Comment définir l'orientation d'un corps ?

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Comment définir l’orientation d’un corps ?

Marc Renaud

To cite this version:

Marc Renaud. Comment définir l’orientation d’un corps ?. Rapport LAAS n° 96078. 2017. �hal- 01523925�

Comment d´efinir l’orientation d’un corps ?

Quelles relations unissent les d´eriv´ees des param`etres d’orientation aux composantes de la vitesse angulaire du corps

Marc Renaud¹

LAAS-CNRS, Universit´e de Toulouse, CNRS, INSA, Toulouse, France

Rapport LAAS No 96078. Mars 1996

1. Je remercie chaleureusement Patrick Dan`es, Jean-Yves Fourquet et Philippe Sou`eres pour leur aide concernant la r´ealisation de cet article.

R´esum´e

Nous pr´esentons dans cet article divers choix de param`etres - plus ou moins redondants - permettant de d´efinir l’orientation d’un corps, par rapport

`

a un espace. Plus pr´ecis´ement nous examinons les composantes du vecteur rotation, les param`etres de la rotation finie, les param`etres d’Euler complets ou incomplets, les angles d’Euler classiques ou non, les cosinus directeurs complets ou incomplets et les param`etres de Cayley-Klein.

Puis nous ´etablissons les relations qui unissent les d´eriv´ees de ces pa- ram`etres aux composantes de la vitesse angulaire du corps.

Apr`es avoir ´etabli les relations entre les param`etres et les angles d’Euler classiques nous examinons comment composer les orientations selon que l’on utilise les matrices de passage, les quaternions ou les param`etres de Cayley- Klein.

Nous proposons en conclusion le choix des param`etres d’Euler qui offrent le meilleur compromis entre une l´eg`ere redondance et une grande facilit´e `a composer les orientations.

Mots-cl´es : Orientation (ou Attitude), Param`etres d’orientation, Matrice de passage (ou de changement de base), Quaternion, Vi- tesse angulaire.

Table des mati` eres

1 Introduction 8

2 D´efinitions et notations g´en´erales 12

2.1 Vecteurs, tenseurs et composantes . . . . 12

2.2 Op´erations entre vecteurs et tenseurs et op´erations matricielles entre composantes . . . . 14

2.2.1 Changement de base . . . . 15

2.3 D´efinition de l’orientation et de la vitesse angulaire . . . . 16

3 D´efinitions et calculs concernant le premier ensemble de pa- ram`etres d’orientation 18 3.1 D´efinition du vecteur rotation ε et des vecteurs t et s . . . . . 18

3.2 Calcul du tenseur τ, repr´esentant la rotation de vecteur ε, en fonction de ε, t, ou s etc . . . . 20

3.2.1 Calcul de τ en fonction deε . . . . 21

3.2.2 Calcul de τ en fonction det . . . . 21

3.2.3 Calcul de τ en fonction des etc. . . . 22

3.2.4 Calcul de la matriceR en fonction des composantes du tenseur τ . . . . 22

3.3 Calcul de ε, t, ou s etc en fonction deτ . . . . 22

3.4 Calcul deω en fonction de ˙ε(connaissant ε), de ˙t(connaissant t), ou de ˙s et ˙c (connaissant s et c) . . . . 23

3.4.1 Calcul de ω en fonction de ˙ε (connaissant ε) . . . . 24

3.4.2 Calcul de ω en fonction de ˙t (connaissant t) . . . . 24

3.4.3 Calcul de ω en fonction de ˙s et ˙c(connaissant s etc) . 24 3.5 Calcul de ˙ε (connaissant ε), de ˙t (connaissant t), ou de ˙s et ˙c (connaissant s et c), en fonction de ω . . . . 25

3.5.1 Calcul de ˙ε (connaissant ε) en fonction de ω . . . . 25

3.5.2 Calcul de ˙t (connaissant t) en fonction de ω . . . . 25 3.5.3 Calcul de ˙s et ˙c(connaissant s etc) en fonction de ω . 25

4 Premier ensemble de param`etres d’orientation 26

4.1 Composantes du vecteur rotation : param`etres ξ,η,ζ . . . . 26

4.1.1 Calcul de R en fonction deξ, η, ζ . . . . 26

4.1.2 Calcul de ξ, η, ζ en fonction deR . . . . 27

4.1.3 Calcul de ˙ξ,η,˙ ζ˙ en fonction de ω_x, ω_y, ω_z (connaissant ξ, η, ζ) . . . . 29

4.1.4 Calcul de ω_x, ω_y, ω_z en fonction de ˙ξ,η,˙ ζ˙ (connaisant ξ, η, ζ) . . . . 29

4.2 Param`etres de la rotation finie u, v, w . . . . 29

4.2.1 Calcul de R en fonction deu, v, w . . . . 30

4.2.2 Calcul de u, v, w en fonction de R . . . . 30

4.2.3 Calcul de ˙u,v,˙ w˙ en fonction de ω_x, ω_y, ω_z (connaisant u, v, w) . . . . 30

4.2.4 Calcul deω_x, ω_y, ω_z en fonction de ˙u,v,˙ w˙ (connaissant u, v, w) . . . . 31

4.3 Param`etres d’Euler complets c, p, q, r . . . . 31

4.3.1 Calcul de R en fonction dec, p, q, r . . . . 32

4.3.2 Calcul de c, p, q, r en fonction de R . . . . 32

4.3.3 Calcul de ˙c,p,˙ q,˙ r˙en fonction deω_x, ω_y, ω_z(connaissant c, p, q, r) . . . . 33

4.3.4 Calcul deω_x, ω_y, ω_zen fonction de ˙c,p,˙ q,˙ r˙(connaissant c, p, q, r) . . . . 33

4.4 Param`etres d’Euler incompletsp, q, r . . . . 34

4.4.1 Calcul de R en fonction dep, q, r . . . . 34

4.4.2 Calcul de p, q, r en fonction deR . . . . 34

4.4.3 Calcul de ˙p,q,˙ r˙ en fonction de ω_x, ω_y, ω_z (connaissant p, q, r) . . . . 36

4.4.4 Calcul de ω_x, ω_y, ω_z en fonction de ˙p,q,˙ r˙ (connaissant p, q, r) . . . . 36

5 Deuxi`eme ensemble de param`etres d’orientation 38 5.1 Angles de Bryant . . . . 38

5.1.1 Calcul de R en fonction deλ, µ, ν . . . . 39

5.1.2 Calcul de λ, µ, ν en fonction de R . . . . 39

5.1.3 Calcul de ˙λ,µ,˙ ν˙ en fonction deω_x, ω_y, ω_z (connaissant λ, µ, ν) . . . . 39

5.1.4 Calcul de ωx, ωy, ωz en fonction de ˙λ,µ,˙ ν˙ (connaissant λ, µ, ν) . . . . 40

5.2 Angles de d’Euler classiques . . . . 40

5.2.1 Calcul de R en fonction deψ, θ, ϕ . . . . 41

5.2.2 Calcul de ψ, θ, ϕ en fonction de R . . . . 41

5.2.3 Calcul de ˙ψ,θ,˙ ϕ˙ en fonction deω_x, ω_y, ω_z (connaissant

ψ, θ, ϕ) . . . . 41

5.2.4 Calcul deω_x, ω_y, ω_z en fonction de ˙ψ,θ,˙ ϕ˙ (connaissant ψ, θ, ϕ) . . . . 41

5.2.5 Comparaison des notations selon les auteurs . . . . 42

5.3 Angles d’Euler non classiques . . . . 42

5.3.1 Angles a´eronautiques [3] . . . . 43

5.3.2 Angles nautiques [3] . . . . 44

6 Troisi`eme ensemble de param`etres d’orientation 46 6.1 Cosinus directeurs complets x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;y⁰_x, y_y⁰, y_z⁰;z_x⁰, z_y⁰, z_z⁰ . . . . 46

6.1.1 Calcul de R en fonction dex⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;y_x⁰, y_y⁰, y_z⁰;z_x⁰, z_y⁰, z⁰_z 46 6.1.2 Calcul de x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;y_x⁰, y_y⁰, y_z⁰;z_x⁰, z_y⁰, z⁰_z en fonction deR 46 6.1.3 Calcul de ˙x⁰_x,x˙⁰_y,x˙⁰_z; ˙y⁰_x,y˙_y⁰,y˙_z⁰; ˙z_x⁰,z˙_y⁰,z˙_z⁰ en fonction de ω_x, ω_y, ω_z (connaissant x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;y_x⁰, y_y⁰, y_z⁰;z_x⁰, z_y⁰, z⁰_z) . . 47

6.1.4 Calcul deω_x, ω_y, ω_zen fonction de ˙x⁰_x,x˙⁰_y,x˙⁰_z; ˙y⁰_x,y˙_y⁰,y˙_z⁰; ˙z_x⁰,z˙_y⁰,z˙_z⁰ (connaissant x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;y_x⁰, y_y⁰, y_z⁰;z_x⁰, z_y⁰, z_z⁰) . . . . 47

6.2 Cosinus directeurs incomplets x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;z_x⁰, z_y⁰, z⁰_z . . . . 47

6.2.1 Calcul de R en fonction dex⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;z_x⁰, z_y⁰, z_z⁰ . . . . . 48

6.2.2 Calcul de x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;z_x⁰, z_y⁰, z_z⁰ en fonction de R . . . . . 48

6.2.3 Calcul de ˙x⁰_x,x˙⁰_y,x˙⁰_z; ˙z_x⁰,z˙⁰_y,z˙_z⁰ en fonction de ω_x, ω_y, ω_z (connaissant x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;z⁰_x, z⁰_y, z_z⁰) . . . . 48

6.2.4 Calcul de ω_x, ω_y, ω_z en fonction de ˙x⁰_x,x˙⁰_y,x˙⁰_z; ˙z_x⁰,z˙_y⁰,z˙_z⁰ (connaissant x⁰_x, x⁰_y, x⁰_z;z⁰_x, z⁰_y, z_z⁰) . . . . 48

7 Quatri`eme ensemble de param`etres d’orientation 50 7.1 Param`etres de Cayley-Klein [3] [18] . . . . 50

8 Relations entre les param`etres et les angles d’Euler 52 9 Composition des orientations 54 9.1 Utilisation des matrices de passage . . . . 54

9.2 Utilisation des quaternions . . . . 55

9.3 Utilisation des param`etres de Cayley-Klein . . . . 56

10 Conclusion 58

Chapitre 1 Introduction

Le but de cet article est de pr´esenter divers choix de param`etres per- mettant de d´efinir l’orientation<sup>1</sup> d’un corps par rapport `a un espace. Plus pr´ecis´ement il s’agit de d´efinir l’orientation d’une base orthonorm´ee directe B⁰, compos´ee de trois vecteurs x⁰, y⁰ et z⁰ li´es `a ce corps - et qualifi´ee de nouvelle - , par rapport `a une base orthonorm´ee directe B, compos´ee de trois vecteurs x, y etz li´es `a cet espace - et qualifi´ee d’ancienne.

L’orientation du corps par rapport `a l’espace, ou de la nouvelle base par rapport `a l’ancienne, peut ˆetre d´efinie par la matrice de passage, ou de changement de base,R, de l’ancienne `a la nouvelle base. Cette matriceR est un ´el´ement du groupe sp´ecial orthogonal `a trois dimensions SO(3) [7] [12]

[15] [22]. Ce groupe n’´etant pas isomorphe `a IR<sup>3</sup> il n’est possible de d´efinir l’orientation pr´ec´edente que localement `a l’aide de coordonn´ees locales de SO(3). L`a r´eside l’une des difficult´es `a d´efinir l’orientation. Dans la suite nous pr´esentons divers choix de coordonn´ees locales : les coordonn´ees de premiere esp`ece[16] - qui sont en quelque sorte les plus naturelles - et divers choix de coordonn´ees de seconde esp`ece [16].

Un second objectif est d’´etablir les relations qui unissent les d´eriv´ees de ces param`etres aux composantes - dans la base B - de lavitesse angulaire ω du corps - par rapport `a cet espace, i.e. par rapport `a la baseB. Pour ´eviter toutes confusions par la suite nous parlerons d’orientation, ou de vitesse angulaire, par rapport `aun espace - ou par rapport `a une base de cet espace - et de composantes d’un vecteur dans une base.

Nous constaterons qu’il n’existe aucun choix de param`etres d’orientation dont les d´eriv´ees s’identifient aux composantes de la vitesse angulaire [4].

C’est une autre des raisons qui font qu’il est difficile de d´efinir l’orientation.

1. ou attitude

Notre souci sera de pr´esenter des calculs qui utilisent un nombre quasi- minimal d’op´erations arithm´etiques (additions, soustractions, multiplications et divisions) et de fonctions math´ematiques (fonctions trigonom´etriques di- rectes et inverses, fonction signe, fonction valeur absolue et fonction racine carr´ee) dans le but de permettre des calculs en-ligne.

Insistons sur le fait que l’utilisation debases, et non derep`eres(bases dont on a sp´ecifi´e l’origine), restreint l’´etude `a la seuleorientationdu corps et non

`

a saposition. En cons´equence dans les figures les origines des diff´erentes bases repr´esent´ees ne jouent aucun rˆole ; elles sont distingu´ees les unes des autres uniquement pour la clart´e de la repr´esentation.

Les diff´erents param`etres d’orientation que nous allons considerer - et qui sont d´efinis pr´ecisement dans la suite de l’article - sont r´epartis en quatre ensembles.

1 - Premier ensemble de param`etres d’orientation :

* les coordonn´ees locales de premi`ere esp`ece de SO(3) [16], ou compo- santes du vecteur rotation,

* des coordonn´ees locales de seconde esp`ece de SO(3) [16] : - les param`etres de la rotation finie,

- les param`etres d’Euler complets, - les param`etres d’Euler incomplets.

2 - Deuxi`eme ensemble de param`etres d’orientation (angles) :

* les angles de Bryant,

* les angles d’Euler classiques,

* les angles d’Euler non classiques.

3 - Troisi`eme ensemble de param`etres d’orientation :

* les cosinus directeurs complets,

* les cosinus directeurs incomplets.

4 - Quatri`eme ensemble de param`etres d’orientation :

* les param`etres de Cayley-Klein,

* etc.

Nous indiquerons ensuite comment d´efinir l’orientation d’une base B⁰⁰ par rapport `a une base B connaissant son orientation par rapport `a une autre base B⁰ et l’orientation de cette base B⁰ par rapport `a la base B. Nous montrerons l’int´erˆet d’utiliser les param`etres d’Euler complets, consid´er´es comme composantes d’un quaternion unitaire pour cette d´efinition.

Pour les diff´erents param`etres d’orientation cit´es nous donnons successi- vement les calculs :

- de la matrice R en fonction de ces param`etres, - de ces param`etres en fonction de la matrice R,

- des d´eriv´ees de ces param`etres en fonction des composantes de la vitesse angulaire (connaissant ces param`etres),

- et des composantes de la vitesse angulaire en fonction des d´eriv´ees de ces param`etres (connaissant ces param`etres).

Le lecteur pourra se servir de ces calculs comme de tables, sans se soucier de leur obtention. S’il d´esire entrer dans les d´etails il devra suivre le plan suivant :

- la deuxi`eme chapitre est consacr´e aux d´efinitions et notations g´en´erales - et la troisi`eme chapitre aux d´efinitions et calculs concernant le premier ensemble de param`etres d’orientation.

Les premier, deuxi`eme, troisi`eme et quatri`eme ensemble de param`etres somt pr´esent´es respectivement dans les quatri`eme, cinqui`eme, sixi`eme et septi`eme chapitres.

Les relations entre les param`etres et les angles d’Euler classiques font l’objet du huiti`eme chapitre alors que le neuvi`eme chapitre pr´esente la com- position des orientations.

Finalement le dixi`eme chapitre pr´esente la conclusion.

Un petit lexique anglais-fran¸cais est propos´e en annexe.

Chapitre 2

D´ efinitions et notations g´ en´ erales

2.1 Vecteurs, tenseurs et composantes

Soit B = (x, y, z) une base orthonorm´ee directe de l’espace vectoriel r´eel euclidien, de dimension 3, IR³. Cette base permet de d´efinir, canoniquement, une base de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre 2 (plus simplement appel´es tenseurs par la suite) ; il s’agit de :

(x⊗x, x⊗y, x⊗z, y⊗x, y⊗y, y⊗z, z⊗x, z⊗y, z⊗z)

(le produit tensoriel ⊗, qui intervient entre 2 vecteurs, sera d´efini ci-apr`es).

Un vecteur quelconquev peut ˆetre ´ecrit comme combinaison lin´eaire des vecteurs de base :

v =v_xx+v_yy+v_zz.

De mˆeme un tenseur quelconque t peut ˆetre ´ecrit comme combinaison lin´eaire des tenseurs de base :

t=txxx⊗x+txyx⊗y+txzx⊗z +t_yxy⊗x+t_yyy⊗y+t_yzy⊗z +t_zxz⊗x+t_zyz⊗y+t_zzz⊗z.

Les composantes du vecteur v, dans la base B, sont group´ees dans la matrice colonne, de dimension 3×1, not´ee :

v_(B) =



 vx

v_y v_z



,

et les composantes du tenseur t, dans la base canoniquement associ´ee `a la base B, dans la matrice carr´ee, d’ordre 3, not´ee :

t_(B) =





t_xx t_xy t_xz t_yx t_yy t_yz t_zx t_zy t_zz



.

A tout vecteur v nous associons le tenseur de pr´e-produit vectoriel ˆv par ce vecteur, d´efini par :

ˆ

v =−v_zx⊗y+v_yx⊗z+v_zy⊗x−v_xy⊗z−v_yz⊗x+v_xz⊗y, et dont la matrice des composantes, dans la base canoniquement associ´ee `a la base B, est la matrice, d’ordre 3 :

ˆ v(B)=





0 −v_z v_y v_z 0 −v_x

−v_y v_x 0



.

A tout tenseurt nous associons le tenseur transpos´et^T, d´efini par : t^T =t_xxx⊗x+t_yxx⊗y+t_zxx⊗z

+t_xyy⊗x+t_yyy⊗y+t_zyy⊗z +t_xzz⊗x+t_yzz⊗y+t_zzz⊗z,

et dont la matrice des composantes, dans la base canoniquement associ´ee `a la base B, est la matrice, d’ordre 3 :

t^T_(B) =





t_xx t_yx t_zx t_xy t_yy t_zy t_xz t_yz t_zz



.

De plus nous utilisons le tenseur unit´eE, d´efini par : E = 1x⊗x+ 1y⊗y+ 1z⊗z,

dont la matrice des composantes, dans la base canoniquement associ´ee `a la base B, est la matrice unit´e E, d’ordre 3 :

E =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

2.2 Op´erations entre vecteurs et tenseurs et op´erations matricielles entre composantes

Soient v(B), v_(B)⁰ , v_(B)⁰⁰ et v⁰⁰⁰_(B) les matrices, de dimension 3×1, des com- posantes des vecteurs v, v⁰, v⁰⁰ et v⁰⁰⁰ dans la base B, et t_(B), t⁰_(B) et t⁰⁰_(B) les matrices, d’ordre 3, des composantes des tenseurs t, t⁰ et t⁰⁰ dans la base canoniquement associ´ee `a la base B.

A - Outre les op´erations classiques d’addition et de produit ext´erieur, ou produit par un scalaire, nous utilisons :

1 - le produit contract´e, g´en´eralisation du produit scalaire, not´e ., op´erant entre deux vecteurs, un tenseur et un vecteur (dans cet ordre) ou deux ten- seurs :

k=v.v⁰, v⁰ =t.v, t⁰⁰ =t.t⁰, tel que :

k =v_(B)^T v_(B)⁰ =v_(B)^0T v_(B), v_(B)⁰ =t(B)v(B),

t⁰⁰_(B) =t_(B)t⁰_(B). 2 - le produit tensoriel entre vecteurs, not´e⊗ :

t=v⊗v⁰, tel que :

t_(B) =v_(B)v_(B)^0T . On peut v´erifier que :

t =v ⊗v⁰ = ˆv⁰.ˆv+ (v.v⁰)E, car en effet la matrice t_(B) est telle que :

t(B) = ˆv_(B)⁰ vˆ(B)+v_(B)^T v_(B)⁰ E.

3 - Dans ces conditions on peut ´egalement v´erifier que le produit vectoriel entre vecteurs, not´e ×, est tel que :

v⁰⁰ =v ×v⁰ =−v⁰ ×v = ˆv.v⁰ =−ˆv⁰.v, car en effet la matrice v_(B)⁰⁰ est telle que :

v⁰⁰_(B) = ˆv(B)v_(B)⁰ =−ˆv_(B)⁰ v(B).

Le tenseur ˆv⁰⁰, de pr´e-produit vectoriel par le vecteur v⁰⁰ =v ×v⁰, (not´e par d´efinition ˆv⁰⁰ =v×vˆ ⁰) est tel que :

ˆ

v⁰⁰ =v×vˆ ⁰ =v⁰⊗v−v⊗v⁰ = ˆv.ˆv⁰ −ˆv⁰.ˆv.

B - Les diff´erentes relations suivantes, que l’on peut d´emontrer ais´ement en consid´erant les composantes, sont utiles pour la suite des calculs :

E.v =v,

(v⊗v⁰).v⁰⁰ = (v⊗v⁰⁰).v⁰ = (v⁰.v⁰⁰)v = (v⁰⁰.v⁰)v, v×(v⁰ ×v⁰⁰) = ˆv.(ˆv⁰.v⁰⁰) = (v.v⁰⁰)v⁰ −(v.v⁰)v⁰⁰,

ˆ

v.(v⁰ ⊗v⁰⁰) = (ˆv.v⁰)⊗v⁰⁰ = (v×v⁰)⊗v⁰⁰, (v⊗v⁰).ˆv⁰⁰ =v ⊗(ˆv⁰.v⁰⁰) = v⊗(v⁰ ×v⁰⁰),

(v⊗v⁰).(v⁰⁰⊗v⁰⁰⁰) = (v⁰.v⁰⁰)(v⊗v⁰⁰⁰).

2.2.1 Changement de base

Soient B = (x, y, z) etB⁰ = (x⁰, y⁰, z⁰) deux bases orthonorm´ees directes, qualifi´ees respectivement d’ancienne et de nouvelle.

Les composantes d’un vecteurvquelconque dans la baseBont ´et´e not´ees : v(B) =



 v_x v_y vz



,

dans la base B⁰ nous les notons : v_(B⁰₎ =



 v_x⁰ v_y⁰ v_z⁰



.

On a alors :

v(B)=Rv_(B⁰₎, avec :

R =





r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₂₁ r₂₂ r₂₃ r₃₁ r₃₂ r₃₃



=





x⁰_x y⁰_x z_x⁰ x⁰_y y_y⁰ z_y⁰ x⁰_z y_z⁰ z_z⁰



=





x_x⁰ x_y⁰ x_z⁰ y_x⁰ y_y⁰ y_z⁰ z_x⁰ z_y⁰ z_z⁰



.

La matriceR appartient augroupe sp´ecial orthogonal `a trois dimensions SO(3) [7] [12] [15] [22] ; elle est orthogonale :

R⁻¹ =R^T.

Les composantes d’un tenseur t quelconque, dans la base canoniquement associ´ee `a la base B, ont ´et´e not´ees :

t(B) =





t_xx t_xy t_xz t_yx t_yy t_yz t_zx t_zy t_zz



,

dans la base canoniquement associ´ee `a la base B⁰ nous les notons : t_(B⁰₎ =





t_x⁰_x⁰ t_x⁰_y⁰ t_x⁰_z⁰ t_y⁰_x⁰ t_y⁰_y⁰ t_y⁰_z⁰ t_z⁰_x⁰ t_z⁰_y⁰ t_z⁰_z⁰



.

On a alors :

t_(B) =Rt_(B⁰₎R^T.

La matriceR est appel´eematrice de passage, oude changement de base, de l’ancienne base B `a la nouvelleB⁰.

2.3 D´efinition de l’orientation et de la vitesse angulaire

Supposons que B = (x, y, z) et B⁰ = (x⁰, y⁰, z⁰), les deux bases ortho- norm´ees directes pr´ec´edentes, soient li´ees respectivement `a l’espace et au corps.

L’orientation du corps par rapport `a l’espace, ou de la nouvelle base par rapport `a l’ancienne, peut ˆetre d´efinie par la matrice de passage R.

Le groupe SO(3) n’´etant pas isomorphe `a IR<sup>3</sup> il n’est possible de d´efinir l’orientation pr´ec´edente que localement `a l’aide de coordonn´ees locales de SO(3).

Si cette orientation d´epend du temps soit ω le vecteur vitesse angulaire du corps, par rapport `a l’espace, ou de la baseB<sup>0</sup>, par rapport `a la base B.

On a donc :

ω(B) =



 ω_x ωy

ω_z



et ω_(B⁰₎ =



 ω_x⁰ ω_y⁰ ω_z⁰



.

Chapitre 3

D´ efinitions et calculs

concernant le premier ensemble de param` etres d’orientation

3.1 D´efinition du vecteur rotation ε et des vecteurs t et s

Il existe un vecteur rotationε permettant de transformer la base B en la base B⁰ (cf. Figure 1) :

Rot.(ε) :B −→ B⁰.

x y

z x’

z’

y’

ε

−

−

−

−

−

−

−

Figure 1 : d´efinition du vecteur rotation ε.

Le vecteur ε peut s’´ecrire :

ε=εe,

o`u e est un vecteur unitaire et ε la valeur alg´ebrique de la rotation.

Le vecteur unitairee est choisi de telle mani`ere que¹ : 1)ex+ey+ez >0,

ou :

2)e_x+e_y+e_z = 0 et (e_y−e_z)(e_z −e_x)(e_x−e_y)>0, ou :

3)e_x+e_y+e_z = 0 et (e_y−e_z)(e_z −e_x)(e_x−e_y) = 0 ete_xe_ye_z >0, et la valeur alg´ebrique de la rotationε de telle mani`ere que :−π < ε ≤π.

On a donc :

e(B) =



 e_x e_y e_z



=e_(B⁰₎=



 e_x⁰ e_y⁰ e_z⁰



,

avec :

e²_x+e²_y+e²_z =e²_x0 +e²_y0 +e²_z0 = 1, et :

ε(B) =



 ε_x ε_y ε_z



=



 εe_x εe_y εe_z



=ε_(B⁰₎=



 ε_x⁰ ε_y⁰ ε_z⁰



=



 εe_x⁰ εe_y⁰ εe_z⁰



,

avec :

ε²_x+ε²_y +ε²_z =ε²

x⁰ +ε²

y⁰ +ε²

z⁰ =ε². On pose, par d´efinition :

C =cosε, S =sinε, Γ = (1−C)/ε²,

Σ = S/ε, et :

c=cos(ε/2), s =sin(ε/2), t=tg(ε/2),

χ=ε/t.

1. le choix propos´e est toujours possible