1S:Dm 8 Correction Devoir maison 8 2015-2016
EXERCICE 1 :
Un grand lessivier commercialise son produit pour lave-vaisselle sous forme solide. Les doses se présentent sous forme parallélépipède rectangle de dimensionsx, y et 2xen centimètres (16x62). Chaque lavage nécessite une dose de 12 cm3.
Pour économiser l’emballage, on cherche à avoir une surface totale minimale.
1. Expression dey en fonction dex: on doit avoirV = 12⇔2x×x×y= 12⇔ y= 6 x2 . 2. (a) La surface totale de ce parallélépipède est égale à la somme des aires des 6 faces.
S(x) = 2(2x×x+x×y+ 2x×y)
= 2(2x2+ 3xy)
= 4x2+ 6x× 6 x2
= 4x2+36 x
(b) S est dérivable sur [1; 2] et pour toutx∈[1; 2], S′(x) = 8x−36
x2 =8x3−36
x2 = 8(x3−92)
x2 . Comme 8 x2 >0, S′(x) a le même signe quex3−9
2. 3. Étude d’une fonction auxiliaire
(a) La fonction x7→x3 est strictement croissante sur [1; 2] par conséquentx7→x3− 9
2 l’est aussi (voir leçon 3 :http://www.mimaths.net/spip.php?rubrique180), on obtient donc le tableau de variations suivant
x Signe def′(x) Variations def
1 2
+
−72
−72
7 2 7 2
α
0
(b) D’après le tableau de variations, toutes les valeurs de l’intervalle I =
−72;72
ont un antécédent unique dans l’intervalle [1; 2] ; c’est le cas pour 0 qui appartient àI. Ainsi l’équationu(x) = 0 a une unique solution αdans [1; 2] et par balayage à la calculatrice, on trouveα≈1,7 à 0,1 près. (la valeur exacte estα=q3
9 2) (c) Le signe deu(x) suivant les valeurs de xet donc deS′(x) est résumé dans le tableau suivant
x Signe deu(x)
1 α 2
− 0 + 4. Tableau de variations deS :
x Signe deS′(x) Variations deS
1 α 2
− 0 +
40 40
S(α) S(α)
34 34
5. (a) La fonctionSadmet un extremum sur [1; 2] carS′(x) s’annule en changeant de signe, il s’agit d’un minimum.
La surface de l’emballage utilisé sera donc minimale pour un choix dexégal à α.
(b) Les dimensions de la dose correspondante seront donc 1,7, 3.3 et 2,2 (approximativement).
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EXERCICE 2 :
Soitn∈Nun entier naturel.
Soitx1,x2,. . .,xn les valeurs d’une série statistique. On note xsa moyenne etσson écart-type.
Soitk le nombre de valeurs de la série statistique vérifiant
|xi−x|<2σ, avecσ >0.
1. On sait que pourk valeurs de la série,
|xi−x|<2σ⇔(xi−x)<4σ2 donc pour lesn−kvaleurs restantes (en effet on dispose de nvaleurs), on a
|xi−x|>2σ⇔(xi−x)>4σ2(1)
À partir de là, on voit la démarche mais elle est difficile à transcrire. J’introduis donc des notations qui ne relèvent pas du niveau 1S mais tant pis.
On noteIk={i, |xi−x|<2σ},Ik est un ensemble composé dekentiers.
PuisIk = [[1;n]]\Ik qui est composé de tous les entiers de 1 ànprivé desk valeurs deIk (il y en an−k).
On peut donc désormais écrire la somme
n
X
i=1
(xi−x)2=X
i∈Ik
(xi−x)2+X
i∈Ik
(xi−x)2
>X
i∈Ik
(xi−x)2 (n−k termes tous supérieursà 4σ2(1))
>(n−k)×4σ2
d’où
n
X
i=1
(xi−x)2>4(n−k)σ2.
2. On sait que la variance est donnée par :V = 1 n
n
X
i=1
(xi−x)2 donc l’inégalité précédente se traduit de la façon suivante
n
X
i=1
(xi−x)2>4(n−k)σ2 ⇔
V=σ2nV >4(n−k)V ⇔k> 3
4n⇔k>75%n ce qui constitue le résultat attendu.
3. D’après ce qui précède,
« Au moins 75 % des valeurs d’une série statistique appartiennent à l’intervalle [x−2σ;x+ 2σ]. » 4. Dans ce qui précède, il suffit de remplacer « 2σ» par « 3σ». On parvient àk> 8
9nce qui prouve qu’au moins 88% des valeurs d’une série statistique appartiennent à l’intervalle [x−3σ;x+ 3σ].
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