2
Exercice 7. Soit
f : [1,+∞[→[0,+∞[, x7→x2−1.
La fonctionf est-elle bijective ?
Exercice 8. On consid`ere trois ensemblesA, B, C et des applications f :A→B, g:B →C.
Montrer que :
a) Sig◦f est injective, alorsf est injective.
b) Sig◦f est surjective, alorsg est surjective.
Exercice 9.
a) Soitf :R→R, x7→2x+ 3. Montrer quef est bijective et d´eterminer sa r´eciproque.
b) Soient a, b ∈ R avec a 6= 0, et f : R → R, x 7→ ax+b. Montrer que f est bijective et d´eterminer sa r´eciproque.
Exercice 10. Donner des exemples d’applicationsf : R→Rinjective et non surjective, puis surjective et non injective.
Exercice 11. SoientAetB les deux ensembles suivants :
A={−4,−3,−1,−2,0,4,5,6,7,8}, B={−1,−2,1,2,3}.
D´efinir A∩B, A∪B, A\B,B\A.
Exercice 12. Considerons les ´enonc´es suivants :
— p: “Toto a la fi`evre”
— q: “Toto a peur de l’´evaluation”
— r: “Toto va `a l’´ecole”.
Interpreter les 2 enonc´es suivants :p∨q=⇒ ¬r, ¬p∧ ¬r=⇒q.
Exercice 13. Formaliser `a l’aide des quantificateurs : a) L’´equationx2+ 1 = 0 n’a pas de solution dansR. b) La fonctionf :R→Rprend la valeur constante 2.
c) La fonctionf :R→Rest paire.
d) La fonctionf :R→Ra un unique zero.
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