Marche aléatoire sur un di-graph et frontière de Martin

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Submitted on 24 Mar 2012

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Marche aléatoire sur un di-graph et frontière de Martin

Basile de Loynes

To cite this version:

Basile de Loynes. Marche aléatoire sur un di-graph et frontière de Martin. Comptes ren- dus de l’Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2012, 350 (1-2), pp.87-90.

�10.1016/j.crma.2011.12.005�. �hal-00677764�

Random walks on oriented lattices and Martin boundary

B. de Loynes

Abridged English version

In this note, we aim at sudying the Martin boundary of a simple random walk on a directed lattice.

More precisely, let us denote by (e 1 , e 2 ) the canonical basis of Z ² , and by sgn the sign function on the integers which is equal to −1 on negative integers and 1 elsewhere. Thus, we are considering a Z ² -valued Markov chain (M n ) _n≥0 with Markov operator P defined for (u, v) ∈ Z ² × Z ² as follows

1. P (u, v) = ¹ ₃ if u 2 6= 0 and either v = u ± e 2 or v = u + sgn(u 2 )e 1 ; 2. P (u, v) = ¹ ₂ if v = u ± e 2 and u 2 = 0.

For this random walk, the following can be shown.

Theorem 2.1 The Martin boundary of the simple random walk (M _n ) _n≥0 is trivial : all positive harmonic functions are constant.

In our case, the triviality of the Martin boundary comes from precise estimates of the Green function. Two kinds of behavior can be observed ; let z ∈ Z × {0}, then there exist positive constants c and s(λ) such that

1. G(z, y) ∼ s(λ)|y 2 | ⁻¹ if y 1 y ⁻² ₂ converges to λ ∈ R ; 2. G(z, y) ∼ c|y 1 − z| ⁻

if y 1 y ₂ ⁻² goes to ±∞.

The fact that we give estimates of the Green function only for z ∈ Z × {0} comes from technical difficulties which can be removed by the formula (2) of section 4.

The triviality of the Martin boundary implies the triviality of the Poisson boundary, thus all bounded harmonic functions are constant (see [4] and references therein for a modern approach).

Actually, ideas in [2] or in [7] can be suited to the Markov operator we are considering in this note and allows a direct proof of the triviality of the Poisson boundary. We do not follow this approach here because we obtain the stronger result of triviality of the Martin boundary.

1 Introduction

Un di-graphe G est la donn´ ee d’un couple (V, E) d’un ensemble d´ enombrable V de points et d’un sous-ensemble E ⊂ V × V d’arˆ etes orient´ ees. Si e ∈ E est une arˆ ete, on note s(e) (resp. t(e)) le point source (resp. le point terminal). Plus pr´ ecis´ ement, s(e) = u et t(e) = v si e = (u, v).

Pour chaque point u ∈ V, on d´ efinit le degr´ e sortant de u, et on le note d ⁻ _u le nombre d’´ el´ ements de l’ensemble {e ∈ E : s(e) = u}. Un di-graphe est dit transitif si pour tout point u, v ∈ V il existe une suite finie de points {w 0 , · · · , w k } v´ erifiant w 0 = u, w k = v et (w i , w i+1 ) ∈ E pour tout i ∈ {0, · · · , k − 1}.

D´ efinition 1.1. Soit G = (V, E) un di-graphe. La marche al´ eatoire simple sur G est la chaˆıne de Markov ` a valeurs dans V, not´ ee ((M n ) <sub>n≥0</sub> , P, µ) o` u µ est une probabilit´ e sur V, et P le noyau de Markov d´ efini par P (u, v) = ¹

d

si (u, v) ∈ E et 0 sinon.

1

2 R´ esultat principal 2

Dans cette note, on consid` ere les treillis bi-dimensionnels, i.e. on supposera que V = Z ² et que E est un sous-ensemble de l’ensemble des proches voisins dans Z ² . On d´ ecompose V = V 1 × V 2

en les directions horizontales et verticales, c’est ` a dire, si v ∈ V, on ´ ecrit v = (v 1 , v 2 ) avec v 1 ∈ V 1

et v 2 ∈ V 2 .

D´ efinition 1.2. Soient V = V 1 × V 2 et ( y ) y∈V

` a valeurs dans {−1, 0, 1}. On appelle treillis -orient´ e, et on le note G = (G, ), le graphe orient´ e dont l’ensemble V de points est donn´ e par Z ² et (u, v) ∈ E est une arˆ ete orient´ ee si et seulement si l’une des conditions suivantes est v´ erifi´ ees :

• soit v ₁ = u ₁ et v ₂ = u ₂ ± 1 ;

• soit v ₂ = u ₂ et v ₁ = u ₁ + _u

si _u

6= 0.

Dans cette note, on ´ etudiera le graphe H = (G, ) o` u l’orientation est d´ efinie par 0 = 0 et y = sgn(y) o` u sgn est la fonction signe. Il est clair que H est transitif, ainsi la marche al´ eatoire simple sur H est irr´ eductible.

Les marches al´ eatoires sur ce type de graphe sont ´ etroitement li´ ees aux diffusions en milieu poreux. On pourra lire avec int´ erˆ et [5] o` u ce point de vue est d´ evelopp´ e.

2 R´ esultat principal

Soit (M n ) _n≥0 la marche al´ eatoire simple sur H . On notera P ^µ la probabilit´ e, sur l’espace des trajectoires, associ´ ee au noyau P et plus simplement P ^x si µ est la masse de Dirac en x ∈ V ² . On d´ efinit par r´ ecurrence la suite de temps d’arrˆ et (τ n ) _n≥0 par τ 0 = 0 et τ n+1 = inf{t ≥ τ n + 1 : M _t ⁽²⁾ = 0} o` u M t = (M _t ⁽¹⁾ , M _t ⁽²⁾ ). Il est facile de voir que τ n < ∞ P ^x -p.s. pour tout n ≥ 0. La suite de variables al´ eatoires (M τ

) _n≥0 est alors elle-mˆ eme une chaˆıne de Markov que l’on appellera chaˆıne de Markov induite. Par d´ efinition, M τ ⁽²⁾

= 0, ainsi, si µ est ` a support dans V <sub>1</sub> × {0}, not´ e par la suite V <sub>0</sub> , la chaˆıne de Markov induite est confin´ ee dans ce sous-ensemble V <sub>0</sub> . La chaˆıne de Markov induite sera alors, selon le contexte, consid´ er´ ee comme une chaˆıne de Markov ` a valeurs dans Z ² ou Z .

Dans [1], il est montr´ e que la chaˆıne de Markov originale est transiente, et cela est une cons´ equence de la transience de la chaˆıne de Markov induite qui peut-ˆ etre vue comme une marche al´ eatoire sur Z ` a sauts non born´ es. Ainsi, l’´ etude de la fronti` ere de Martin de ces chaˆınes de Markov est pertinente.

Th´ eor` eme 2.1. Les fronti` eres de Martin des chaˆınes de Markov induites et originales sont triv- iales, i.e. les seules fonctions harmoniques positives sont les fonctions constantes.

3 Fronti` ere de Martin de la chaˆıne de Markov induite

La compactification de Martin est longuement pr´ esent´ ee dans [8]. Essentiellement, la compactifi- cation de Martin fait intervenir le noyau de Martin : si o est un point-base du graphe H , le noyau de Martin est d´ efini pour x, y ∈ H par K(x, y) = ^G(x,y) _G(o,y) o` u G est la fonction de Green associ´ ee ` a la chaˆıne de Markov. Ainsi, des estim´ ees pr´ ecises de G permettent de donner une description de la fronti` ere de Martin.

D´ efinition 3.1. Soient (ψ) _n≥0 une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees ` a valeurs dans {−1, 1} de loi de Bernouilli de param` etre ¹ ₂ et (Y n ) n≥0 une suite de variables al´ eatoires d´ efinies par Y 0 = M ₀ ⁽²⁾ et Y n = Y 0 + P n−1

k=0 ψ k . On note η n (y) le temps local de (Y n ) _n≥0 en y ∈ Z , i.e. η n (y) = P n

k=0 1 Y

=y .

D´ efinition 3.2. Soit (σ n ) _n≥0 une suite de temps d’arrˆ et d´ efinie par σ 0 = 0 et σ n+1 = inf{t ≥

σ n + 1 : Y t = 0}.

4 Fronti` ere de Martin de la chaˆıne de Markov originale 3

D´ efinition 3.3. Soit (ξ n ^(y) ) n≥1,y∈V

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identique- ment distribu´ ees ` a valeurs dans N de loi g´ eom´ etrique de param` etre p = ¹ ₃ = 1 − q et pour n ≥ 0 posons X n = P

y∈V

y P ^η

(y)

i=1 ξ ^(y) _i . Enfin, on note par T n le temps d´ efini par T n = n + P

y∈V

P ^η

(y)

i=1 ξ _i ^(y) , avec la convention usuelle P

∅ = 0.

Dans [1], il est montr´ e que M T

loi

= (X n , Y n ) et τ n

=

T σ

. Ceci permet de calculer la loi de M τ

. Proposition 3.4. La loi de M _τ

est d´ etermin´ ee par sa fonction caract´ eristique E ⁰ (e ^iht,M

ⁱ ) = E ⁰ (e ^it

^X

) ⁿ . De plus, la fonction caract´ eristique de X _σ

est donn´ ee par φ(t) = Re r(t) ⁻¹ g(r(t)) o` u r(t) = [3 − 2e ^it ] ⁻¹ et g(x) = ¹⁻

√ 1−x

x .

En particulier, la fonction de Green associ´ ee ` a la chaˆıne de Markov (M _τ

) _n≥0 est donn´ ee, pour u, v ∈ V 0 , par G ₀ (u, v) = G ₀ (0, v − u) = (2π) ⁻¹ R π

−π e ^−it(v−u) [1 − φ(t)] ⁻¹ dt. La fonction [1 − φ(·)] ⁻¹ poss` ede, en 0, une singularit´ e en √ ¹

|t| . Une d´ ecomposition en s´ eries permet de traiter cette singularit´ e ` a part et de trouver l’´ equivalent suivant.

Proposition 3.5. Il existe une constante c > 0 telle que G 0 (u, v) = G 0 (0, v − u) ∼ c|v − u| ⁻

lorsque |v| tend vers l’infini.

Ainsi le noyau de Martin K ₀ (u, v) = ^G _G

^(u,v)

0

(0,v) poss` ede une unique valeur d’adh´ erence lorsque |v|

tend vers l’infini ce qui implique la trivialit´ e de la fronti` ere de Martin.

4 Fronti` ere de Martin de la chaˆıne de Markov originale

Dans ce paragraphe on s’int´ eresse ` a la fronti` ere de Martin de la chaˆıne originale. On notera G (resp. K) la fonction de Green (resp. le noyau de Martin) associ´ ee ` a la marche originale.

On note η s,t (y), pour s, t ≥ 0 et y ∈ H , le temps local de (M n ) _n≥0 en y, i.e. η s,t (y) = P t−1

k=s 1 M

=y toujours avec la convention P

∅ = 0. On peut alors exprimer le noyau de Martin de la chaˆıne originale en fonction de celui de la chaˆıne induite.

K(x, y) =

( K 0 (x, y) si (x, y) ∈ V 0 , (1)

E

(η

(y)) G(0,y) + P

z∈ Z ν _x (z)K(z, y) sinon. (2) o` u ν _x (z) = P ^x (M _τ

= (z, 0)) = P ^x (X _σ

= z).

En utilisant les sym´ etries de H , en particulier que ce graphe est invariant par les translations horizontales et par les sym´ etries centrales de centre situ´ e sur V 0 , on peut montrer la proposition suivante.

Proposition 4.1. Soient z ∈ V ₀ et y ∈ H , alors la fonction de Green G est donn´ ee par

G(z, y) = (2π) ⁻¹ Z π

−π

e ^it(y

^−z

⁾ g(r(t)) ^|y

^| 1 − φ(t) dt, o` u r, g et φ sont d´ efinies dans le paragraphe 3.

Il est alors possible d’obtenir les estim´ ees suivantes de la fonction de Green.

Proposition 4.2. Soient z ∈ V 0 , y ∈ H et supposons que y 1 y ₂ ⁻² converge vers λ ∈ R ∪ {±∞}, alors il existe pour tout λ une constante s(λ) > 0 telle que

1. G(z, y) ∼ s(±∞)|y 1 − z 1 | ⁻

lorsque y 1 y ⁻² ₂ tend vers ±∞ ; 2. G(z, y) ∼ s(λ)|y 2 | ⁻¹ lorsque y 1 y ₂ ⁻² converge vers λ.

Par un calcul direct, on peut montrer qu’il est possible de passer ` a la limite dans la somme P

z∈ Z ν _x (z)K(z, y), d’o` u la proposition suivante.

4 Fronti` ere de Martin de la chaˆıne de Markov originale 4

Proposition 4.3. Soit x ∈ H , alors P

z∈ Z ν x (z)K(z, y) poss` ede une unique valeur d’adh´ erence lorsque |y| tend vers l’infini.

Proposition 4.4. La quantit´ e E ⁰ (η _0,τ

(y)) d´ ecroˆıt vers 0 en o(|y ₁ | ⁻

) lorsque y ₁ y ₂ ⁻² tend vers

±∞ et en o(|y ₂ | ⁻¹ ) lorsque y ₁ y ⁻² ₂ converge.

Par les propositions 4.2 et 4.4, le premier terme dans l’´ equation (2) converge vers 0 lorsque

|y| tend vers l’infini ; et par la proposition 4.3, le deuxi` eme terme de l’´ equation (2) converge vers 1 lorsque |y| tend vers l’infini. Enfin, le terme de l’´ equation (1) tend vers 1 lorsque |y| tend vers l’infini par la proposition 3.5. Ainsi, le noyau de Martin K poss` ede une unique valeur d’adh´ erence

`

a l’infini ce qui montre la trivialit´ e de la fronti` ere de Martin de la chaˆıne originale.

Dans le cas o` u est une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, il est montr´ e dans [1], que la marche al´ eatoire simple est encore transiente (pour presque toute orientation). Ce r´ esultat a ´ et´ e g´ en´ eralis´ e dans [3] o` u est consid´ er´ e le cas o` u (f y ) est une suite stationnaire ` a valeurs dans [0, 1] et o` u y est pris ´ egal ` a 1 avec probabilit´ e f y et -1 avec probabilit´ e 1 − f _y . Sous la condition E(f ₀ (1 − f ₀ )) ^−1/2 < ∞, la marche simple est transiente. Enfin, dans [6], est consid´ er´ e le cas o` u l’orientation est une suite stationnaire v´ erifiant certaines conditions de d´ ecorr´ elations. En moyenne, une orientation al´ eatoire est moins d´ eg´ en´ er´ ee que l’orientation choisie dans cette note, on peut donc s’attendre, dans ce cadre, ` a la trivialit´ e des fronti` eres de Martin pour presque toute orientation.

References

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