Definition 1 Un calcul arithm´ etique sur un corps K ` a partir d’un ensemble de param` etres {a

Algorithmique avanc´ ee 2018-2019

TD5 : Borne de complexit´ e et FFT 1 Borne inf´ erieure de complexit´ e

Definition 1 Un calcul arithm´ etique sur un corps K ` a partir d’un ensemble de param` etres {a

, . . . , a

} est une suite d’instructions de type :

f

← o

op

o

; f

← o

op

o

; . . . ; f

← o

op

o

;

o` u pour tout 1 ≤ i ≤ k, f

est une variable du calcul, op

∈ {+, −, ×} et les op´ erandes o

, o

sont soit des

´

elements de K soit des param` etres soit l’une des variables {f

, . . . , f

}.

Le programme ci-dessous calcule le produit de deux nombres complexes (a + ib)(c + id) (le r´ esultat est f

+ if

). Ici les param` etres sont a, b, c, d.

f

← a × c; f

← b × d; f

← f

− f

; f

← a × d; f

← b × c; f

← f

+ f

; Question 1 : Proposer un calcul de ce produit qui n’utilise que 3 multiplications.

Question 2 : Soit un calcul qui renvoie r r´ esultats et qui comprend s multiplications. Montrer que le vecteur des r´ esultats, not´ e v, v´ erifie v = Me + h o` u M est une matrice r × s ` a valeurs dans K, e est un vecteur de dimension s ` a valeurs dans K[a

, . . . , a

] (l’anneau des polynˆ omes dont les variables sont a

, . . . , a

) et h est un vecteur de dimension r dont les coefficients sont de la forme c

+ P

i=1

c

a

avec c

∈ K pour tout i.

Definition 2 Soit v

, . . . , v

des vecteurs de dimension r ` a coefficients dans K[a

, . . . , a

], on dit que v

, . . . , v

sont lin´ eairement ind´ ependants modulo K si :

∀c

, . . . , c

∈ K,

m

X

i=1

c

v

∈ K

⇒ ∀1 ≤ i ≤ m, c

= 0

Le rang ligne (resp. colonne) modulo K d’une matrice ` a coefficients dans K[a

, . . . , a

] est le nombre maximal de vecteurs lignes (colonnes) lin´ eairement ind´ ependants modulo K.

Question 3 : Soit un calcul dont les param` etres sont a

, . . . , a

, x

, . . . , x

. Ce calcul effectue le produit matrice-vecteur Ax o` u A est une matrice r × p ` a coefficients dans K[a

, . . . , a

] et x = (x

, . . . , x

). On souhaite montrer que le nombre de multiplications de ce calcul est au moins r (dans le pire des cas). On suppose par l’absurde que le rang ligne modulo K vaut r et qu’il est strictement sup´ erieur au nombre de multiplications not´ e s.

1. Montrer qu’il existe y ` a coefficients dans K non tous nuls, et h ` a coefficients de la forme c

+ P

i=1

c

a

+ P

i=1

c

x

tels que y

Ax = y

h.

2. Montrer que y

A est un vecteur ligne ` a valeurs dans K. (hint : y

A est ` a coefficients dans K[a

. . . a

] alors que x = (x

. . . x

)).

3. En d´ eduire que l’hypoth` ese ´ etait absurde : le nombre de multiplications de ce calcul est au moins

´ egal au rang ligne module K de A.

Question 4 : En d´ eduire qu’un calcul de ac, bd, ad + bc requiert au moins trois multiplications.

Question 5 : Soit {v

, . . . , v

} un ensemble de vecteurs de dimension r ` a coefficients dans K[a

, . . . , a

] contenant q vecteurs lin´ eairement ind´ ependants modulo K. On consid` ere les vecteurs v

= v

+ b

v

pour i ∈ [2; m] o` u b

∈ K. On souhaite montrer qu’il existe q − 1 vecteurs v

lin´ eairement ind´ ependants modulo K.

1. Conclure dans le cas o` u {v

, . . . , v

} sont lin´ eairement ind´ ependants modulo K. On suppose d´ esormais (quite ` a r´ eordonner) que {v

, . . . , v

} sont lin´ eairement ind´ ependants modulo K.

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Algorithmique avanc´ ee 2018-2019

2. On suppose (par l’absurde) que ni {v

. . . v

} ni {v

. . . v

} ne sont lin´ eairement ind´ ependants modulo K. Montrer qu’il existe c

. . . c

dans K tels que P

i=1

c

v

= w ∈ K

ainsi que c

6= 0 et c

. . . c

non tous nuls. On suppose dans la suite c

6= 0 (quitte ` a r´ eordonner). En d´ eduire de mˆ eme qu’il existe z ∈ K

et d

6= 0, ainsi que d

. . . d

non tous nuls tels que d

v

+ P

i=3

d

v

= z 3. Exprimer d

w − c

z ` a l’aide des c

, d

afin d’obtenir une contradiction.

Soit un calcul dont les param` etres sont a

, . . . , a

, x

, . . . , x

. Ce calcul effectue le produit matrice-vecteur Ax + y o` u A est une matrice r × p ` a coefficients dans K[a

, . . . , a

], x = (x

, . . . , x

) et y = (y

, . . . , y

) avec les y

, . . . , y

∈ K[a

, . . . , a

]. Une multiplication de ce calcul est dite active si l’une des op´ erandes contient un x

et l’autre op´ erande n’est pas un ´ el´ ement de K.

Question 6 : Montrer que le nombre de multiplications actives d’un tel calcul est au moins ´ egal au rang colonne modulo K de A. Indication : Proc´ eder par r´ ecurrence sur le rang colonne modulo K.

Question 7 : En d´ eduire qu’un calcul du produit d’une matrice n × p par un vecteur de dimension p o` u les param` etres sont les coefficients de la matrice et du vecteur requiert au moins np multiplications.

2 Forme Normale Alg´ ebrique d’une fonction bool´ eenne

On s’int´ eresse ` a une fonction bool´ eenne f : {0, 1}

7→ {0, 1}. On note B = {0, 1}. Cette fonction peut ˆ

etre repr´ esent´ ee par sa table de v´ erit´ e ou bien comme un polynˆ ome ` a plusieurs variables de degr´ e au plus n sur B [x

, . . . , x

]. On rappelle que sur le corps B , l’addition est le xor et la multiplication est le and.

Question 1 : Montrer que f s’´ ecrit : f (x

, . . . , x

) = P

(a₁,...,a_n)∈Bⁿ

g(a

, . . . , a

).x

· · · x

o` u g : B

7→

B . Cette repr´ esentation est la Forme Normale Alg´ ebrique (FNA) de f .

Question 2 : Exprimer g dans le cas o` u n = 1. Montrez que la proc´ edure qui calcule g en fonction de f est involutive, c’est ` a dire qu’elle permet aussi de calculer f en fonction de g.

Question 3 : Montrer que f peut s’´ ecrire sous la forme f (x

, . . . , x

) = f

(x

, . . . , x

)+x

·f

(x

, . . . , x

).

Question 4 : Soit g

et g

les FNA de f

et f

respectivement. Exprimer g en fonction de g

et g

. Question 5 : En d´ eduire un algorithme de calcul de g et donner sa complexit´ e.

3 Application de FFT : filtrage

Question 1 : Un dispositif physique tel qu’un microphone, un oscilloscope, etc. est utilis´ e pour acqu´ erir constitu´ e par une suite de r´ eels x

, . . . , x

assez longue. Lorsque le dispositif n’est pas de tr` es bonne qualit´ e et que les ´ echantillons contiennent du ”bruit”, une mesure rudimentaire pour lutter contre ce ph´ enom` ene consiste ` a appliquer un lissage gaussien, c’est ` a dire ` a remplacer chaque ´ echantillon par une moyenne pond´ er´ ee de ses voisins :

y

= 1 Z

k

X

j=−k

x

· e

o` u k est un param` etre de largeur et Z un facteur de normalisation choisi convenablement. On remarque qu’il y a un probl` eme pour les valeurs limites, mais il est r´ esolu en ne calculant ni les k premi` eres valeurs, ni les k derni` eres. Montrer comment calculer y en temps O(n log n).

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