PRODUIT SCALAIRE de l'espace

Prof/ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 1 Cours : PRODUIT SCALAIRE avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB 2BAC série science expérimental filière : svt+pc

avec Exercices avec solutions http:// xriadiat.e-monsite.com

Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale

1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux

3) Produit scalaire et norme

4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace

6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM. k

7) Equation cartésienne d'un plan définie par un point et un vecteur normal 8) positions relatifs de deux plans dans l’espace

9) distance d'un point à un plan 10) Etude analytique de LA SPHERE

La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann

(1809 ; 1877), ci-contre.

Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.

1) Le produit scalaire de deux vecteurs l’espace Définition 1 :Soit u et v deux vecteurs de l’espace. Et soient A ; B et C trois points l’espace tel que : uAB et vAC

le produit scalaire deu et v dans l’espace est le produit scalaire de AB parAC dans le plan

ABC, noté u v.

remarques: 1)u v. est un nombre réel définit par Si u0 ou v0 alors u v. 0

Si u0 et v0 alors soit Hle projeté orthogonal de C sur la droite  ^{AB et alorsu v. AB AC.  AHAB}

c a d u v. AB AC. AHAB si AB et AH ont le même sens

. .

u vAB AC AHAB si AB et AH ont un sens contraire

2)toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan sont aussi vraies dans l’espace

Définition2 : Soit u et v deux vecteurs de l’espace.

On appelle produit scalaire de u par v, noté u v. , le nombre réel définit par :

- u v. 0, si l'un des deux vecteurs u et v est nul - ^{u v.  u  v cos}

 

.

u v se lit "u scalaire v".

2)Vecteurs orthogonaux

Définition :On dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux dans l’espace si u v. 0

Et on écrit : uv

Exemple : Soit ABCDEFGH un cube de côté a Calculer les produits scalaires suivants :

PRODUIT SCALAIRE de l'espace

.

AF GC ; AF CD. et DH DC. et EH GC. et AE DB. Réponse :1)calcul de AF GC. :on a : GCEA car ABCDEFG cube

. . . ²

AF GCAF EA AF AE AE AE  a (carE est le projeté orthogonales de

F sur  ^AE

2)calcul de AF CD. :

Puisque ABCD est un carré on a : CDBA

donc :AF CD. AF BA.  AB AB  a² (carB est le projeté orthogonales de F sur  ^AB

3)calcul de DH DC. : Puisque DCGH est un carré on a :

. 0

DH DC (DH DC) 4)calcul de EH GC. :

. . 0

EH GCEH HD (DH EH) donc : EH GC

5)calcul de AE DB. :

On a :   ^{AE  ABC} ^donc    ^{AE  DB car}

  ^{DB  ABC} ^{donc :} AE DB. 0 3) Produit scalaire et norme

3-1 Définition: Soit un vecteur u de l’espace.et deux points A et B tels que u AB.La norme du vecteur u, notée u est la distance AB.

2 .

u  u  u u et

2 2 2 2

u  u AB AB 3-2) propriétés :Pour tous vecteurs u, v et w de l’espace., on a :

1) u v. v u.

2) ^{u k v.}

 

3) ^{u v.}





 

5)

 

  

7) u   0 u 0 8) ku  k u 9)^{u v. 1}₂





et ^{u v. 1}₂





10) uv  u  v 11)u v.  u  v 12)Soit A, B et C trois points de l’espace.

On a : ^{. 1}





AB AC 2 AB AC BC

Application : 1) Soit A , B et C des points de l’espace tel que AB 5 et AB AC. 3

Calculer





Solution :









2AB AB. 2AB AC. 2AB² 2 3

    

2AB² 2 3 2 5 6 4

      

2) sachant que u 2 et v 3et u v 5 Calculer :u v. :

On a : ^{u v. 1}₂





^

^

4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace

Soit O un point de l’espace

On pose : i0I et j0J et k0K

Définition1 : on dit qu’un triplet





i et j et k sont non coplanaires et normés et orthogonaux deux a deux c a d : i 1 et j 1 et

1

k  et i j. 0 et j k. 0 et i k. 0

Définition2 : on dit que





orthonormé dans l'espace et seulement si





base orthonormé Exemples :

(La figure représente un cube dans les trois cas)

Coordonnées d'un vecteur relativement à une base : si





tels que : uxiy jzk

Ce triplet (x ; y ; z ) est appelé coordonnées du vecteur relativement à la base





Voyons maintenant comment exprimer le produit scalaire dans l'espace à l'aide des coordonnées des vecteurs.

5) analytique du produit scalaire dans l'espace :





(Dans tout ce qui va suivre)

Soient : uxiy jzk et vx i y j z k deux vecteurs de l'espace

  

.

u v xiy jzk x i y j z k .

u vxx ii yy j j zz kk cari j. 0et j k. 0et i k. 0 .

u vxxyyzzpuisque: i 1et j 1 et k 1 On a donc la propriété suivante :

Propriété :

1)Dans une base orthonormé on considère deux vecteurs

 ^{; ;} 

u x y z et ^{v x y z} ^{  ; ;} ^{alors :u v. xxyyzz.}

et u  x²y²z²

2)Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, soient A et B de coordonnées respectives A x A^;y zA^; Aet

 B^; B^; B

B x y z

alors : AB xB xA ² yByA ² zBzA²

Exemple : dans une base orthonormé





2 2

w i k 1)Est-ce que les vecteursuet usont orthogonaux ? 2)Calculer :la norme du vecteur w

Solution : 1)

 ^{5 1 1 5 0}    ^{1 5 5 0}

u v             Donc : uv

2

1 2 3 1 3 4

0 1

2 2 4 4 4

w             on dit que w est un vecteur unitaire

Exercice1 : dans une base orthonormé





considère les vecteurs ^{u ;}^{3 2 1 ;}  ^{et v ; ;}^{2 1 0}

Calculer : ^{cos ;}

 

Solution : ^{cos ;}

 

6) L'ensemble des points dans l'espace tq : .

u AM k

Propriété :soit ^{u a b c} ^{; ;} un vecteur non nul et

 A^; A^; A

A x y z un point de l’espace et k

L’ensemble des points ^{M x y z} ^{; ;} dans l'espace tq : .

u AM k c’est un plan d’équation qui s’écrit sous la forme : axbycz d 0

Cette équation est appelée équation cartésienne du plan . Preuve :AM x( x_A;yy z_A; z_A)

     

. _{A A A}

u AM  k a xx b yy c zz k

 _{A A A}  ⁰

ax by cz ax by cz k

       

L’ensemble des points dans l'espace tq : u AM. k c’est un plan d’équation qui s’écrit sous la forme :

0

axbycz d avec : d  axAbyAczAk

Exemple : soit ^u^{2;1; 1} un vecteur et ^A^{1; 1; 2}  ^un

point de l’espace

Déterminer L’ensemble  ^P des points ^{M x y z} ^{; ;} ^dans

l'espace tq : u AM  1

Solution : soit^{M x y z} ^{; ;}  un point de l’espace

 ^{; ;}    ¹

M x y z  P  u AM  

     

2 x 1 y 1 z 2 1

        2x   y z 2 0 Cette équation s’écrit sous la forme :

0 axbycz d

Donc : L’ensemble des points dans l'espace tq : 1

u AM   est le plan  ^P d’équation : 2x   y z 2 0

7) Equation cartésienne d'un plan definit par un point et un vecteur normal

Définition :

Un vecteur non nul est dit normal au plan si, pour tous points et de , on a

Remarque : Il existe évidemment une infinité de vecteurs normaux à un plan : ce sont tous les vecteurs colinéaires au vecteur .

Propriété :Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Remarque : Cette propriété va nous permettre d'une part de vérifier facilement qu'un vecteur est normal à un plan et, d'autre part, de déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan.

Démonstration :

La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque.

Soient et deux vecteurs non colinéaires d'un plan , un vecteur de et un vecteur orthogonal à et . Il existe donc deux réels et tels que .

Ainsi

Le vecteur est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan . Il lui est par conséquent orthogonal.

Exemple1 : déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan dirigé par ^u^{2; 1;3} ^etv^{4; 0; 2}

Solution :Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires : une coordonnée est nulle pour l'un mais pas pour l'autre.

On note . ^{n x y z} ^{; ;} 

Puisque est normal au plan dirigé par et alors

et .

On obtient ainsi les deux équations 2x y 3z0et 4x2z0

A l'aide de la deuxième équation, on obtient .z 2x On remplace dans la première :

. On choisit, par exemple et on trouve ainsi .

^{1; 4; 2}

v  

On vérifie : et

.

Un vecteur normal au plan dirigé par les vecteurs et est

^{1; 4; 2}

n  

Exemple2 :Deux cubes d'arête 1, sont disposés comme indiqué sur la figure.

M est le milieu du segment [GK].

La droite (DL) est-elle perpendiculaire au plan (FMI)?

Solution : on se place dans le repère





orthonormé

Voyons si DLest un vecteur normal au plan (FMI) Il suffit de calculer: DL FM et DL FI

On a : DL AD2ABAE donc :^DL^{2; 1;1} 

On a : 1

FMFG GM AD2AB donc : 1

;1; 0 FM2 

 

  On a : FI FBBI  AEAB donc :^FI^{1; 0; 1} 

0

DL FM  et DL FI  1 0

Donc : (DL) n’est pas perpendiculaire au plan (FMI) Exercice2 : ABCDEFGHun cube tel que : AB1 avec

Ile milieu du segment  ^{EH et J}le milieu de  ^EF

1)Montrer que AG EB 0 et que AG ED 0 2) En déduire que le vecteur EG est normal au plan

^BDE

3) Montrer que les vecteurs FI etCJ sont orthogonaux 4)l’espace étant rapporté au repère





a) déterminer les coordonnées des points F; C;I et J

B)Montrer que FI CJ 0

et en déduire que FI etCJ sont orthogonaux Propriété :Soient aet b et cdes réels non tous nuls quelconque . L'ensemble  ^P des points ^{M x y z} ^{; ;} ^tels

que axbycz d 0 est un plan dont un vecteur normal est ^{n a b c} ^{; ;} ^.

Exemple1 : On considère le plan d'équation

4x2y3z 1 0 . Un vecteur normal à ce plan est

^{4; 2;3}

n  . Le point^A^{2; 1; 3 }  appartient au plan car : .

Exemple2 : On cherche une équation du plan passant par

^{4; 2; 3}

A  dont un vecteur normal est ⁿ^{1; 2; 1 }  ^:

Une équation du plan est de la forme .

2 0

x y  z d

Le point appartient au plan. Ses coordonnées vérifient donc l'équation :

Une équation de est donc x2y  z 3 0

Exemple3: ABCDEFGHun cube tel que : AB1 avec Ile milieu du segment  ^AE

On se place dans le repère





1) déterminer un vecteur normal au plan ^CHI

2) En déduire une équation cartésienne du plan ^CHI

Solution :1)soit un ^{n x y z} ^{; ;} un vecteur normal au plan

^CHI^{donc . 0}

. 0

n CH n CI

 



 

On a : ^CH^{1; 0;1} ^et 1; 1;¹ CI  2

 

Donc :

0

1 1

0 0

2 2

x z z x

x y z x y x

   

 

 

       

 

 

1 2 z x

y x

 

   

Puisque on veut un seul vecteur normal Alors on donne par exemple : x2 on trouve

2 1 z y

 

  donc un vecteur normal est ⁿ^{2; 1; 2} 

2)l’équation du plan s’écrit sous forme : 0

axbycz d

Donc : 2x y 2z d 0

Et puisque : ^C^1;1;0 ^{ CIH} ^{donc :}

2 1 0      d 0 d 1

Donc : ^CIH^{: 2x y 2z 1 0}

Exercice3 : déterminer un vecteur normal au plan  ^{P dans}

les cas suivants

1)  ^{P : 2x3y z 100 2)}  ^{P 3x  z 1 0}

3)  ^{P y  z 1 0 4)}  ^{P z2}

5)  ^{P :x2y7z 3 0 6)}  ^{P : 2y  z 11 0}

Solution :1) ⁿ^{2; 3;1}  ^{2) n}^{3; 0; 1}  ^{3) n}^0;1;1

4) ⁿ^{0; 0;1} ^{5) n}^{1; 2; 7}  ^{6) n}^{0; 2; 1} 

Exercice4: L'espace est muni d'un repère orthonormé





et le vecteur ⁿ^{1; 2;1}

1)déterminer une équation du plan  ^P passant parA dont un vecteur normal est n

2)donner une représentation paramétrique de la droite ^D

qui passe par le point Bet orthogonale au plan  ^P

3)Déterminer les coordonnées du pointBla projection orthogonale de Bsur le plan  ^P

Solution :1) méthode :

 ^{; ;}   

M x y z  P  AM n 0 on a : ^{AM x} ^{1; ;y z2}

^{x 1} ^{1 y 2 1} ^{z 2} ⁰

        

1 2 2 0

x y z

      Donc : x2y z  1 0 ^P

Autre méthode :

L’équation d’un plan s’écrit sous forme : 0

axbycz d or ⁿ^{1; 2;1} est un vecteur normal à ce plan donc : a1et b1et c1

Donc L’équation devient : 1x2y  1z d 0 ^P

Et on sait que le plan ^{P passe parA}^{1; 0; 2}

Donc :        ^{1 2 0 1 2 d 0} cad d  1 Donc :  ^{P x2y  z 1 0}

2) la droite ^D passe par le point ^B^3;1;0et orthogonale au plan  ^{P donc : n}^{1; 2;1}est un vecteur directeur a la droite  ^D

Donc une représentation paramétrique de la droite ^{D est :}

1 3 2 1 1 0 x k y k z k

  

  

  



avec ^k 

3) Best la projection orthogonale de Bsur le plan  ^P

donc :^{B } ^{D et B } ^P

Donc Best le point d’intersection de la droite  ^D

Et le plan  ^P

Donc les cordonnées de B sont solutions du système :

2 1 0

1 3

2 1

1 0

x y z x k y k z k

   

  

  

  



On remplace : xet y et z dans l’équation de  ^P

On trouve : ^{k 3 2 2} ^{k   1} ^{k 1 0}

Donc : 6k 4 0 Donc : 2 k  3

Donc: 2 7

3 3 3

x    et ⁴ ₁ ¹

3 3

y     et ² ₀ ²

3 3

z    

Par suite : ⁷_; ¹_; ²

3 3 3

B   

8) positions relatifs de deux plans dans l’espace Proposition :Soient :  ^{P :axbycz d 0}

et  P  _{:a x b y c z d0} deux plans dans l’espace et ^{n a b c} ^{; ;}  ^{et n a b c   } ^{; ;}  deux vecteurs normaux respectivement a  ^{P et}  ^{P }

1)Les plans  ^{P et}  ^{P } sont parallèles ssi net n _sont colinéaires

2)Les plans  ^{P et}  ^{P } sont sécants ssi net n sont non colinéaires

3)Les plans  ^{P et}  ^{P } sont perpendiculaires ssi net n sont orthogonaux

Exemple : On considère les plans d'équations :

 ^{P 2x4y  z 1 0 et}  ^{P x y 2z 3 0}

1)Monter que :  ^{P }

 

2)Déterminer l'équation cartésienne du plan  ^{Q parallèle}

au plan ^P passant par le point ^A^{1; 1;1} 

Solutions :1)ⁿ^{2; 4;1}  ^{et n}^{1;1; 2} les deux vecteurs normaux respectivement de  ^{P et}  ^{P }

On a : n n    . 2 4 2 0

Donc nn par suite :  ^{P }

 

2)    ^{P Q et} n est normal a ^{P donc n}^{2; 4;1} ^est

un vecteur normal a  ^Q

Donc une équation cartésienne du plan  ^{Q est :}

2x4y  z d 0

Et puisque : ^A^{1; 1;1}   ^{ Q donc :}

2 4 1      d 0 d 7 Donc :  ^{Q : 2x4y  z 7 0}

9) distance d'un point à un plan

Proposition :Soient : A x A^;y zA^; A un point et ^{P :}

0

axbycz d un plan dans l’espace avec

^{a b c; ;}  ^{ 0;0;0}et H est le projeté orthogonal de A sur le plan

la distance du point A au plan  ^{P est la}

distance AH et on a : ^{d A P} ^;  ^{axA by}₂ ^A ₂^czA₂ ^d

a b c

  

  

Remarque : pour tout point M du plan  ^P on a AH AM

RPEUVE : ^{n a b c} ^{; ;}  est normal a ^P pour tout point M du plan on a n AM. n AH. 

 ^A  ^A  ^A ^cos





a x x b y y c z z n AH n AH

        

 

² ² ² cos ;

A A A

ax by cz ax by cz a b c AH n AH

           Or ^M ^{P donc axbycz d 0}

Donc : axbycz d

 

² ² ² cos ;

A A A

ax by cz a b c AH n AH

        

 

² ² ² 1

A A A

ax by cz d a b c AH

         

 

² ² ² 1

A A A

ax by cz d a b c AH

         

² ² ²

A A A

ax by cz d

AH a b c

  

 

Exemple : On considère le plan ^P d'équations :

2 2 6 0

x y z  et le point ^A^5;1;0

Calculer la distance du point A au plan  ^{P .}

Solution :





3 3

1 2 2

d A P     

  

 

Exercice5 : L'espace est muni d'un repère orthonormé





1)Les points A(1;1;2) et B(2;1;1) appartiennent-ils au plan

 ^{P ?}

2)Calculer la distance AB puis les distances de ces deux points A et B au plan  ^{P .}