SUR LES REVˆETEMENTS DES VARI´ET´ES AB´ELIENNES

SUR LES REVˆ ETEMENTS DES VARI´ ET´ ES AB´ ELIENNES

Olivier Debarre 27 juin 2006

On travaille sur le corps des complexes. Soit f : Y →X un revˆetement, c’est-`a-dire un morphisme surjectif fini, de degr´ed entre vari´et´es projectives lisses de mˆeme dimensionn. Le morphismef est plat, donc le faisceau f_∗OY

est localement libre et il existe un morphisme trace Tr_{Y /X} :f∗OY →OX tel que la compos´ee

OX −→f∗OY Tr_{Y /X}

−→ OX

soit la multiplication par d. On noteEf le dual de son noyau. C’est un fibr´e vectoriel sur X de rangd−1 qui v´erifie¹

f∗OY =OX ⊕E_f^∨

Notons que si X est connexe, Y l’est si et seulement siH⁰(X, E_f^∨) = 0.

Exemple 1 Soit E ⊂Pⁿ une courbe elliptique normale de degr´e n+ 1. Le fibr´e vectoriel associ´e au revˆetement

{(x, H)∈E×(Pⁿ)^∨ |x∈H}−→^pr2 (Pⁿ)^∨ de degr´e n+ 1 est le fibr´e tangentT_Pⁿ.

L’int´erˆet de ce fibr´e vectoriel provient de la proposition suivante.

1Par dualit´e pour un morphisme fini et plat, on a aussi f∗ωY /X =OX⊕Ef

Proposition 1 Il existe une factorisation Y

f??????

??

 //E_f

~~}}}}}}}

X

D´emonstration. L’inclusion E_f^∨ ⊂f∗OY induit un morphisme SymE_f^∨ −→f∗OY

deOY-alg`ebres qui est surjectif puisque Sym⁰E_f^∨ s’envoie surOX et Sym¹E_f^∨ sur E_f^∨. En prenant les spectres relatifs, on obtient

E_f =SpecSymE_f^∨ ,→Specf∗OY =Y

qui est l’inclusion cherch´ee.

Exemple 2 Si f : Y → X est un revˆetement double, E_f est un faisceau inversible sur X et le lieu de branchement de f est un diviseur lisse dans X qui est le lieu des z´eros d’une section s ∈ H⁰(X, E_f^⊗2). On reconnaˆıt la construction classique : Y se trouve dans l’espace total de E_f comme

Y ={(x, t)∈E_f |t² =s(x)}

Inversement, ´etant donn´e un faisceau inversible L sur X et un diviseur lisse dans |L^⊗2|, on peut construire un revˆetement double f : Y → X, avec Y lisse, ramifi´e au-dessus de ce diviseur. On ne peut donc esp´erer montrer des propri´et´es de E_f en g´en´eral.

Rappelons qu’`a tout faisceau coh´erent F sur un sch´ema X de type fini (sur C), on associe le X-sch´ema

P(F) =Proj M

m≥0

Sym^mF

!

et un faisceau inversible OP(F)(1) sur P(F). On dit que F est ample si OP(F)(1) l’est.

Dans la situation d´ecrite plus haut, l’amplitude de E_f a plusieurs cons´e- quences importantes :

a) si S est une vari´et´e propre int`egre et g : S → X un morphisme dont l’image est de dimension au moins 1, S×_X Y est connexe²;

b) pour tout entier `, le lieu des points y de Y o`u le degr´e local de f (c’est-`a-dire le nombre de feuillets qui se rejoignent en y) est > ` est de codimension ≤` pour` ≤min{d−1, n}³;

c) les morphismes induits

f^∗ :Hⁱ(X,C)−→Hⁱ(Y,C) sont bijectifs pour i≤n−d+ 1⁴.

On s’attend `a ce que l’application f<sup>∗</sup> soit encore bijective pour la coho- mologie `a coefficients entiers, ainsi que les applications induitesf∗ :π_i(Y)→

2Soit f⁰ : S×X Y → S le morphisme d´eduit de f. Si g est fini, le fibr´e vectoriel Ef⁰ =g^∗Ef est ample, donc H⁰(S, E_f^∨0) = 0. Il s’ensuit que S×XY est connexe. Dans le cas g´en´eral, on consid`ere la factorisation de Stein f : S →<sup>p</sup> T →<sup>h</sup> X, o`u pest `a fibres connexes ethest fini. Le morphismeS×XY →T×XY induit parpest `a image et fibres connexes, doncS×XY est connexe.

3Soitef(y) le degr´e local def eny. Montrons que pour tout entier`, le ferm´e R<sub>`</sub>={y∈Y |e_f(y)> `}

n’est pas vide pour ` ≤min{d−1, n}; c’est un r´esultat g´en´eral qu’il est alors de codi- mension ≤ `. On proc`ede par r´ecurrence sur `. On a R0 =Y. Soit ` >0 et soit R une composante irr´eductible deR<sub>`−1</sub>. Elle est de codimension≤`−1< ndansY, doncR×XY est connexe. MaisR×XY contient la diagonale ∆RdeR. S’il lui est ´egal,R⊂R<sub>d−1</sub>⊂R`. Sinon, une autre composante deR×XY rencontre ∆Ret siy est un point d’intersection, on aef(y)> `, de sorte queR`n’est pas vide.

4Consid´erons la compl´etion projective π : ¯Ef =P(E_f^∨⊕OX) →X de Ef. Soit ξ ∈ H^2e( ¯Ef,C) la classe du diviseur `a l’infini ¯Ef Ef et soit [Y] ∈H^2e( ¯Ef,C) la classe de l’image de Y ,→^j E¯_f, avece=d−1. Consid´erons le diagramme commutatif

H^n−e+i(Y,C) ^j∗ //

·jU^∗U[YUU]UUUUUUU**

UU UU

UU //H^n+e+i( ¯Ef,C) =H^n+e+i(X,C)[ξ]

j^∗

H^n+e+i(X,C)

f^∗

ttiiiiiiiiiiiiiiiiii

π^∗

oo

H^n+e+i(Y,C)

avec i ≥0. La classe deY dans ¯E_f est dfois celle de la section nulle ; comme j^∗ξ = 0, on en d´eduit quej^∗[Y] n’est autre quedc_e(f^∗E_f). Un analogue du th´eor`eme de Lefschtez difficile, dˆu `a Sommese, montre que puisquef^∗E_f est ample, le cup-produit par sa classe de Chern d’ordre maximal est surjectif lorsquee≤n. L’applicationj^∗est alors surjective, et commej^∗ξ= 0, il en est de mˆeme pour f^∗. Commef^∗ est injective en tout degr´e, elle est bijective, et on obtient c) par dualit´e de Poincar´e.

π_i(X).

Lorsque X est un espace projectif, l’amplitude deE_f est connue.

Th´eor`eme 1 (Lazarsfeld, 1980) Soient Y une vari´et´e projective lisse et f : Y → Pⁿ un revˆetement. Le fibr´e vectoriel E_f(−1) est globalement en- gendr´e.

D´emonstration. Des r´esultats de Mumford montrent qu’il suffit pour cela de montrer que E_f(−1) est 0-r´egulier, c’est-`a-dire

Hⁱ(Pⁿ, E_f(−i−1)) = 0

pour tout i > 0. Cela r´esulte du th´eor`eme d’annulation de Kodaira sur la

vari´et´eY.

Ce r´esultat a ´et´e g´en´eralis´e ensuite par Kim et Manivel au cas o`uXest une grassmannienne ou une grassmannienne lagrangienne. Nous nous int´eressons ici au cas o`u X est une vari´et´e ab´elienne.

Th´eor`eme 2 (Peternell–Sommese, 2002) SoientX une vari´et´e ab´elien- ne, Y une vari´et´e projective lisse et f : Y → X un revˆetement. Le fibr´e vectoriel E_f est nef.

D´emonstration. Soit H un diviseur ample sur X. On peut supposer Y connexe, auquel cas on montre comme ci-dessus queE_f((n+ 1)H) est globa- lement engendr´e. Consid´erons le diagramme cart´esien

Y⁰ =Y ×_X X ^f

0 //

X

kX

Y ^{f //}X o`u k_X est la multiplication par k. Le fibr´e vectoriel

E_f⁰((n+ 1)H) = (k^∗_XE_f)((n+ 1)H)

est globalement engendr´e, donc nef. Comme k^∗_XH =k²H, on en d´eduit que E_f(ⁿ⁺¹_k2 H) est nef (on peut donner un sens `a cela), donc aussi, en passant `a

la limite, E_f.

Le fibr´e vectoriel E_f peut tr`es bien ˆetre num´eriquement trivial (c’est le cas par exemple si f est ´etale). Lorsque X est une vari´et´e ab´eliennesimple, on a un r´esultat plus fort que nous allons d´emontrer.

Th´eor`eme 3 Soient X une vari´et´e ab´elienne simple, Y une vari´et´e projec- tive lisse connexe et f : Y → X un revˆetement. Si f ne se factorise par aucune isog´enie non triviale X⁰ →X, le fibr´e vectoriel E_f est ample.

On note comme plus haut d le degr´e de f et n la dimension de X. Si d ≤ n, on peut montrer que le morphisme f∗ : π₁(Y) → π₁(X) est bijectif.

En particulier, le groupe H₁(Y,Z) est isomorphe `a H<sub>1</sub>(X,Z) (comparer avec la propri´et´e c) ci-dessus), donc est sans torsion. Il en est donc de mˆeme pour H<sup>2</sup>(Y,Z) par le th´eor`eme des coefficients universels.

Lorsqued < n, le morphismeH²(f,Z) :H²(X,Z)→H²(Y,Z) est injectif

`

a conoyau fini et il en est donc de mˆeme pour Pic(f) : Pic(X)→Pic(Y). Il est probable que ces deux applications soient bijectives.

1 Transform´ ee de Fourier–Mukai

Soient X une vari´et´e ab´elienne de dimension n et Xb sa vari´et´e ab´e- lienne duale. Pour tout point ξ de X, on noteb P_ξ le faisceau inversible num´eriquement trivial correspondant surX.

Il existe surX×Xb un unique faisceau inversibleP, dit de Poincar´e, qui v´erifie, pour tout ξ dans X,b

P|_X×{ξ} 'P_ξ , P|_{0}×

Xb 'OXb

Etant donn´´ e un faisceau coh´erent F sur X, ou plus g´en´eralement un com- plexe de tels faisceaux, on d´efinit

Sc(F) = q∗(p^∗F ⊗P)

o`u p:X×Xb →X et q: X×Xb →Xb sont les deux projections. On d´efinit ainsi un foncteur de la cat´egorie des OX-modules coh´erents dans celle des OXb-modules coh´erents, dont on note

RSc:D(X)→D(X)b

le foncteur d´eriv´e. Comme b

Xb est canoniquement isomorphe `a X, on a aussi un autre foncteur

RS :D(X)b →D(X) Le r´esultat principal de Mukai est le suivant.

Th´eor`eme 4 On a un isomorphisme canonique de foncteurs RS ◦RSc'(−1_X)^∗[−n]

Exemple 3 Si ξ∈ X, on v´b erifie que l’on a RS(C_ξ) = P_ξ[0]. On en d´eduit RSc(Pξ) = C−ξ[−n].

De fa¸con plus pratique, la cohomologie du complexe RSc(F) est donn´ee par les

RⁱSc(F) = Rⁱq∗(p^∗F ⊗P)

C’est un faisceau sur Xb dont le support est contenu dans le lieu

Vi(F) ={ξ ∈Xb |Hⁱ(X,F ⊗Pξ)6= 0} (1) D´efinition 1 Un faisceau coh´erent F sur X est dit M-r´egulier si

codim SuppRⁱSc(F)> i pour tout i >0.

En g´en´eral, on v´erifiera la M-r´egularit´e en montrant codimV_i(F) > i pour tout i >0⁵.

Exemple 4 Si L est un faisceau inversible ample sur X, on a V_i(L) = ∅ pour tout i > 0. Le complexe RSc(L) est concentr´e en degr´e 0, o`u c’est un faisceau localement libre de rang le degr´e h⁰(X, L) de L. On le note L. Leb faisceau L estM-r´egulier.

On v´erifie aussi que le complexe RSc(L^∨) est concentr´e en degr´e n, o`u c’est le faisceau localement libre (−1_X)^∗Lb^∨, de sorte que RSc(L^∨) = (−1X)^∗Lb^∨[−n].

5Soit π: X⁰ →X une isog´enie. On aVi(π^∗F) = π^∗ Vi(F)

, de sorte que F v´erifie cette condition si et seulement si π^∗F la v´erifie. Probablement, F est M-r´egulier si et seulement si π^∗F l’est.

2 Faisceaux M -r´ eguliers

Les faisceauxM-r´eguliers ont des propri´et´es g´eom´etriques remarquables.

Th´eor`eme 5 (Pareschi–Popa 2003, Debarre 2004) SoitF un faisceau coh´erent M-r´egulier sur la vari´et´e ab´elienne X. On consid´ere les propri´et´es suivantes :

(i) le faisceau F est M-r´egulier ;

(ii) pour tout faisceau inversibleLample surX, il existe un entier positif N tel que, pour (ξ₁, . . . , ξ_N)∈Xb^N g´en´eral, l’application

N

M

i=1

H⁰(X,F ⊗P_ξi)⊗H⁰(X, L⊗P_ξ^∨_i)→H⁰(X,F ⊗L) (2) est surjective ;

(iii) le faisceau F est continˆument globalement engendr´e : il existe un entier positif N tel que, pour (ξ₁, . . . , ξ_N)∈Xb^N g´en´eral, l’application

N

M

i=1

H⁰(X,F ⊗P_ξi)⊗P_ξ^∨_i →F (3) est surjective ;

(iv) il existe une isog´enie π :X⁰ → X telle que π^∗(F ⊗Pξ) soit globale- ment engendr´e pour tout ξ∈Xb;

(v) F est ample.

On a (i)⇒(ii)⇒(iii)⇔(iv)⇒(v)⁶.

D´emonstration. Montrons (i) ⇒ (ii). La surjectivit´e de l’application (2) est ´equivalente `a celle, pour tout ouvert non vide U deX, deb

M

ξ∈U

H⁰(X,F ⊗P_ξ)⊗H⁰(X, L⊗P_ξ^∨)→H⁰(X,F ⊗L)

6L’implication (v) ⇒ (iv) n’est pas vraie en g´en´eral : si C est une courbe projective lisse dans sa jacobienne J C et F un faisceau localement libre sur C vu comme faisceau sur J C, il se peut que l’image inverse de F par aucun morphisme ´etaleC⁰ →C ne soit globalement engendr´e (voir Parameswaran s’il se peut que H⁰(C,F ⊗P_ξ) soit nul pour tout ξ∈Pic⁰(C)). Je ne connais pas d’exemple avec F (ample) localement libre surX : si dimX = 1, on a par Riemann–Roch h⁰(F ⊗P) =c1(F)>0 ; si dimX = 2, on a par Riemann–Rochh⁰(F⊗P)≥¹₂(c²₁(F)−2c2(F)).

donc `a l’injectivit´e de sa duale H⁰(X,F ⊗L)^∨ →M

ξ∈U

H⁰(X,F ⊗P_ξ)^∨⊗H⁰(X, L⊗P_ξ^∨)^∨ ou, par dualit´e de Serre, `a l’injectivit´e de

Ext^g_X(F, L^∨)→M

ξ∈U

Hom_C(H⁰(X,F ⊗P_ξ), H^g(X, L^∨⊗P_ξ)) (4)

On rappelle (exemple 4) que le transform´e de Mukai RSc(L^∨) de L^∨ est le faisceau localement libre Lc^∨ = (−1_X)^∗Lb^∨ sur Xb plac´e en degr´e n.

On v´erifie qu’il existe une suite spectrale du quatri`eme quadrant (p≥0, q ≤0)

E₂^pq = Ext^p

Xb(R^−qSc(F),Lc^∨)⇒Ext^p+q

D(Xb)(RSc(F),Lc^∨)

Admettant l’existence de cette suite spectrale, on a par dualit´e de Serre Ext^p

Xb(R^−qSc(F),Lc^∨)'H^n−p(X, Rb ^−qSc(F)⊗Lc^∨)^∨

qui, puisque F estM-r´egulier, est nul pourq <0 etn−p≥n−(−q), c’est-

`

a-dire p ≤ −q. D’autre part, ces groupes sont bien sˆur nuls sauf peut-ˆetre pour 0 ≤p≤n et −n≤q ≤0.

Les diff´erentielles arrivant dansE_r⁰⁰´etant toujours nulles, on a une chaˆıne d’inclusions

Hom_D(Xb)(RSc(F),Lc^∨) = E_∞⁰⁰⊂ · · · ⊂E₃⁰⁰ ⊂E₂⁰⁰= Hom_Xb(R⁰Sc(F),Lc^∨) et un r´esultat de dualit´e de Mukai dit que le terme de gauche est isomorphe

`

a Extⁿ_X(F, L^∨). On obtient ainsi une application injective Extⁿ_X(F, L^∨)−→Hom_Xb(R⁰Sc(F),Lc^∨)

qui est le morphisme sur les espaces de sections globales associ´e au morphisme de faisceaux

ϕ : Extⁿ_X(F, L^∨)⊗OXb −→H om_O

Xb(R⁰Sc(F),Lc^∨)

On v´erifie qu’en un point g´en´eral ξ ∈ X, le morphisme entre fibres induitb par ϕ n’est autre que l’application

Extⁿ_X(F, L^∨)→Hom_C(H⁰(X,F ⊗P_ξ), H^g(X, L^∨⊗P_ξ))

intervenant dans (4). Comme le faisceau H om_O

Xb(R⁰Sc(F),Lc^∨) est sans torsion, l’application (4) est injective.

Montrons (ii) ⇒ (iii). Soit L un faisceau inversible ample sur X tel que F ⊗L soit globalement engendr´e. Dans le diagramme commutatif

LN

i=1H⁰(X,F ⊗Pξi)⊗H⁰(X, L⊗P_ξ^∨_i)⊗OX //

H⁰(X,F ⊗L)⊗OX

ev

LN

i=1H⁰(X,F ⊗P_ξi)⊗L⊗P_ξ^∨

i //F ⊗L

la fl`eche horizontale du haut est surjective par (ii), et l’´evaluation aussi. Il en est donc de mˆeme pour la fl`eche horizontale du bas, d’o`u (iii).

Montrons (iii) ⇒ (iv). Soit ξ₀ ∈ X. Comme les points de torsion sontb denses dans Xb^N, l’ouvert des points de Xb^N pour lesquels l’application (3) est surjective et tous les h⁰(X,F⊗P_ξi) ont leur valeur minimale contient un point du type

(ξ₀+η₁(ξ₀), . . . , ξ₀+η_N(ξ₀))

o`u (η₁(ξ₀), . . . , η_N(ξ₀)) est un point de torsion, donc contient aussi U_ξ0 + (η₁(ξ₀), . . . , η_N(ξ₀))

o`u U_ξ0 est un voisinage de ξ₀ dans X. Commeb Xb est quasi-compact, il est recouvert par un nombre fini de ces voisinages, disons Uξ1, . . . , UξM.

Soitπ :X⁰ →X une isog´enie telle que le noyau de bπ:Xb →Xb⁰ contienne tous lesη_i(ξ_j), pouri∈ {1, . . . , N}etj ∈ {1, . . . , M}. Fixonsj ∈ {1, . . . , M}.

L’application

N

M

i=1

H⁰(X,F ⊗P_ξ⊗P_ηi(ξj))⊗π^∗P_ξ^∨ ⊗π^∗P_η^∨

i(ξj) −→π^∗F

est surjective pour tout ξ∈U_ξj. mais cette application n’est autre que

N

M

i=1

H⁰(X,F ⊗P_ξ⊗P_ηi(ξj))⊗π^∗P_ξ^∨ −→π^∗F

et comme chaque H⁰(X,F ⊗P_ξ ⊗P_ηi(ξj)) est un sous-espace vectoriel de H⁰(Y, π^∗(F ⊗P_ξ)), le faisceau π^∗(F ⊗P_ξ) est globalement engendr´e pour tout ξ ∈U_ξj, donc pour tout ξ ∈X.b

Montrons (iv)⇒(v). Soit C une courbe dansX⁰. S’il existe un quotient trivial π^∗F|_C OC, on a aussi des surjections π^∗(F ⊗P_ξ)|_C π^∗(P_ξ)|_C pour chaqueξ ∈X. Commeb π^∗(F⊗P_ξ) est globalement engendr´e, il en est de mˆeme pourπ^∗(P_ξ)|_C. Cela entraˆıne que l’application Xb →Xb⁰ →Pic⁰(C) est nulle, donc queπ(C) est un point, ce qui est absurde. Le lemme de Gieseker⁷

entraˆıne que π^∗F est ample, donc aussi F.

3 D´ emonstration du th´ eor` eme 3

C’est un th´eor`eme de Green et Lazarsfeld que les composantes irr´educti- bles des lieux

V_i ={ξ ∈Xb |Hⁿ⁻ⁱ(Y, f^∗P_ξ^∨)6= 0}

sont des sous-vari´et´es ab´eliennes translat´ees de codimension≥ideX. Commeb X est simple, V_i est fini pour i > 0. Notons Yb = Pic⁰(Y). Comme Y est connexe, on a

Vn = {ξ∈Xb |H⁰(Y, f^∗P_ξ^∨)6= 0}

= {ξ∈Xb |f^∗P_ξ^∨ 'OY}

= Ker(fb:Xb →Yb)

donc V_n ={0} puisque fbest injectif. Par dualit´e de Serre sur Y, on a V_i = {ξ∈Xb |Hⁱ(Y, ω_Y ⊗f^∗P_ξ)6= 0}

= {ξ∈Xb |Hⁱ(X, f∗ω_Y ⊗P_ξ)6= 0}

Par dualit´e pour un morphisme fini, f∗ω_Y = OX ⊕E_f, donc V_i(E_f)⊂ V_i et V_n(E_f) =∅. Le faisceau E_f estM-r´egulier, donc ample par le th´eor`eme 5.

7Ce lemme ´enonce que pour qu’un faisceau coh´erent globalement engendr´eG sur une vari´et´e propre Y soit ample, il faut et il suffit que sa restriction `a toute courbe n’ait pas de quotient trivial. Il se d´emontre ainsi : l’´evaluationH⁰(Y,G)⊗OY →G est surjective et induit un morphisme f :P(G)→P(H⁰(Y,G)⊗OY)→P(H⁰(Y,G)) tel queOP(G)(1) = f^∗OP(H⁰(Y,G))(1) ; le faisceauG est donc ample si et seulement si ce morphisme est fini.