- COMPOSEE DE FONCTIONS DERIVATION - CONVEXITE

(1)

Plan du cours :

I. Composée de deux fonctions

II. Dérivée d’une fonction composée III. Convexité d’une fonction

IV. Fonction convexe et dérivées première et seconde

V. Tangente et point d’inflexion

- COMPOSEE DE FONCTIONS – DERIVATION - CONVEXITE

Notion de convexité : Il est des esprits semblables à ces miroirs convexes ou concaves qui représentent les objets tels qu’ils les reçoivent, mais qui ne les reçoivent jamais tels qu’ils sont.

« Joseph Joubert (1754-1824)

(2)

I. Composée de deux fonctions

Définition et notation :

Soit une fonction f définie sur un intervalle I, et g définie sur un intervalle J contenant

( )

f I ^,c’est-à-dire un intervalle contenant toutes les valeurs ^{f x}

( )

pour x décrivant I.

On appelle composée de f par g et on note go f (se lit : g « rond » f ) la fonction définie sur I par : ^{gof x}

( )

^{= }^{g f x}_

( )

^_

Le calcul de ^{gof x}

( )

se schématise de la manière suivante :

Exemple 1 : Soient f et g les fonctions définies respectivement :

pour tout x ∈ ℝ par ^{f x}

( )

⁼^x^² et pour tout x ∈ ℝ par ^{g x}

( )

⁼⁵^x⁻¹⁰. Déterminer l’expression algébrique de gof et de fog sur ℝ.

• Pour tout x de ℝ, f (x) est un réel, donc gof est définie sur ℝ et

( ) ( ) ( )

^² ^{5 ² 10}

gof x =g f x =g x = x −

• Pour tout x de ℝ, g (x) est un réel, donc fog est définie sur ℝ et

( ) ( ) (

⁵ ¹⁰

) (

⁵ ¹⁰

)

²

fog x = f g x = f x− = x− .

Exemple 2 : Soient f et g les fonctions définies respectivement :

pour tout x de [0 ; +∞[ par ^{f x}( )⁼ ^x et pour tout x ∈ ℝ par ^{g x}

( )

^{= −}¹⁰^x⁻⁵.

Déterminer l’expression algébrique de gof sur I = [0 ;+∞[ et de fog sur I’ = ]-∞ ; -0,5[ .

• Pour tout x de I, ^{f x}

( )

est un réel, donc gof est définie sur I et

( ) ( ) ( )

¹⁰ ⁵

gof x =g f x =g x = − x−

• Pour tout x de I’, g (x) ≥ 0, soit g (x) ∈ I. donc fog est définie sur I’ et

( ) ( ) (

¹⁰ ⁵

)

¹⁰ ⁵

fog x = f g x = f − x− = − x−

Remarques :

1. En général, fog ≠ gof.

2. La composition des fonctions s’étend à plus de deux fonctions : ^{hogof x}

( )

⁼^{h g f x}^_ ^_

( )

^_^_ ^.

par exemple : en reprenant l’exemple 1 et si ^{h x}

( )

^{= +}^x ¹, alors ^{hogof x}

( )

⁼^{5 ² 11}^x ⁻ ^.

Associativité de la composition de fonctions mais pas

commutativité.

Magnard : Exercices résolus 1& 2

(3)

Propriété : Sens de variation d’une fonction composée

Soit une fonction f définie et monotone sur un intervalle I, et g définie et monotone sur un intervalle J contenant f(I) - c’est-à-dire tel que pour x de I, ^{f x}

( )

appartient à J.

• Si f et g ont même sens de variation, alors gof est croissante sur I.

• Si f et g n’ont pas le même sens de variation, alors gof est décroissante sur I.

Exemple 3 : Etude du sens de variation de gof :

• Sur I = ]-3 ; +∞[ avec ^{f x}

( )

^{= +}³ ^x et ^{g x}

( )

¹

= x

→ f est une fonction croissante de I vers J =]0 ;+∞[

et g est une fonction décroissante sur J.

Donc, gof est une fonction décroissante sur I.

( ) ( )

¹

gof x g f x 3

=  = +x^et ^{fog x}

( )

^{f g x}

( )

³ ¹

=  = +x

• Sur I = ]3 ; +∞[ avec ^{f x}

( )

^{= −}³ ^x^et ^{g x}

( )

¹

= x

→ f est une fonction décroissante de I vers J =]-∞ ; 0[

et g est une fonction décroissante sur J.

Donc, gof est une fonction croissante sur I.

( ) ( )

¹

gof x g f x 3

=  = −x^et ^{fog x}

( )

^{f g x}

( )

³ ¹

=  = −x

x -3 +∞

f +∞

0

x 0 +∞

g +∞

0 x -3 +∞

gof +∞

0

x -∞ 0 g 0

- ∞ x 3 +∞

f 0 - ∞

x 3 +∞

gof 0 -∞

(4)

Exemple 4 : Dans les cas suivants, déterminer deux fonctions u et v, telles que f = vou ^{f x}

( ) (

⁼ ^x⁺⁵

)

² ^{f x}

( )

¹

= x , ^{f x}( )⁼ ³^x⁻¹^,

( )

³

f x =sin x−2

Exemple 5 : Ecrire f comme composée de trois fonctions :

( )

¹

3 f x

x²

= +

Exemple 6 : Soit f la fonction définie sur ]- ∞; 3] par ^{f x}( )^{= +}² ³⁻^x et g la fonction définie sur [2 ; +∞[ par ^{g x}

( )

^{= − +}^x² ⁴^x⁻¹

1) Montrer que pour tout ^x^



²^;^+



, fog(x) = x.

2) Montrer que pour tout ^x^{ −}



^;³



, gof(x) = x.

3) Est-ce que, dans cet exemple, gof = fog ?

Exemple 7 : Soit f et g deux fonctions définies sur par ^{f x}

( )

⁼³^x⁻⁵^et

( )

^{2 ² 1}

² 1 g x x

x

= + +

1) Démontrer que pour tout réel x, on a ¹^^{g x}

( )

^²

2) Démontrer que la fonction gof est bornée sur (c’est-à-dire qu’il existe un minorant m et un majorant M tels que pour tout réel x, on ait, ^m^^{gof x}

( )

^^M

3) Démontrer que, pour tout réel x, on a ^{− }² ^{fog x}

( )

^¹

II. Dérivée d’une fonction composée

Théorème :

Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I, et g définie et dérivable sur un intervalle J contenant ^{f I}

( )

^,

alors gof est dérivable sur I, et pour tout x de I, ^gof ^'

( )

^x ⁼ ^f ^'

( )

^x ^{ }^g^'_^{f x}

( )

^_^.

Exemple 8 : Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par ^{h x}( )⁼^e^x^{² 1}⁺

On considère les fonctions f et g définies par : ^{f x}

( )

⁼^x^{² 1}⁺ ^et^{g x}( )⁼^e^x^.Alors ^{h x}

( )

⁼^{gof x}

( )

On a : ^f ^'

( )

^x ⁼²^x^et^g^'( )^x ⁼^e^x^donc

( ) ( ) ( )

( )

^{² 1}

' ' '

' 2 ^x

h x f x g f x h x xe ⁺

=   

=

Exemple 9 : Déterminer les dérivées des fonctions h suivantes :

( ) (

³

)

⁴

h x1 = x +5x h x2

( )

= x³+5x h x3

( )

=exp x

(

³+5x

)

h x4

( )

=ln x

(

³+5x

)

Exemple 10 : Déterminer les dérivées des fonctions h suivantes :

5( )

h x = 3x²+4 x 1− h x6

( ) (

= 2x²−3x 5+

)

² h7

( )

x =2e¹^x

Magnard : Exercices résolus 3& 4 page 143

(5)

Cas particuliers importants : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction h est dérivable sur I et pour tout x de I,

( )

h x est défini par ^{h' x}

( )

⁼

Si n est un entier relatif non nul, avec n >0

ou avec n<0 et si la fonction u ne s’annule en aucun

réel de I h x1

( )

=uⁿ

( )

x ^{n u' x}^

( )

^^u^{n 1}⁻

( )

^x

Si de plus ^{u x}

( )

^⁰ sur I h2

( )

x = u x

( ) ( ) ( )

u' x 2 u x

( ) ( )

^{u x}^{( )}

h x3 =exp u x =e u' x exp u x

( )



( )

 = u' x

( )

e^{u x}^{( )}

Si de plus ^{u x}

( )

^⁰sur I h x4

( )

= ln u x

( )



( ) ( )

u' x u x

III. Convexité d’une fonction

Définition de la convexité à partir des cordes Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe.

Définitions : Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

- La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses cordes.

- La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses cordes.

Fonction convexe Fonction concave

(6)

Définition de la convexité à partir des tangentes

Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.

- La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.

- La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

Fonction convexe Fonction concave Propriétés :

- La fonction carré 𝑥 ⟼ 𝑥² est convexe sur ℝ.

- La fonction cube 𝑥 ⟼ 𝑥³ est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[.

- La fonction inverse 𝑥 ⟼ ¹

𝑥 est concave sur ]−∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.

- La fonction racine carrée 𝑥 ⟼ √𝑥 est concave sur [0 ; +∞[.

(7)

IV. Fonction convexe et dérivée première et seconde

Propriété : Soit une fonction 𝑓 définie et dérivable sur un intervalle I.

Dire que la fonction 𝑓 est convexe sur I, revient à dire que sa dérivée 𝑓′ est croissante sur I, soit : ^f^"

( )

^x ^⁰^,pour tout x de I.

Dire que la fonction 𝑓 est concave sur I, revient à dire que sa dérivée 𝑓′ est décroissante sur I, soit : ^f^"

( )

^x ^⁰^, pour tout x de I.

Démonstration au programme :

- Démontrons que 𝑓 est convexe, si 𝑓′ est croissante : Soit 𝑇 ∶ 𝑦 = 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎). Et soit C : 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Montrer que 𝑓 est convexe revient à montrer que la courbe C est située au-dessus de ses tangentes. On veut donc montrer que sur I, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑦

On considère la fonction g dérivable sur I et définie par : 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑎).

Alors : 𝑔′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑓^′(𝑎).

Or 𝑓′ est croissante sur I, donc 𝑔′ est également croissante.

De plus, 𝑔′(𝑎) = 0. Donc 𝑔′ est négative pour 𝑥 ≤ 𝑎 et positive pour 𝑥 ≥ 𝑎.

On peut donc compléter le tableau de variations de 𝑔.

En effet : 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑓^′(𝑎)(𝑎 − 𝑎) − 𝑓(𝑎) = 0 Donc 𝑔(𝑥) ≥ 0 sur I.

Soit 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓^′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

On en déduit que la courbe représentative de 𝑓 est au- dessus de ses tangentes sur I et donc que 𝑓 est convexe sur I.

- Démonstration analogue pour prouver que 𝑓 est concave, si 𝑓′ est décroissante.

Exemple 11 : Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = ¹

3𝑥³ − 9𝑥²+ 4.

Étudier la convexité de la fonction 𝑓.

Pour tout x de ℝ, on a : 𝑓′(𝑥) = 𝑥²− 18𝑥.

Pour tout x de ℝ, on a : 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 − 18 qui s’annule pour 𝑥 = 9.

Pour tout 𝑥 ≤ 9, 𝑓′′(𝑥) ≤ 0. Pour tout 𝑥 ≥ 9, 𝑓′′(𝑥) ≥ 0.

Donc 𝑓 est concave sur ]−∞ ; 9] et 𝑓 est convexe sur [9 ; +∞[.

(8)

V. Tangente et point d’inflexion

Définition : Soit une fonction 𝑓 dérivable sur un intervalle I.

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point.

Propriétés : Une courbe admet un point d’inflexion si et seulement si la dérivée seconde de la fonction s’annule et change de signe.

Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.

Exemple 12 : On considère la fonction cube 𝑥 ⟼ 𝑥³. La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses.

Pour 𝑥 ≤ 0, la courbe est en dessous de sa tangente.

Pour 𝑥 ≥ 0, la courbe est au-dessus de sa tangente.

La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe.

Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube.

Exemple 13 : Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.

Le coût de fabrication 𝐶 (en milliers d'euros) de 𝑥 milliers de clés produites s'exprime par : 𝐶(𝑥) = 0,05𝑥³− 1,05𝑥²+ 8𝑥 + 4.

1) À l'aide de la calculatrice graphique, conjecturer la convexité de la fonction 𝐶.

En déduire si la courbe possède un point d'inflexion.

2) Démontrer ces résultats.

3) Interpréter les résultats obtenus au regard du contexte de l’exercice.

1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle

[7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour 𝑥 = 7.

2) 𝐶(𝑥) = 0,05𝑥³− 1,05𝑥²+ 8𝑥 + 4 Donc : 𝐶′(𝑥) = 0,15𝑥²− 2,1𝑥 + 8 Et : 𝐶′′(𝑥) = 0,3𝑥 − 2,1

Or, 0,3𝑥 − 2,1 = 0 pour 𝑥 = 7.

On peut ainsi résumer les variations de 𝐶′ et la convexité de 𝐶 dans le tableau suivant :

(9)

𝑥 0 7 10 𝐶′′(𝑥) − 0 +

𝐶′(𝑥)

Convexité de 𝐶 concave convexe

𝐶(7) = 25,7. Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe.

3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication 𝐶 s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie.

Ainsi, à partir de 7 000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère.

Exemple 14 : Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 2𝑥². a) Étudier la convexité de la fonction 𝑓.

b) Déterminer l’équation de la tangente à la fonction 𝑓 en –1.

c) En déduire que pour tout réel 𝑥 négatif, on a : 𝑥³− 2𝑥² ≤ 7𝑥 + 4.

a) Pour tout x de ℝ, on a : 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² − 4𝑥.

Pour tout x de ℝ, on a : 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 4 qui s’annule pour 𝑥 = ²

3.

Pour tout 𝑥 ≤ ²

3 : 𝑓′′(𝑥) ≤ 0. Pour tout 𝑥 ≥ ²

3 : 𝑓′′(𝑥) ≥ 0.

Donc 𝑓 est concave sur ]−∞ ;²

3] et 𝑓 est convexe sur [²

3 ; +∞[.

b) L’équation de la tangente à la courbe de la fonction 𝑓 en –1 est de la forme : 𝑦 = 𝑓^′(−1)(𝑥 − (−1)) + 𝑓(−1)

Or, 𝑓^′(−1) = 3 × (−1)²− 4 × (−1) = 7 et 𝑓(−1) = (−1)³− 2 × (−1)² = −3 Donc, l’équation de la tangente en –1 est : 𝑦 = 7(𝑥 + 1) − 3 Soit : 𝑦 = 7𝑥 + 4 c) 𝑓 est concave sur ]−∞ ;²

3] donc sur cet intervalle, la courbe représentative de 𝑓 est située en dessous de ses tangentes.

Soit, en particulier, la courbe de 𝑓 est située en dessous de la tangente en –1.

On a ainsi, 𝑓(𝑥) ≤ 7𝑥 + 4 sur ]−∞ ;²

3].

Soit 𝑥³− 2𝑥² ≤ 7𝑥 + 4 sur ]−∞ ;²

3] et donc en particulier pour tout x négatif.

(10)

Exemple 15 : f x( ) x³ 6 ²x 3x 2 pour x

1) Etudier le sens de variation de f’

2) Quels sont les intervalles où la fonction est convexe ? concave ? Préciser les coordonnées des points d’inflexion éventuels

3) A l’aide da la calculatrice, vérifier que les résultats sont cohérents avec l’allure de la courbe représentative de f.

( ) 3 6 ² 3 2 pour IR '( ) 3 ² 12 3

''( ) 6 12

''( ) 0 pour 2 et (2) 8 24 6 1 8 et '(2) 12 24 3 9

f x x x x x

f x x x

f x x

f x x f f

Point d’inflexion I 2; 8 et tangente au point I de coefficient directeur -9

2 3 4 5 6

-1 -2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19

0 1

1

x y