Travaux dirigés - 7 Exercice 1

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2012-2013

Travaux dirigés - 7 Exercice 1

Soientn¥3 un entier etax0 x1. . . xn1 xnnune division de l'intervalle ra, bs.Une fonctions dénie sur ra;bs à valeurs réelles s'appelle spline cubique si elle est deux fois continûment diérentiable et si, sur chaque intervalle rxk1;xks,elle est polynomiale de degré inférieur ou égal à3.

Soitf PC²pra;bs,Rq etsune spline cubique vériant

spx_iq fpx_iq f_i, @iP v0, Nw. (1.1) Q. 1 Montrer que si

s²pbqpf¹pbq s¹pbqq s²paqpf¹paq s¹paqq (1.2)

alors »b

a

ps²pxqq²dx¤

»b a

pf²pxqq²dx. (1.3)

Indications : Poserhfset utiliser des intégrations par parties.

SoientkP v1, nw etSk un polynôme de degré inférieur ou égal à3 vériant

$' ''

&

'' '%

Skpxk1q fk1 (1.4a)

Skpx_kq f_k (1.4b)

S²_kpxk1q mk1 (1.4c)

S²kpx_kq m_k. (1.4d)

Q. 2 1. Montrer l'existence et l'unicité du polynômeSk. 2. Montrer que polynôme Sk peut s'écrire sous la forme

Skpxq akpxkxq³ bkpxxk1q³ αkpxkxq βkpxxk1q (1.5) en explicitant les coecients pak, bk, αk, βkq en fonction de pfk1, fk, mk1, mkq. On noteg la fonction dont la restriction à l'intervalle rxk1;xks, kP v1, nw,est Sk.

Q. 3 1. Vérier queg est bien dénie sur ra;bs.

2. Montrer que g est une spline cubique si et seulement si, @kP v1, n1w, 1

2mkphk hk1q h_k

6 pmk 1mkq h_k1

6 pmkmk1q 1

hkpfk 1fkq 1

hk1pfkfk1q. (1.6) On suppose maintenant que les pointsxk sont uniforméments distribués. On a doncxk a kh,@kP v0, nw avech ^b_n^a.

Q. 4 (spline cubique scellée) 1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour que g soit une spline cubique et vérie g¹paq α, g¹pbq β, est que le vecteur MMM P R^{n 1} pm0, m1, . . . , mnq^t soit solution d'un système linéaire de la forme

AMMM bbb (1.7)

que l'on précisera.

2. Montrer que la matriceA est symétrique dénie positive. Conclure.

Q. 5 (spline cubique naturelle) 1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour queg soit une spline cubique et vérie g²paq 0, g²pbq 0, est que le vecteur MMM P R^{n 1} pm₀, m₁, . . . , m_nq^t soit solution d'un système linéaire de la forme

AMMM bbb (1.8)

que l'on précisera.

1

2. Montrer que la matriceA est inversible.

Q. 6 (spline cubique périodique) On suppose ici quefpaq fpbq.

1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour quegsoit une spline cubique et vérieg¹paq g¹pbq, g²paq g²pbq, est que le vecteurMMM PR^{n 1} pm0, m1, . . . , mnq^t soit solution d'un système linéaire de la forme

AMMM bbb (1.9)

que l'on précisera.

2. Montrer que la matriceA est inversible.

Exercice 2

On se propose de déterminerPn:RÝÑRoù

Pnpxq

¸n i0

α_iv_ipxq (2.1)

où lesn 1 fonctions pviq sont données par

v_ipxq xⁱ, @iP v0, nw. (2.2)

Ceci revient à déterminer les réels pαiq,@iP v0, nw.

D'autres choix de pviq sont possibles: fonctions trigonométriques, fonctions exponentielles,...

On suppose connu les couples pxj, yjq,@jP v0, Nw (données expérimentales par exemple) avecN¡net on suppose lesxj distincts deux à deux. On pose

ρjyjPnpxjq, @jP v0, Nw. (2.3)

On veut détermineraaa

α0

...

αn

PR^{n 1} tels que :

Jpaaaq

¸N j0

ρ²_j soit minimum. (2.4)

En considérant la norme euclidienne dansR^{N 1}, on a Jpaaaq }rrr}² oùrrr

ρ₀ ...

ρ_N

PR^{N 1}.

On poseYYY

y0

...

yN

PR^{N 1}.

Q. 1 1. Montrer que les fonctionsv_i, @iP v0, nw,sont linéairement indépendantes.

2. Que peut-on en conclure?

Q. 2 1. Ecrire explicitement la matriceUPMN 1,n 1pRq dénie partir u_{j 1,i 1}v_ipx_jq, @pi, jq P v0, Nw v0, nw.

2. En déduire que }rrr}² xYYY Uaaa, YYY Uaaay où x,y note le produit scalaire.

Le minimum deJ est caractérisé par

Jpaaaq ¤Jpaaa bbbq, @PRzt0u, @bbbPR^{n 1}. (2.5) 2

Q. 3 1. Montrer que

0¤ 2xYYY Uaaa,Ubbby ²xUbbb,Ubbby, @bbbPR^{n 1}. (2.6) 2. En déduire que

xYYY Uaaa,Ubbby 0, @bbbPR^{n 1}. (2.7) 3. Montrer que le vecteuraaaminimisantJ vérie le système linéaire :

U^tUaaaU^tYYY . (2.8)

4. conclure.

3