I. Rappels sur les séries usuelles

I. Rappels sur les séries usuelles

Définition 1.

SoitX

n≥0

u_nune série.

On définit laN^esomme partiellede la série par Sn=

n

X

k=0

uk. Une sérieX

n≥0

unest diteconvergente(resp.divergente) si la suite des sommes partielles(Sn)n≥0converge (resp. diverge).

En cas de convergence, on définit lasomme de la sériepar

+∞

X

n=0

un= lim

n→+∞Sn = lim

n→+∞

n

X

k=0

uk.

Exemple 1.

Etudions la convergence de la série X

n≥1

1

n(n+ 1). Posons, pourn∈N^∗, Sn=

n

X

k=1

1 k(k+ 1). Calculons aussi 1

k − 1

k+ 1= k+ 1−k

k(k+ 1) = 1 k(k+ 1). On a alors Sn=

n

X

k=1

1 k − 1

k+ 1

= 1− 1

n+ 1. Puis, lim

n→+∞

1

n+ 1= 0, donc lim

n→+∞Sn= 1.

Donc, la série converge, et sa somme vaut1:

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1)= 1 .

Théorème 1. linéarité SoitX

n≥0

unetX

n≥0

vndeux séries, soitλ∈R^∗.

1. SiX

n≥0

unetX

n≥0

vnconvergent, alorsX

n≥0

(un+vn)aussi, et on a

+∞

X

n=0

(un+vn) =

+∞

X

n=0

un+

+∞

X

n=0

vn

2. X

n≥0

λunetX

n≥0

unsont de même nature. En cas de convergence, on a

+∞

X

n=0

λun=λ

+∞

X

n=0

un

Théorème 2. Séries géométriques La sérieX

n≥0

qⁿconverge si, et seulement si,|q|<1, et, dans ce cas, on a :

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q

Exemple 2.

Calculons S=

+∞

X

n=2

3

2ⁿ. Voici deux méthodes : 1. On posek=n−2.

S= 3

+∞

X

n=2

1 2ⁿ = 3

+∞

X

k=0

1 2^k+2 = 3

+∞

X

k=0

1 2^k × 1

2² = 3 2²

+∞

X

k=0

1 2^k = 3

4× 1 1−¹₂ =3

4×2 = 3 2 2. On a :

S= 3 _+∞

X

n=2

1 2ⁿ

! + 1

2⁰ + 1 2¹ − 1

2⁰ − 1 2¹

!

= 3 _+∞

X

n=0

1 2ⁿ

!

− 1 2⁰ − 1

2¹

!

= 3 1

−1−1

= 3

2−3

= 3×1

= 3

Théorème 3. Séries géométriques dérivées Les sériesX

n≥1

nqⁿ⁻¹etX

n≥1

n(n−1)qⁿ⁻²convergent si, et seulement si,|q|<1, et, dans ce cas, on a :

+∞

X

n=1

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)² et

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³

Remarque.

La première somme peut débuter indifféremment à l’indice0ou à l’indice1, puisque le terme d’indice0est nul.

Quant à la seconde, elle peut débuter à0,1ou2.

Exemple 3.

+∞

X

n=0

nqⁿ et

+∞

X

n=0

n²qⁿ

Exemple 4.

Si X ,→G(p), alors :

X(Ω) =N^∗ et ∀n∈N^∗, P(X =n) = (1−p)ⁿ⁻¹p.

Sous réserve de convergence, on a : E(X) =

+∞

X

n=1

n.P(X=n) =

+∞

X

n=1

n(1−p)ⁿ⁻¹p=p

+∞

X

n=1

n(1−p)ⁿ⁻¹=p× 1

(1−(1−p))² = 1 p E(X(X−1)) =

+∞

X

n=1

n(n−1).P(X=n) =

+∞

X

n=1

n(n−1).(1−p)ⁿ⁻¹p= (1−p)p

+∞

X

n=1

n(n−1).(1−p)ⁿ⁻²

= (1−p)p× 2

(1−(1−p))³ = (1−p)p× 2

p³ = 2(1−p) p² . Or, E(X(X−1)) =E(X²−X) =E(X²)−E(X).

Donc, V(X) =E(X²)−(E(X))²=E(X²)−E(X) +E(X)−(E(X))²

=2(1−p) p² +1

p− 1

p² =2(1−p) +p−1

p² =2−2p+p−1

p² = 1−p p² Théorème 4. Séries exponentielles

Soitx∈R. La sérieX

n≥0

xⁿ

n! est convergente, et on a :

+∞

X

n=0

xⁿ n! =e^x

Exemple 5.

Si X ,→P(λ), alors :

X(Ω) =N et ∀n∈N, P(X =n) =λⁿ n!e^−λ. E(X(X−1)) =

+∞

X

n=0

n(n−1).P(X=n) =

+∞

X

n=2

n(n−1).λⁿ n!e^−λ=

+∞

X

n=2

λⁿ

(n−2)!e^−λ=

+∞

X

k=0

λ^k+2 k! e^−λ

=λ²e^−λ

+∞

X

k=0

λ^k

k! =λ²e^−λe^λ= λ²

Or, E(X(X−1)) =E(X²−X) =E(X²)−E(X).

Donc, V(X) =E(X²)−(E(X))²=E(X²)−E(X) +E(X)−(E(X))²=λ²+λ−λ² = λ

Théorème 5. Séries de Riemann La sérieX

n≥1

1

n^α converge si, et seulement si,α >1

Démonstration.

Elle peut se mener par la méthode de comparaison série/intégrale.

On a successivement, pourk∈N^∗,α >0, ett∈[k;k+ 1]:

≤t≤

≤t^α≤

≤ 1 t^α ≤

≤ Z k+1

k

dt t^α ≤

II. Critères de convergence

Théorème 6. condition nécessaire Si la série X

u_n converge, alors lim

n→+∞u_n= 0.

Remarque.

La réciproque est fausse : penser à X

n≥1

1 n.

Exemple 6.

un=e^e−n

Théorème 7. comparaison

On suppose que ∃N∈N/∀n≥N, 0≤u_n≤v_n. Alors : 1. Si la sérieX

vnconverge, alors la sérieX

unconverge aussi.

2. Si la sérieX

undiverge, alors la sérieX

vndiverge aussi.

Exemple 7.

Etudions la sérieX

n≥1

1 n³+n+ 5.

En effet, pourn∈N^∗, on a n³+n+ 5≥n³>0, donc, par passage à l’inverse, 0< 1

n³+n+ 5 ≤ 1 n³. Or, 1

n³ est le terme général d’une série convergente (Riemann de paramètre3).

Par comparaison, la sérieX

n≥1

1

n³+n+ 5est convergente.

Exemple 8.

Etudions la sérieX

n≥1

ln(n) n . En effet, puisque lim

n→+∞ln(n) = +∞, on a, pournassez grand,ln(n)≥1, et donc on a ln(n) n ≥ 1

n. Or, 1

n est le terme général d’une série divergente (Riemann de paramètre1).

Par comparaison, la sérieX

n≥1

ln(n)

n est divergente.

Théorème 8. négligeabilité SoitX

u_netX

v_ndeux séries à termes positifs. On suppose queu_n =◦(vn). Alors : 1. Si la sérieX

vnconverge, alors la sérieX

unconverge aussi.

2. Si la sérieX

undiverge, alors la sérieX

vndiverge aussi.

Exemple 9.

Etudions la sérieX

n≥0

n⁷ eⁿ.

On a n⁷ eⁿ 1 n²

= n⁷

eⁿ ×n²= n⁹ eⁿ −→

n→+∞0, par croissances comparées. Donc, n⁷ eⁿ =◦

1 n²

.

Or, 1

n² est le terme général d’une série convergente (de Riemann de paramètre2).

Donc, par négligeabilité, la sérieX

n≥0

n⁷

eⁿ est convergente.

Théorème 9. équivalence SoitX

u_netX

v_ndeux séries à termes positifs. On suppose queu_n ∼v_n. Alors les sériesX

unetX

vnsont de même nature.

Exemple 10.

Etudions la sérieX

n≥1

ln

1 + 1 n²

. On a lim

n→+∞

1

n² = 0, donc ln

1 + 1 n²

∼ 1 n². Or, 1

n² est le terme général d’une série convergente (Riemann de paramètre2).

Donc, par équivalence, la sérieX

n≥1

ln

1 + 1 n²

est convergente.

Exemple 11.

Etudions la sérieX

n≥1





e

√1 n −1





. On a lim

n→+∞

√1

n = 0, donc e

√1

n −1∼ 1

√n.

Or, 1

√nest le terme général d’une série divergente (Riemann de paramètre0.5).

Donc, par équivalence, la sérieX

n≥1





e

√1 n −1





est divergente.

Exemple 12.

Etudions la sérieX

n≥0

n² 5n³+ 3n²+√

n+ 4.

Théorème 10.

Soit(u_n)_n∈Nune suite.

La sérieX

(un+1−un)converge si, et seulement si, la suite(un)_n∈Nconverge.

Exemple 13.

On considère la suite(un)n∈N^∗définie par u1= 1 et un+1=un+ 1 n²+un

. 1. Montrons tout d’abord par récurrence que ∀n∈N, un≥0.

a. initialisation : On a bien u1= 1≥0.

b. hérédité : On suppose que pour un rangn∈N^∗donné, on a 0≤un≥0.

On a alors clairement 1 n²+un

≥0, et, en sommant, on obtient bien un+1=un+ 1 n²+un

≥0.

c. conclusion : Par principe de récurrence, on a bien ∀n∈N, un≥0.

2. Soitn∈N^∗. Utilisant le résultat précédent, on obtient n²+un≥n²>0, puis, par passage à l’inverse, 1 n²+un

≤ 1 n². Donc, ∀n∈N^∗, un+1−un≤ 1

n².

Or, cette dernière quantité est le terme général d’une série de Riemann de paramètre2, donc convergente.

Par comparaison, on en déduit que la série de terme généralun+1−unconverge aussi, ie la suite(un)n∈Nconverge.

Définition 2.

Une sérieX

u_nest diteabsolument convergentesi la sérieX

|u_n|est convergente.

Théorème 11.

Une série absolument convergente est convergente.

Exemple 14.

La sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n² est absolument convergente, puisque

(−1)ⁿ n²

= 1

n² est le terme général d’une série de Riemann convergente.

Donc, la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n² est convergente.

Remarque.

La réciproque est fausse.

Exemple 15.

La sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n est convergente (en exercice : voir le critère des séries alternées), mais

(−1)ⁿ n

= 1

n est le terme général d’une série de Riemann divergente : la série harmonique. Donc, la sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n² est convergente, mais pas absolument convergente : on parle de série semi-convergente.

Théorème 12.

Si une série est absolument convergente, alors on ne change pas la valeur de sa somme en changeant l’ordre des termes.

Exemple 16.

Si on se permet de traiter les termes d’une série semi-convergente comme bon nous semble, on peut obtenir des résultats "aberrants".

Etudions par exemple la somme S=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ. Ecrivons en ligne :

−1 +2 −3 +4 −5 +6 −7 ...

−1 +2 −3 +4 −5 +6 ...

−1 +2 −3 +4 −5 +6 ...

−1 +2 −3 +4 −5 ...

En sommant verticalement, on se rend compte que tout s’annule, mis à part le premier−1.

Puisque nous avons fait intervenir4fois la somme de départ, on obtient alors 4S=−1, soit :

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ=−1 4! ! ! Exemple 17.

+∞

X

n=1

n=−1

12! ! ! https://f r.wikipedia.org/wiki/T h%C3%A9or%C3%A8meder%C3%A9arrangement_de_Riemann#Exemple Remarque.

La convergence absolue permet donc, notamment, de donner un sens à l’espérance d’une v.a. discrète, qui doit être unique, et non pas dépendre de l’ordre dans lequel on somme les termes.