22 avril 2008, durée 2 heures UTBM
Médian MT11, Printemps 2008
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Exercice 1 Calcul matriciel ( 7 points )
Dans tout l'exercice, I désigne I3 la matrice identité, et on considère les matrices suivantes deM3(R):
A=
2 −1 −1
1 −2 1
−3 3 0
L=
2 −1 −1
0 0 0
−2 1 1
M =
0 0 0
−1 2 −1
1 −2 1
.
On dénit aussi :S0= 0M3(R), et pour tout entier naturel non nuln∈N∗, Sn=
n−1
X
k=0
Ak. 1. CalculerL×M etM ×L.
2. CalculerL2 et M2. En déduire queLn= 3n−1Let Mn= 3n−1M pour toutn>2. 3. En remarquant queA=L−M, démontrer que pour tout entier naturel non nuln∈N∗ :
An = 3n−1L−(−3)n−1M.
4. Exprimer Sn en fonction deI, L, M etn. 5. On pose S=I−A.
a. Démontrer queS est inversible, et calculerS−1.
b. En déduire que pour tout entier naturel n∈N, Sn=S−1× I−An .
Exercice 2 Nombres complexes ( 4 points )
Soient αet β deux nombres réels, etz=eiα+eiβ un nombre complexe.
1. Montrer quez= 2 cos
α−β 2
eiα+β2 . 2. Mettre zsous forme trigonométrique.
3. Soitn∈N. En calculantzn de deux manières diérentes, trouver la valeur de :
k=n
X
k=0
n k
cos kα+ (n−k)β .
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Exercice 3 Dérivation dans un anneau ( 9 points )
Les parties A et B sont totalement indépendantes.
Soient (A,+,×) un anneau (qui n'est pas à priori supposé commutatif). On note 0A et 1A les éléments neutres additif et multiplicatif deA. Une applicationδ:A→Aest appelée dérivation surAlorsque pour toutx, y∈A, on a les relations :
δ(x+y) = δ(x) +δ(y) (1)
δ(x×y) = x×δ(y) +δ(x)×y (2)
Partie A : Crochet de Lie
Pour a, b∈A, on pose[a, b] =a×b−b×a. 1. Que vaut[a, b]lorsqueaetb commutent ?
2. On revient au cas général, et on se donnea, b, cdansA. a. Former une relation liant[a, b]et[b, a].
b. Montrer que[a, b+c] = [a, b] + [a, c].
3. a. Poura∈A, on considèreda :A→Al'application dénie parda(x) = [a, x]. Montrer queda est une dérivation surA.
b. Dans cette question, on se place dans l'anneauM2(R). Soienta=
1 1 0 1
, etb= 1 0
1 1
. Calculerda(b).
Partie B : Propriétés des dérivations Soitδune dérivation quelconque surA.
1. En utilisant les relations (1) et (2), calculerδ(0A)et δ(1A). 2. Soitx∈A.
a. Exprimerδ(−x)en fonction deδ(x).
b. On suppose quexest inversible. Exprimerδ(x−1)en fonction deδ(x)et dex−1. 3. a. Soientx, y, z∈A, calculerδ(xyz)en fonction dex, y, z, δ(x), δ(y),et δ(z).
b. Soietx∈A. Calculerδ(x3). Que devient cette formule lorsquexetδ(x)commutent ? 4. SoitCδ={x∈A, δ(x) = 0A}.
a. Montrer queCδ est un sous-anneau de(A,+,×).
Rappel : Pour montrer qu'un ensemble est un sous-anneau, il faut et il sut de montrer que c'est un sous-groupe, et qu'il est stable par la multiplication.
b. Montrer que si(A,+,×)est un corps, alorsCδ est un sous-corps deA.
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