Fonctions affines

Cours de math´ematiques

Fonctions affines

D´efinition. On appelle fonction affine une fonction f d´efinie sur R v´erifiant f(x) = ax+b avec a, b∈R.

Si b= 0, la fonction f :x7→ax est une fonction lin´eaire.

Si a= 0, la fonction f :x7→b est une fonction constante.

Propri´et´e. La courbe repr´esentative d’une fonction affine f : x 7→ ax+b est une droite de coefficient directeur aet d’ordonn´ee `a l’origine b.

Exemple. La courbe repr´esentative de la fonction affine f(x) =−¹₂x+ 2 est la suivante :

O I

J

Propri´et´e. Une fonction affine f :x7→ax+b est croissante si a >0, d´ecroissante si a <0 et constante si a= 0.

D´emonstration. Soient x₁, x₂ ∈R avec x₁ 6x₂.

Sia= 0 alorsf(x₁) =f(x₂) =betf est constante.

Sia >0 alors ax₁ 6ax₂ etax₁+b6ax₂+bdoncf(x₁)6f(x₂) etf est croissante.

Sia <0 alors ax₁ >ax₂ etax₁+b>ax₂+bdoncf(x₁)>f(x₂) etf est d´ecroissante.

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Propri´et´e. Une fonction f est affine si et seulement si l’accroissement de l’image est propor- tionnel `a l’accroissement de la variable :

∆y

∆x = f(x2)−f(x1)

x₂−x₁ =Constante

D´emonstration. Sif est une fonction affine avecf(x) =ax+b alors : f(x₂)−f(x₁)

x₂−x₁ = (ax₂+b)−(ax₁+b)

x₂−x₁ = a(x₂−x₁)

x₂−x₁ =a=Constante Supposons que f v´erifie ^f(x_x^2)−f(x1)

2−x₁ =Constante=a et posons f(0) =b, en rempla¸cant x₂ parx etx₁ par 0, on obtient alors pourx6= 0 :

f(x)−f(0)

x−0 = f(x)−b

x =a

f(x)−b=ax f(x) =ax+b

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