Les fonctions Épisode 3 : fonctions affines

Les fonctions

Épisode 3 : fonctions affines

T. Rey

lycée Marlioz http://reymarlioz.free.fr

26 mars 2019

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 1 / 13

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 2 / 13

Définition

une fonction f est affine s’il existe deux réels m et p tels que pour tout x ∈ R on a :

f (x) = mx + p

Exemple

Ces trois fonctions sont affines :

f : x 7→ −3x + 2; g : x 7→ x ² − (x + 3)(x − 1); h : x 7→ π

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 3 / 13

Thèorème

Soit f une fonction définie sur R. La fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le quotient ^{f (b)−f} _b−a ^(a) est constant.

Si f est affine (f (x) = mx + p), ce rapport est alors égal au coefficient m.

Remarque

Ce théorème est surtout utile pour :

montrer qu’une fonction n’est pas affine ; calculer m si on sait qu’une fonction est affine.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 4 / 13

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 5 / 13

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 5 / 13

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 5 / 13

Exemple

Montrer que f : x 7→ (x + 3)(x − 2) n’est pas affine.

On a f (0) = −6, f (1) = −4 et f (2) = 0. Donc : d’une part ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ = ⁰⁻⁽⁻⁶⁾ ₂ = 3 ;

d’autre part ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ = ^{−4−(−6)} ₁ = 2.

Ainsi on a ^{f (2)−f} ₂₋₀ ⁽⁰⁾ 6= ^{f (1)−f} ₁₋₀ ⁽⁰⁾ donc f n’est pas affine.

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Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^{f (4)−f} ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 6 / 13

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^{f (4)−f} ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 6 / 13

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^{f (4)−f} ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 6 / 13

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^{f (4)−f} ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 6 / 13

Exemple

Soit f une fonction affine telle que f (2) = 5 et f (4) = −1.

Déterminer f .

f est affine donc il existe m et p tels que f (x) = mx + p.

On a m = ^{f (4)−f} ₄₋₂ ⁽²⁾ = ⁻¹⁻⁵ ₂ = −3.

Pour tout x on a p = f (x) − mx en particulier si x = 2 : p = f (2) − (−3) × 2 = 5 + 6 = 11.

Finalement, f (x) = −3x + 11.

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 6 / 13

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 7 / 13

Propriété

On considère une fonction affine f définie par f (x) = mx + p.

Si m > 0, alors f est strictement croissante sur R.

Si m = 0, alors f est constante sur R.

Si m < 0, alors f est strictement décroissante sur R.

Tableaux de variations des fonctions affines : Si m > 0 :

x −∞ +∞

f %

Si m = 0 :

x −∞ +∞

f !

Si m < 0 :

x −∞ +∞

f

&

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 8 / 13

Propriété

La représentation graphique de la fonction affine f : x 7→ mx + p dans un repère (O ; ~ i , ~ j ) est la droite passant par le point P (0; p) et dont la direction est donnée par le vecteur ~ u(1; m).

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 9 / 13

Le nombre p est l’ordonnée du point d’intersection de d avec l’axe des y . Le coefficient directeur

m = y _N − y _M lorsque x _N − x _M = 1.

Quand on ne peut pas lire correctement la différence d’ordonnées dans le cas

x N − x M = 1, on prend deux points distincts de d et on calcule

m = ^y _x

^−y

M

−x

~i

~j M

N

p

1

m > 0

d

M

N

p

1

m

< 0 d

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 10 / 13

1 Définition et caractérisation

2 Propriétés

3 Signe

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 11 / 13

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 12 / 13

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 12 / 13

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 12 / 13

Soit f une fonction affine définie par f (x) = mx + p avec m 6= 0.

f (x) = 0 ⇐⇒ x = − _m ^p . On a alors deux cas possibles : Si m > 0 alors f est croissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) − 0 +

Si m < 0 alors f est décroissante donc :

x −∞ − _m ^p +∞

f (x) + 0 −

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 12 / 13

Fin !

Bonnes révisions. . .

T. Rey Les Fonctions 2 26 mars 2019 13 / 13