Enoncé D2910 (Diophante)
L’ambassade des pôles hyperboliques
Soient l’hyperbole équilatère H d’axes Ox/Oy et les points A etB quel- conques sur des branches différentes deH. ∆ est la médiatrice de AB. Le cercle de centreM sur ∆ et de rayonM A, recoupeH en C etD.
Q1 Quand M parcourt ∆, montrer que CD reste parallèle à une direction fixe ∆0, et que la distance deM à CD est constante.
Q2 Quelle est la relation entre ∆ et ∆0?
Q3 Montrer que quand M est le milieu deAB,CDpasse par O et que les tangentes à H en C etDsont perpendiculaires à AB.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Prenant pour unité de longueur le demi-axe réel, H admet pour équation x2−y2= 1.
Soit y=mx+pl’équation deAB. L’équation aux abscisses deA etB est x2−(mx+p)2−1 = 0, soitx2(1−m2)−2mpx−p2−1 = 0.
A etB sont sur des branches différentes deH si et seulement si le produit des abscisses est négatif, soit m2 <1.
Le milieu I de AB a pour coordonnées (mp/(1−m2), p/(1−m2)). La droite ∆, perpendiculaire à AB, a une équation de la forme x+my = constante, et passe par I, d’où l’équationx+my= 2mp/(1−m2).
Soity =nx+q l’équation deCD. Le cercle de centreM et de rayon passe aussi parB, C etD. Il appartient au faisceau des coniques passant par ces quatre points, qui inclut H et la conique dégénérée formée par les droites AB et CD; il admet donc une équation de la forme
(y−mx−p)(y−nx−q) +r(x2−y2−1) = 0.
Les termes du second degré sont x2(mn+r) +y2(1−r)−xy(m+n), et sont ceux d’un cercle seulement si m+n= 0 etr = (1 +m2)/2.
D’où l’équation du cercle (M, M A) :
(1−m2)(x2+y2)−2mx(p−q)−2y(p+q) + 2pq−1−m2 = 0.
On en tire les coordonnées deM : (m(p−q)/(1−m2),(p+q)/(1−m2)).
L’équation deCD:y =q−mxfait apparaître qu’elle est perpendiculaire à OI, d’équationx=my. La direction ∆0 de l’énoncé (question 1) est donc la perpendiculaire à OI, indépendante de la position de M qui entraîne celle deCD.
La comparaison avec l’équation de ∆, correspondant à un échange dexet y, montre que les bissectrices de ∆ et ∆0 sont parallèles aux bissectrices des axes Ox, Oy et donc aux asymptotes de H (question 2a). Les deux directions sont symétriques l’une de l’autre par rapport à ces asymptotes.
La distance d’un point (x, y) à CD est (y+mx−q)/√
1 +m2, soit pour M : p√
1 +m2
1−m2 , indépendante de M sur ∆ (question 2b).
Comparant les coordonnées deM etI, elles coïncident quand q = 0 ;CD a alors pour équation y+mx= 0 et passe par O (question 3). La pente des tangentes enC et D est dy/dx = x/y = −1/m, d’où l’orthogonalité par rapport àAB.
