Développement limités 2

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes.

Exercice 1

Soit la fonction f telle que, pour tout x > -1, f(x) = ^{ln(x 1)} x 2

+

+ . La fonction f admet un développement limité d’ordre 2 en 0.

1) La partie régulière de ce développement limité peut être obtenu par une division.

a) Ecrire et

« effectuer » ci-contre cette division.

b) Ecrire ci-contre le développement limité f d’ordre 2 en 0 en résultant.

2) En utilisant le développement limité trouvé, écrire ci-contre l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 de la représentation graphique de f.

Exercice 2

Soit la fonction g telle que, pour tout t > -1, g(t) = et

t 1+ . La fonction g admet un développement limité d’ordre 3 en 0.

1) En écrivant g sous forme convenable, la partie régulière de ce développement limité peut être obtenu par un produit de parties régulières de développements limités.

a) Ecrire ci-contre g(t) sous une forme permettant d’utiliser la remarque précédente.

b) Ecrire alors les développements limités

intervenant dans le produit.

c) Ecrire ci-contre le développement limité de g d’ordre 3 en 0 en résultant.

2) Au voisinage de 0, le développement limité de g trouvé permet de trouver une parabole ayant la même tangente que la représentation graphique G de g au point d’abscisse 0.

a) Ecrire l’équation d’une telle parabole.

b) Peut-on trouver une autre parabole ayant la même propriété ? Si oui, écrire l’équation d’une telle parabole.

Exercice 3

Il s’agit ici de calculer

x 0

sin x x cos x lim^→ x(1 cos x)

−

− .

1) Ecrire les développements limités à l’ordre 3 en 0 de sin x – x cos x, et de x(1 – cos x).

2) Citer les théorèmes utilisés pour trouver les résultats de 1).

3) Déduire de 1) un calcul (à présenter ci-dessous) de

x 0

sin x x cos x lim^→ x(1 cos x)

−

− .

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes.

Exercice 4

Comme peut le suggérer un dessin sur écran graphique, la courbe représentative C de la fonction h définie sur R telle que h(x) = xe^x change de courbure au point d’abscisse -2, c’est à dire qu’elle traverse sa tangente en ce point. Il s’agit ici d’utiliser la notion de développement limité pour prouver cette affirmation.

1) En posant x = -2 + t, donner l’écriture de h(-2 + t)

permettant de trouver le développement de h(-2 + t) en 0 à l’ordre 3, en utilisant les seuls développements limités du formulaire et les théorèmes usuels sur les opérations.

2) Ecrire ci-contre la partie régulière du développement limité de 1).

3) a) Ecrire alors le

développement limité de h(x) en -2 à l’ordre 3.

b) En déduire ci-dessous la position de C par rapport à sa tangente au point d’abscisse -2.

Exercice 5 (à rendre : devoir maison)

Comme peut le suggérer un dessin sur écran graphique, la courbe représentative G de la fonction g définie sur ]1 ; +∞[ et telle que

2 x 1

g(x) (2x 3x 1) ln x 1

= − + +

− , admet une droite asymptote au voisinage de +∞. Il s’agit ici d’utiliser la notion de développement limité pour prouver cette affirmation, et d’étudier la position de G par rapport à cette asymptote.

1) En utilisant éventuellement le changement de variable x = ¹

t , prouver que ln^{x 1} ln 1 ¹ ln 1 ¹

x 1 x x

+ =  + −  − 

−    .

2) Présenter le calcul du développement limité de ln^{1 t} 1 t +

− au voisinage de 0 à l’ordre 1, en citant les théorèmes utilisés.

3) En déduire alors l’asymptote cherchée et sa position par rapport à G au voisinage de +∞.

Eléments pour un corrigé Exercice 1

Soit la fonction f telle que, pour tout x > -1, f(x) = ^{ln(x 1)} x 2

+

+ . La fonction f admet un développement limité d’ordre 2 en 0.

1) La partie régulière de ce développement limité peut être obtenu par une division.

a) Ecrire et

« effectuer » ci- contre cette division.

x2

x− 2 _{2 x+}

x2

x 2

 

− + 

 

− x² − −( x )² 0

x x2

2− 2

b) Ecrire ci-contre le développement limité f

d’ordre 2 en 0 en résultant. f(x) = x x²

2− 2 + x²ε(x) avec

x 0

lim (x)

→ ε = 0 2) En utilisant le développement limité trouvé, écrire ci-contre l’équation

de la tangente au point d’abscisse 0 de la représentation graphique de f. y x

= 2 Exercice 2

Soit la fonction g telle que, pour tout t > -1, g(t) = e^t

t 1+ . La fonction g admet un développement limité d’ordre 3 en 0.

1) En écrivant g sous forme convenable, la partie régulière de ce développement limité peut être obtenu par un produit de parties régulières de développements limités.

a) Ecrire ci-contre g(t) sous une forme permettant

d’utiliser la remarque précédente. g(t) = e^t

(

)

b) Ecrire alors les développements limités

intervenant dans le produit.

e^t =

2 3

3 1

t t

1 t t (t)

2 6

+ + + + ε avec ₁

t 0

lim (t)

→ ε = 0

(

)

t 3t 5t

1 t (t)

2 8 16

− + − + ε avec ₂

t 0

lim (t)

→ ε = 0 c) Ecrire ci-contre le développement limité

de g d’ordre 3 en 0 en résultant. g(t) =

2 3

t 3t t 3

1 t (t)

2 8 48

+ + − + ε avec

t 0

lim (t)

→ ε = 0 2) Au voisinage de 0, le développement limité de g trouvé permet de trouver une parabole ayant la même tangente que la

représentation graphique G de g au point d’abscisse 0.

a) Ecrire l’équation d’une telle parabole.

Par exemple : y =

t 3t2

1+ +2 8 b) Peut-on trouver une autre parabole ayant la même

propriété ? Si oui, écrire l’équation d’une telle parabole. Par exemple : y = 1 ^t t² + +2 Exercice 3

Il s’agit ici de calculer

x 0

sin x x cos x lim^→ x(1 cos x)

−

− .

1) Ecrire les développements limités à l’ordre 3 en 0 de sin x – x cos x, et de x(1 – cos x).

sin x – x cos x = ^x3 x³ ₁(x)

3 + ε avec ₁

x 0

lim (x)

→ ε = 0 x(1 – cos x) =

3 3

2

x x (x)

2 + ε avec ₂

x 0

lim (x)

→ ε = 0 2) Citer les théorèmes utilisés pour

trouver les résultats de 1).

Théorèmes utilisés : d.l. en 0 de sinus et de cosinus, d.l. en 0 d’ordre n d’une somme, d’un produit de fonctions possédant des d.l. en 0 d’ordre n.

3) Déduire de 1) un calcul (à présenter ci-dessous) de

x 0

sin x x cos x lim^→ x(1 cos x)

−

− .

Par abus d’écriture, en utilisant 1),

3 3

1 1

x 0 x 0 3 x 0

3 2 2

x x (x) 1 (x)

sin x x cos x 3 3 2

lim lim lim

x(1 cos x) x x (x) 1 (x) 3

2 2

→ → →

+ ε + ε

− = = =

− + ε + ε

(la dernière égalité s’appuyant sur l’utilisation de ths : limite d’une somme, d’un quotient dans les cas non « indéterminés »).

Eléments pour un corrigé Exercice 4

Comme peut le suggérer un dessin sur écran graphique, la courbe représentative C de la fonction h définie sur R telle que h(x) = xe^x change de courbure au point d’abscisse -2, c’est à dire qu’elle traverse sa tangente en ce point. Il s’agit ici d’utiliser la notion de développement limité pour prouver cette affirmation.

4) En posant x = -2 + t, donner l’écriture de h(-2 + t) permettant de trouver le développement de h(-2 + t) en 0 à l’ordre 3, en utilisant les seuls

développements limités du formulaire et les théorèmes usuels sur les opérations.

h(-2 + t) = (-2 + t)e^-2e^t

5) Ecrire ci-contre la partie régulière du développement limité de 1). ³

2 2 t 2 3

2e te e t (t)

6

− − −

− − + + ε avec

t 0

lim (t) 0

→ ε = 6) a) Ecrire alors le

développement limité de h(x) en -2 à l’ordre 3.

3

2 2 (x 2) 2 3

2e (x 2)e e (x 2) (x 2)

6

− − + −

− − + + + + ε + avec

xlim (x 2) 02

→− ε + = b) En déduire ci-dessous la position de C par rapport à sa tangente au point d’abscisse -2.

La partie régulière du développement limité d’ordre 1 de h au voisinage de -2 permet d’écire l’équation de la tangente au point d’abscisse -2 (résultat de cours) : y = −2e⁻²−(x 2)e+ ⁻².

On en déduit que h(x) –

(

)

+ − + + ε + , et, (x 2) (x 2)+ ³ε + étant négligeable devant

3

(x 2) 2

6 e + −

au voisinage de -2, le signe de h(x) –

(

)

3

(x 2) 2

6 e + −

au voisinage de -2.

D’où, au voisinage de -2, si x > -2, C est au-dessus de sa tangente, et si x < -2, C est en dessous de sa tangente.

Exercice 5 (devoir « maison »)

Comme peut le suggérer un dessin sur écran graphique, la courbe représentative G de la fonction g définie sur ]1 ; +∞[ et telle que

2 x 1

g(x) (2x 3x 1) ln x 1

= − + +

− , admet une droite asymptote au voisinage de +∞. Il s’agit ici d’utiliser la notion de développement limité pour prouver cette affirmation, et d’étudier la position de G par rapport à cette asymptote.

1 En utilisant éventuellement le changement de variable x = 1

t , prouver que x 1 1 1

ln ln 1 ln 1

x 1 x x

+ =  + −  − 

−    .

2 Présenter le calcul du développement limité de 1 t ln1 t +

− au voisinage de 0 à l’ordre 1, en citant les théorèmes utilisés.

3 En déduire alors l’asymptote cherchée et sa position par rapport à G au voisinage de +∞.

1. Par abus d’écriture, sur ]1000, +∞[,

1 1

x 1 1

x 1 x x 1 1

ln ln ln ln 1 ln 1

1 1

x 1 x 1 1 x x

x x

 +   + 

   

+ =  =  =  + −  − 

−  −   −     

(la dernière égalité

s’appuyant sur l’utilisation du th : pour a et b strictement positifs, ln(a/b) = ln a – ln b).

2. Au voisinage de 0, ln^{1 t} 1 t +

− = ln(1 + t) – ln(1 – t) = t – (- t) + tε(t) = 2t + tε(t) avec

t 0

lim (t) 0

→ ε = (Théorèmes utilisés : d.l. en 0 de ln, technique de d.l. de fonctions f(u(x)) en 0, d.l. en 0 d’ordre n d’une somme de fonctions possédant des d.l. en 0 d’ordre n).

3. Pour des raisons analogues au 2., à l’ordre 2, on a ln^{1 t} 1 t +

− =

2 2

t ( t) 2

t ( t) t (t)

2 2

   − 

− − − − + ε

   

    = 2t + t²ε(t) avec

t 0

lim (t) 0

→ ε = . Quand x est au voisinage de +∞, en posant x = ¹

t, t est au voisinage de 0.

Remarque : pour x et t non nuls, x = ¹

t est équivalent à t =¹ x

Par suite en utilisant ce qui précède, et par abus d’écriture, on a, ln^{x 1} ln 1 ¹ ln 1 ¹

x 1 x x

+ =  + −  − 

−    =

2 1 2 1

x x x

    +   ε

   avec

x

lim 1 0

x

→+∞

ε   = .

Eléments pour un corrigé D’où, au voisinage de +∞,

2

2 2 1 1

g(x) (2x 3x 1)

x x x

    

= − +  +      ε  = 4x – 6 +

2 1 1 1 1 2 1

x 2 x x x x x

        + ε  − ε          + ε avec

x

lim 1 0

x

→+∞

ε  =

  .

En utilisant les ths : limite d’une somme, d’un produit dans les cas non « indéterminés », on a

2

x

2 1 1 1 1 1

lim 2

x x x x x x

→+∞

 + ε − ε     + ε 

        

       

 

  = 0.

D’où, en posant ε₁(x) =

2 1 1 1 1 2 1

x 2 x x x x x

        + ε − ε     + ε

       , au voisinage de +∞, g(x) = 4x – 6 + ε₁(x) avec ₁

xlim (x) 0

→+∞ε = , c’est à dire (déf. d’une droite asymptote au voisinage de +∞), la droite D d’équation y = 4x – 6 est asymptote à G.

La position de G par rapport à D peut être étudiée par le signe de g(x) – (4x – 6), or au voisinage de +∞, g(x) – (4x – 6) =

2 2 1 1 1 1 2 1

x x x x x x

        + ε  − ε          + ε et

1 1 1 1 2 1

2 x x x x x

       

ε  − ε          + ε est négligeable devant ² x donc g(x) – (4x – 6) est du signe de ²

x, c’est à dire positif.

G est donc au-dessus de D.