Les fonctions Épisode 3 : fonctions aﬃnes

(1)

Les fonctions

Épisode 3 : fonctions affines

T. Rey

lycée Marlioz http://reymarlioz.free.fr

26 mars 2019

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 1 / 13

(2)

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

(3)

Définition

une fonction f est affine s’il existe deux réels m et p tels que pour tout x ∈ R on a :

f (x) = mx + p

Exemple

Ces trois fonctions sont affines :

f : x 7→ −3x + 2; g : x 7→ x ² − (x + 3)(x − 1); h : x 7→ π

(4)

Thèorème

Soit f une fonction définie sur R. La fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le quotient ^f ^(b)−f _b−a ^(a) est constant.

Si f est affine (f (x) = mx + p), ce rapport est alors égal au coefficient m.

Remarque

Ce théorème est surtout utile pour :

montrer qu’une fonction n’est pas affine ; calculer m si on sait qu’une fonction est affine.

(5)

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

(6)

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

(7)

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

(8)

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

(9)

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

(10)

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

(11)

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

(12)

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

(13)

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

(14)

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

(15)

Propriété

On considère une fonction affine f définie par f (x) = mx + p.

Si m > 0, alors f est strictement croissante sur R.

Si m = 0, alors f est constante sur R.

Si m < 0, alors f est strictement décroissante sur R.

Tableaux de variations des fonctions affines : Si m > 0 :

x −∞ +∞

f %

Si m = 0 :

x −∞ +∞

f !

Si m < 0 :

x −∞ +∞

f

&

(16)

Propriété

La représentation graphique de la fonction affine f : x 7→ mx + p dans un repère (O ; ~ i , ~ j ) est la droite passant par le point P (0; p) et dont la direction est donnée par le vecteur ~ u(1; m).

(17)

Le nombre p est l’ordonnée du point d’intersection de d avec l’axe des y . Le coefficient directeur

m = y _N − y _M lorsque x _N − x _M = 1.

Quand on ne peut pas lire correctement la différence d’ordonnées dans le cas

x N − x M = 1, on prend deux points distincts de d et on calcule

m = ^y _x

^M

^−y

^N

M

−x

_N

~i

~j M

N

p

1 m > 0

d

M

⁰

N

⁰

p

⁰

1 m

⁰

< 0 d

⁰

(18)

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

(19)

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

(20)

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

(21)

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

(22)

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

Les fonctions Épisode 3 : fonctions aﬃnes

Les fonctions

Épisode 3 : fonctions affines

T. Rey

lycée Marlioz http://reymarlioz.free.fr

26 mars 2019

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

Définition

une fonction f est affine s’il existe deux réels m et p tels que pour tout x ∈ R on a :

f (x) = mx + p

Exemple

Ces trois fonctions sont affines :

f : x 7→ −3x + 2; g : x 7→ x 2 − (x + 3)(x − 1); h : x 7→ π

Thèorème

Soit f une fonction définie sur R. La fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le quotient f (b)−f b−a (a) est constant.

Si f est affine (f (x) = mx + p), ce rapport est alors égal au coefficient m.

Remarque

Ce théorème est surtout utile pour :

montrer qu’une fonction n’est pas affine ; calculer m si on sait qu’une fonction est affine.

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part f (2)−f 2−0 (0) = 0−(−6) 2 = 3 ;

d’autre part f (1)−f 1−0 (0) = −4−(−6) 1 = 2.

Ainsi on a f (2)−f 2−0 (0) 6= f (1)−f 1−0 (0) donc f n’est pas affine.

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part f (2)−f 2−0 (0) = 0−(−6) 2 = 3 ;

d’autre part f (1)−f 1−0 (0) = −4−(−6) 1 = 2.

Ainsi on a f (2)−f 2−0 (0) 6= f (1)−f 1−0 (0) donc f n’est pas affine.

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part f (2)−f 2−0 (0) = 0−(−6) 2 = 3 ;

d’autre part f (1)−f 1−0 (0) = −4−(−6) 1 = 2.

Ainsi on a f (2)−f 2−0 (0) 6= f (1)−f 1−0 (0) donc f n’est pas affine.

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part f (2)−f 2−0 (0) = 0−(−6) 2 = 3 ;

d’autre part f (1)−f 1−0 (0) = −4−(−6) 1 = 2.

Ainsi on a f (2)−f 2−0 (0) 6= f (1)−f 1−0 (0) donc f n’est pas affine.

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = f (4)−f 4−2 (2) = −1−5 2 = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = f (4)−f 4−2 (2) = −1−5 2 = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = f (4)−f 4−2 (2) = −1−5 2 = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = f (4)−f 4−2 (2) = −1−5 2 = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = f (4)−f 4−2 (2) = −1−5 2 = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

Propriété

f : x 7→ −3x + 2; g : x 7→ x ² − (x + 3)(x − 1); h : x 7→ π

Soit f une fonction définie sur R. La fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le quotient ^f ^(b)−f _b−a ^(a) est constant.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^f ^(2)−f ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^f ^(1)−f ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

On a m = ^f ^(4)−f ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

m = y _N − y _M lorsque x _N − x _M = 1.

m = ^y _x

^−y

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

x −∞ − _m ^p +∞