Travaux dirigés - 5 Exercice 1

(1)

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 5 Exercice 1

Q. 1 Montrer que pour la matrice

A¹

1 2 2

1 1 1

2 2 1

la méthode de Jacobi converge, tandis que la méthode de Gauss-Seidel diverge.

Q. 2 Montrer que pour la matrice

A2

2 1 1

2 2 2

1 1 2

la méthode de Jacobi diverge, tandis que la méthode de Gauss-Seidel converge.

Exercice 2

SoitAPMnpRq une matrice symétrique dénie positive décomposée (par points) sous la formeADEF oùDdiagpAq,Eest triangulaire inférieure et d'éléments nuls sur la diagonale etFest triangulaire supérieure et d'éléments nuls sur la diagonale.

On étudie une méthode itérative de résolution su système linéaireAxxxbbb.Soitxxx₀PRⁿ,on dénit la suite pxxx_kqkPNpar

pDEqxxx_k ₁_{₂ Fxxxk bbb (2.1)

pDFqxxx_k ₁ Exxx_k ₁_{₂ bbb (2.2) Q. 1 Ecrire le vecteurxxx_k ₁ sous la forme

x x

xk 1Bxxxk ccc (2.3)

en explicitant le matriceBet le vecteurccc.

Q. 2 1. Montrer que

D^-1 pDEq¹D^-1EpDEq¹. (2.4)

2. Soit pλ, pppq un élément propre de la matriceB.Montrer que

λAppp pλ1qED^-1Fppp0. (2.5)

Q. 3 En déduire la convergence de cette méthode.

Q. 4 Etendre ces résultats au cas d'une décompositionADEFpar blocs.

Exercice 3

SoitAune matricennréelle symétrique et dénie positive. On s'intéresse à la résolution du problème

Axxxbbb (3.1)

On introduit la décompositionAD H V, oùDαI, α¡0etHetVsont deux matrices symétriques, telles que les matricesD HetD Vsoient inversibles. On considère la méthode itérative :

pD Hqxxx^r^k ¹²^s Vxxx^r^k^s bbb, (3.2) pD Vqxxx^r^k ¹^s Hxxx^r^k ¹²^s bbb. (3.3)

1

(2)

Q. 1 Exprimerxxx^r^k ¹^s en fonction dexxx^r^k^s. En déduire que lim

kÑ8xxx^r^k^sxxx, si et seulement si : ρ

pD Vq¹HpD Hq¹V 1.

Q. 2 1. PosonsBD^-1H,CD^-1V. Vérier que ρ

pD Vq¹HpD Hq¹V ρ

BpI Bq¹CpI Cq¹ . 2. Montrer que les matrices BpI Bq¹ etCpI Cq¹ sont symétriques.

3. En déduire que : ρ

pD Vq¹HpD Hq¹V ¤ρ

BpI Bq¹ ρ

CpI Cq¹ . Q. 3 1. Montrer que

ρ

BpI Bq¹ 1ðñ max

µPSppBq

µ 1 µ

1. (3.4)

2. En déduire que

ρ

BpI Bq¹ 1ðñ 1

2I B est dénie positive.

3. En déduire que la méthode itérative (3.2)-(3.3) converge dès que les matrices ¹₂D H et ¹₂D V sont

dénies positives.

On va maintenant étudier une généralisation de (3.2)-(3.3). On décompose la matrice A sous les formes AMNetAPQ, où les matricesMet Psont inversibles. On considère la méthode itérative :

Mxxx^r^k ¹²^s Nxxx^r^k^s bbb, (3.5) Pxxx^r^k ¹^s Qxxx^r^k ¹²^s bbb. (3.6) On pose :

eee^r^k^s xxx^r^k^sxxx, ηηη^r^k^sM^-1Aeee^r^k^s eee^r^k ¹²^s xxx^r^k ¹²^sxxx, ηηη^r^k ¹²^sP^-1Aeee^r^k ¹²^s

On note }}²_Ala norme dénie par

}uuu}²_A xAuuu, uuuy. Q. 4 1. Vérier queηηη^r^k^seee^r^k^seee^r^k ¹²^s.

2. En déduire eee^r^k ¹²^s²

Aeee^r^k^s²

A

ApM^t Nqηηη^r^k^s, ηηη^r^k^s

E (3.7)

3. Vérier queηηη^r^k ¹^{²^seee^r^k ¹^{²^seee^r^k ¹^s. 4. En déduire

eee^r^k ¹^s²

A

eee^r^k ¹²^s²

A

ApP^t Qqηηη^r^k ¹²^s, ηηη^r^k ¹²^s E

. (3.8)

Q. 5 1. Montrer que les matricesM^t NetP^t Qsont symétriques.

2. Montrer que si les matricesM N^t etP Q^tsont dénies positives, la méthode (3.5)-(3.6) converge vers xxx solution de (3.1) . On pourra pour cela montrer que eee^r^k^s²

A est une suite convergente, puis utiliser le fait que

eee^r^k ¹^s²

Aeee^r^k^s²

AÑ0.

2