Universit´e Paul Sabatier 2007-2008 L1 - UE8 Math´ematiques II - Groupe D3
Devoir n1
`a rendre le mercredi 24 octobre
1. Montrer que
A∪B ⊂A∪C etA∩B ⊂A∩C
=⇒B ⊂C.
2. Soitf :E →F etA ⊂F.
(a) Montrer que f(f−1(A))⊂A.
(b) Montrer que si f est surjective alors f(f−1(A)) =A.
3. Soitf :E →F etu:P(F)→ P(E) d´efinie par u(A) =f−1(A).
(a) Dans le cas particulier E ={0}, F ={0,1} etf(0) = 0, u est-elle injective ? (b) Montrer que si f est surjective alors u est injective.
Le r´esultat de l’exercice 2 est utile ici.
4. Soitf :E →F etR(x, y)⇔f(x) =f(y).
(a) Montrer que R est une relation d’´equivalence sur E.
(b) Dans le cas particulier E =P({0,1}),F ={0,1} etf(A) =χA(0), donner explicitement (en extension) les classes d’´equivalence.
Devoir ???
• Pour que l’exercice soit utile, 1. chercher d’abord soi-mˆeme,
2. discuter, se faire expliquer ou expliquer aux autres ´etudiants, 3. toujours r´ediger seul finalement.
• Travailler des r´edactions concises mettant en valeur la structure et le(s) argument(s) important(s).
• Les devoirs sont facultatifs. Vous pouvez tr`es bien rendre un seul exercice avec une r´edaction concise en trois lignes.
Ne jamais copier ou r´ediger un exercice sans comprendre.
